高考知识点绝对值不等式
第1节绝对值不等式
最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.
知识梳理
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|
不等式a>0a＝0a<0
|x| |x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R (2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c； (3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 ∴x<4，∴1 ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4). 答案 A 3.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________. 解析由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3. 要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 答案(－∞，－3]∪[3，＋∞) 4.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 2 5.(2016·江苏卷)设a >0，|x －1| 3，求证：|2x ＋y －4| 3＝a . 故原不等式得证. 考点一 绝对值不等式的解法 【例1－1】 (2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集. 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨ ⎪⎧x －4，x ≤－1， 3x －2，－1 2，－x ＋4，x >3 2， 故y ＝f (x )的图象如图所示. (2)由f (x )的解析式及图象知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1 3或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |1 ⎬⎫x |x <13，或x >5. 所以|f (x )|>1 的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x |x <1 3，或1 (2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1，1]，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋4， f (x )≥g (x )⇔x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x >1时，f (x )≥g (x )⇔x 2＋x －4≤0， 解之得1 17－12. ②当－1≤x ≤1时，f (x )≥g (x )⇔(x －2)(x ＋1)≤0， 则－1≤x ≤1. ③当x <－1时，f (x )≥g (x )⇔x 2－3x －4≤0，解得－1≤x ≤4， 又x <－1，∴不等式此时的解集为空集. 综上所述，f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭ ⎪⎬⎪⎫ x ⎪ ⎪⎪ －1≤x ≤ 17－12. (2)依题意得：－x 2＋ax ＋4≥2在[－1，1]上恒成立. 则x 2－ax －2≤0在[－1，1]上恒成立. 则只需⎩⎨⎧12－a · 1－2≤0，（－1）2－a （－1）－2≤0，解之得－1≤a ≤1. 故a 的取值范围是[－1，1]. 规律方法 1.本题利用分段函数的图形的几何直观性，求解不等式，体现了数形结合的思想. 2.解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，常用的零点分段法的一般步骤：求零点；划分区间，去绝对值符号；分段解不等式；求各段的并集.此外，还常用绝 对值的几何意义，结合数轴直观求解. 【训练1】 已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＋x 2－4>0的解集； (2)设g (x )＝－|x ＋7|＋3m ，若关于x 的不等式f (x ) 解 (1)不等式f (x )＋x 2－4>0，即|x －2|>4－x 2. 当x >2时，不等式可化为x 2＋x －6>0，解得x >2； 当x <2时，不等式可化为x 2－x －2>0，解得x <－1. 所以原不等式的解集为{x |x >2或x <－1}. (2)依题意，|x －2|<3m －|x ＋7|解集非空， ∴3m >|x －2|＋|x ＋7|在x ∈R 上有解， 又|x －2|＋|x ＋7|≥|(x －2)－(x ＋7)|＝9， 所以3m >9，解得m >3. 故实数m 的取值范围是(3，＋∞). 考点二 绝对值不等式性质的应用 【例2－1】 设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M . (1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b <14 ； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由. (1)证明 设f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎨⎧3，x ≤－2， －2x －1，－2 由－2<－2x －1<0，解得－12 2. 因此集合M ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －12，12，则|a |<12，|b |<12. 所以⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪1 3a ＋16b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)解 由(1)得a 2<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2 ＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝16a 2b 2－4a 2－4b 2＋1 ＝(4a 2－1)(4b 2－1)>0， 所以|1－4ab |2>4|a －b |2， 故|1－4ab |>2|a －b |. 【例2－2】 对于任意的实数a (a ≠0)和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立，记实数M 的最大值是m . (1)求m 的值； (2)(一题多解)解不等式|x －1|＋|x －2|≤m . 解 (1)不等式|a ＋b |＋|a －b |≥M ·|a |恒成立， 即M ≤|a ＋b |＋|a －b ||a |对于任意的实数a (a ≠0)和b 恒成立，只要左边恒小于或等 于右边的最小值. 因为|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |， 当且仅当(a －b )(a ＋b )≥0时等号成立， 即|a |≥|b |时，|a ＋b |＋|a －b | |a | ≥2成立， 也就是|a ＋b |＋|a －b ||a |的最小值是2，所以M ≤2. 因此m ＝2. (2)不等式|x －1|＋|x －2|≤m ，即|x －1|＋|x －2|≤2. 法一 由于|x －1|＋|x －2|表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和； 而数轴上12和5 2对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2， 故|x －1|＋|x －2|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤52. 法二 ①当x <1时，不等式为－(x －1)－(x －2)≤2， 解得x ≥12，即1 2≤x <1. ②当1≤x ≤2时，不等式为(x －1)－(x －2)≤2， 即1≤x ≤2. ③当x >2时，不等式为(x －1)＋(x －2)≤2， 解得x ≤52，即2 2. 综上可知，不等式的解集是⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |12≤x ≤52. 规律方法 1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法. 2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用. 【训练2】 对于任意实数a ，b ，已知|a －b |≤1，|2a －1|≤1，且恒有|4a －3b ＋2|≤m ，求实数m 的取值范围. 解 因为|a －b |≤1，|2a －1|≤1， 所以|3a －3b |≤3，⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪a －12≤12， 所以|4a －3b ＋2|＝|(3a －3b )＋⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫a －12＋52| ≤|3a －3b |＋|a －12|＋52≤3＋12＋5 2＝6， 则|4a －3b ＋2|的最大值为6， 所以m ≥|4a －3b ＋2|max ＝6，m 的取值范围是[6，＋∞). 考点三 绝对值不等式的综合应用 【例3】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集； (2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围. 解 (1)f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1， 2x －1，－1 ①当x ≤－1时，f (x )＝－3≥1无解； ②当－1 ③当x ≥2时，f (x )＝3≥1恒成立，∴x ≥2. 综上知f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}. (2)不等式f (x )≥x 2－x ＋m 等价于f (x )－x 2＋x ≥m ， 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 有解， 又|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x | ＝－⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫|x |－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛ ⎦ ⎥⎤－∞，54. 规律方法 1.第(1)问分段讨论，求得符合题意的x 取值范围，最后取并集. 2.(1)不等式恒成立问题，解集非空(不能成立)问题，转化为最值问题解决. (2)本题分离参数m ，利用绝对值不等式的性质求解，避免分类讨论，优化了解题过程. 【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集； (2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时， f (x )＋ g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝1 2时等号成立， 所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2，＋∞). 基础巩固题组 (建议用时：50分钟) 1.(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集； (2)若关于x 的不等式|ax －2|<3 的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |－53 解 (1)当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3； 当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3，∴－1 当a >0时，－1a 3无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a 3， 解得a ＝－3. 2.已知函数f (x )＝|ax －2|. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )>x ＋1； (2)若关于x 的不等式f (x )＋f (－x )<1 m 有实数解，求m 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，不等式为|2x －2|>x ＋1，当x ≥1时，不等式化为2x －2>x ＋1，解得x >3. 当x <1时，不等式化为2－2x >x ＋1，解得x <1 3 . 综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >3或x <13. (2)因为f (x )＋f (－x )＝|ax －2|＋|－ax －2| ≥|ax －2－ax －2|＝4， 所以f (x )＋f (－x )的最小值为4， 又f (x )＋f (－x )<1m 有实数解，所以1 m >4. 则m 的取值范围为⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，14. 3.(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集； (2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1 3 的解集为⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪⎪23 3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a . 所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积S ＝12|AB |·(a ＋1)＝2 3(a ＋1)2. 由题设得2 3(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞). 4.(2018·石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)之间的“直角距离”为L (P ，Q )＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，已知A (x ，1)，B (1，2)，C (5，2)三点. (1)若L (A ，B )>L (A ，C )，求x 的取值范围； (2)当x ∈R 时，不等式L (A ，B )≤t ＋L (A ，C )恒成立，求t 的最小值. 解 (1)由定义得|x －1|＋1>|x －5|＋1， 则|x －1|>|x －5|，两边平方得8x >24，解得x >3. 故x 的取值范围为(3，＋∞). (2)当x ∈R 时，不等式|x －1|≤|x －5|＋t 恒成立，也就是t ≥|x －1|－|x －5|恒成立， 因为|x －1|－|x －5|≤|(x －1)－(x －5)|＝4， 所以t ≥4，t min ＝4. 故t 的最小值为4. 5.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a . (1)求a ； (2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1 n 的最小值. 解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2， －12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0. 当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2， 由于m >0，n >0， 则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22 时取等号. ∴1m ＋1n 的最小值为2 2. 能力提升题组 (建议用时：30分钟) 6.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5； (2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3， 解不等式得－2＜x ＜4， 所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}. (2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ， 使得f (x 1)＝g (x 2)成立， 所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}， 又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|2x －a －(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2， 所以|a ＋3|≥2， 解得a ≥－1或a ≤－5， 所以实数a 的取值范围是{a |a ≥－1或a ≤－5}. 7.(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝|x ＋1|－x . (1)解不等式f (x )>g (x )； (2)若存在实数x ，使不等式m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )成立，求实数m 的最小值. 解 (1)原不等式f (x )>g (x )化为|x －2|＋x >|x ＋1|， 当x <－1时，－(x －2)＋x >－(x ＋1)， 解得x >－3，即－3 当－1≤x ≤2时，－(x －2)＋x >x ＋1， 解得x <1，即－1≤x <1. 当x >2时，x －2＋x >x ＋1，解得x >3，即x >3. 综上所述，不等式f (x )>g (x )的解集为{x |－3 (2)由m －g (x )≥f (x )＋x (m ∈R )可得m ≥|x －2|＋|x ＋1|， 由题意知m ≥(|x －2|＋|x ＋1|)min ， ∵|x －2|＋|x ＋1|≥|x －2－(x ＋1)|＝3， ∴m ≥3，故实数m 的最小值是3. 8.(2018·郑州模拟)已知不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞). (1)求实数m 的值； (2)若不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－m x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由|x －m |<|x |，得|x －m |2<|x |2，即2mx >m 2， 又不等式|x －m |<|x |的解集为(1，＋∞)， 则1是方程2mx ＝m 2的解，解得m ＝2(m ＝0舍去). (2)∵m ＝2，∴不等式a －5x <⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋1x －⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪1－m x 设f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎨⎧2x －1，0 当0 则－1 当x ≥2时，f (x )＝3. 因此函数f (x )的值域为(－1，3]. 从而原不等式等价于⎩⎨⎧a －5≤－1，a ＋2>3， 解得1 绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、绝对值三角不等式 1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了. 如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立. 联想发散 根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有： （1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. （2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*). 2.绝对值三角不等式 所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|. 绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示). 记忆要诀 由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了. 3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立. 对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有. 学法一得 要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了. 二、绝对值不等式的解法 要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有： |x| 第1节绝对值不等式 最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a. 知识梳理 1.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.() (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.() (3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.() (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.() (5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.() 答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√ 2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是() A.(－∞，4) B.(－∞，1) C.(1，4) D.(1，5) 解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1 1．绝对值的意义是：? ??<-≥=)0x (x )0x (x x . 2．｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝． ｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝． 【思考导学】 1．|ax ＋b |＜b (b ＞0)转化成－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是什么 答：含绝对值的不等式|ax ＋b |＜b 转化－b ＜ax ＋b ＜b 的根据是由绝对值的意义确定． 2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么 答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同． 【典例剖析】 ［例1］解不等式2＜｜2x －5｜≤7． 解法一：原不等式等价于? ??≤->-7|52|2|52|x x ∴???≤-≤--<--7|5272522|52x x x 或即?????≤≤-<>6 12327x x x 或 ∴原不等式的解集为｛x ｜－1≤x ＜ 23或2 7＜x ≤6｝ 解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集 (Ⅰ)? ??≤-<≥-7522052x x (Ⅱ)? ??≤-<<-7252052x x 不等式组(Ⅰ)的解集为｛x ｜ 2 7＜x ≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜2 3｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7＜x ≤6｝ 解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集． (Ⅰ)2＜2x －5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x ≤7 不等式(Ⅰ)的解集为｛x ｜2 7＜x ≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x ｜－1≤x ＜2 3｝ ∴原不等式的解集是｛x ｜－1≤x ＜23或2 7＜x ≤6｝． 点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转 化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x 的不等式： 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12 } (2)原不等式等价于－3x <2 x －2x －6<3x 即 222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2 第3讲 绝对值与含绝对值的不等式 一知识要点 1. 实数的绝对值的定义及性质 数轴上表示数a 的点与原点的距离，就是数a 的绝对值，记为|a |. ,00,0,0a a a a a a >??==??- 22(0).x a x a x a x a a >?>?<->>或 思考1：|x-3|的几何意义？ |3x+4| 几何意义? 2. 含有绝对值的不等式的解法 （1）最简单的含有绝对值的不等式解法： (0)x a a <>的解为. (0)x a a <=无解. (0)x a a <<无解. (0)x a a >>的解为 (0)x a a >=的解为0x ≠的一切实数. (0)x a a ><的解为一切实数. （2）较简单的含有绝对值的不等式的解法： （ⅰ）(0)ax b c c c ax b c +<>?-<+-??+>?+<-或ax b c +>. (ⅲ) (0)x a x b c c -+-<<的解法： 先求出使每个绝对值符号内的数学史子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。这种方法称为零点分段法。 思考2： |x+1|<2的解? |x-1|>2 的解? |x+5| ≤ 0 的解集？ |x-4| ≥ 0 的解集？ 绝对值不等式 1．绝对值不等式 【知识点的认识】 绝对值不等式的解法 1、绝对值不等式|x|＞a 与|x|＜a 的解集 不等式a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|﹣a＜x＜a} ?? |x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R 2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法： （1）|ax+b|≤c?﹣c≤ax+b≤c； （2）|ax+b|≥c?ax+b≥c 或ax+b≤﹣c； （3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法： 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【解题方法点拨】 1．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c 的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c 的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解． 2．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0 且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0 且|a|≥|b|． 3、解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m 或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m 为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 1/ 1 不等式选讲 第一节绝对值不等式 一、基础知识 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x| [解题技法]两招解不等式问题中的含参问题 (1)转化 ①把存在性问题转化为求最值问题； ②不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题； ③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min. (2)求最值 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种： ①利用绝对值的几何意义； ②利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||； ③利用零点分区间法． 第4节 绝对值不等式及其应用 考试要求 1。理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a . 知 识 梳 理 1。绝对值不等式的解法 (1）含绝对值的不等式|x ｜a 的解集 不等 式 a >0 a ＝0 a <0 |x |< a （－a ，a ） ｜ x ｜〉 a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R （2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ; ②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . （3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思 想； ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2。含有绝对值的不等式的性质 （1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立； (2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|； （3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。 ［常用结论与易错提醒］ 1。绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。 2。不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。3。可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。 诊断自测 1。判断下列说法的正误。 （1)若｜x|＞c的解集为R，则c≤0.（) (2）不等式|x－1|＋|x＋2｜＜2的解集为∅。（） （3)对｜a＋b｜≥|a|－｜b｜当且仅当a＞b＞0时等号成立。（） (4）对|a｜－|b|≤|a－b|当且仅当｜a｜≥|b｜时等号成立.(）(5）对｜a－b｜≤｜a｜＋|b｜当且仅当ab≤0时等号成立.() 高三绝对值不等式的知识点 在高三数学学科中，绝对值不等式是一个重要的知识点。绝对 值不仅在数学中有着重要的应用，也在现实生活中扮演着重要的 角色。本文将介绍高三绝对值不等式相关的知识点，并对其应用 进行一些讨论。 一、绝对值的定义和性质 绝对值是一个实数的非负数表示，可以用符号“|a|”表示。如果 a是一个实数，那么|a|的值是a的绝对值。 在讨论绝对值不等式之前，我们要了解绝对值的一些基本性质。 1. |a| ≥ 0：绝对值的值永远是非负的。 2. 当a ≥ 0时，有|a| = a；当a < 0时，有|a| = -a。即绝对值表示 这个数的距离与零的距离，如果这个数是非负的，则绝对值等于 其本身；如果这个数是负数，则绝对值等于其相反数。 3. |a-b| 表示a与b之间的距离。 4. |a| + |b| ≥ |a+b|：这是绝对值的三角不等式，用来计算两个数 绝对值之和与它们的和的绝对值之间的关系。 二、绝对值不等式的形式及求解方法 绝对值不等式是用“≥”或“≤”表示的不等式，其解集是满足不等 式条件的实数的集合。对于一元绝对值不等式，我们可以通过以 下两个步骤来求解。 步骤一：消去绝对值符号 当绝对值不等式中只有绝对值的时候，可以根据绝对值的定义，列出两个不等式，分别求解。例如对于|2x-3| ≥ 5，可以列出以下两个不等式： 2x-3 ≥ 5 或者 2x-3 ≤ -5。 步骤二：求解不等式 通过解第一步得到的两个不等式，可以得到解集。对于每个不 等式，可使用解二元一次不等式的方法求解。 三、绝对值不等式的应用举例 1. 绝对值不等式在数轴上的表示 考虑一个绝对值不等式|x-3| < 2，我们可以使用数轴来表示它的解集。首先，在数轴上找到数值为3的点，然后从这个点开始向 【数学知识点】绝对值不等式公式四个 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。绝对值不等式的公式为：||a|- |b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 |a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。 |b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。 当a，b同号时它们位于原点的同一边，此时a与﹣b的距离等于它们到原点的距离之和。 当a，b异号时它们分别位于原点的两边，此时a与﹣b的距离小于它们到原点的距离之和。(|a-b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)。 绝对值重要不等式推导过程： 我们知道|x|={x，(x>0);x，(x=0);-x，(x<0); 因此，有： -|a|≤a≤|a|......① -|b|≤b≤|b|......② -|b|≤-b≤|b|......③ 由①+②得： -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| 即|a+b|≤|a|+|b|......④ 由①+③得： -(|a|+|b|)≤a-b≤|a|+|b| 即|a-b|≤|a|+|b|......⑤ 另： |a|=|(a+b)-b|=|(a-b)+b| |b|=|(b+a)-a|=|(b-a)+a| 由④知： |a|=|(a+b)-b|≤|a+b|+|-b|=>|a|-|b|≤|a+b|.......⑥ |b|=|(b+a)-a|≤|b+a|+|-a|=>|a|-|b|≥-|a+b|.......⑦ |a|=|(a-b)+b|≤|a-b|+|b|=>|a|-|b|≤|a-b|.......⑧ |b|=|(b-a)+a|≤|b-a|+|a|=>|a|-|b|≥-|a-b|.......⑨ 由⑥，⑦得： | |a|-|b| |≤|a+b|......⑩ 由⑧，⑨得： | |a|-|b| |≤|a-b|......⑪ 综合④⑤⑩⑪得到有关绝对值的重要不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|要注意等号成立的条件（特别是求最值），即： |a-b|=|a|+|b|→ab≤0 |a|-|b|=|a+b|→b(a+b)≤0 |a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0 注：|a|-|b|=|a+b|→|a|=|a+b|+|b|→|（a+b）-b|=|a+b|+|b|→b(a+b)≤0同理可得|a|-|b|=|a-b|→b(a-b)≥0。 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 高中数学绝对值不等式公式大全1、绝对值不等式： （1）一般表示式：|x|≠|y| （2）相等情况：|x|=|y| （3）不相等情况：|x|≠|y| 2、绝对值不等式的特殊形式： （1）x≠0：|x|=a，a>0 （2）x=m：|x|≠m （3）|x| 3、绝对值不等式的解法： （1）把绝对值当作不计符号类型的线性方程，即把等号左边的绝对值 画成两个相反数的图形，等号右边的绝对值也可以画成两个相反数的 图形。即可确定有解的条件，然后求出所有的可行解。 （2）将绝对值拆分成幂函数求解。绝对值不等式=ax2 + bx + c≠d可以 拆分成（x-x1）2+4dFalse=b2-4ac， b2-4ac>0时有解，反之无解。 （3）利用中值定理来求解。设绝对值不等式|x-a|=|x-b|，按照中值定理，即可得到可解解 x = （a+b）/ 2。 （4）通过几何方式来求解。即直线 y=|x-a| 的图形和y=|x-b|的图形有相等的两个交点，将这些交点的 x 坐标求出即可。 4、绝对值不等式的特殊问题： （1）当x=a时：绝对值不等式|x-a|≠|x-b|可解成x=（a+b）/2 （2）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|=|x-b|可解成x=a或x=b （3）当x=0时：绝对值不等式|x|=|y|可解成x=y （4）当x≥b时：绝对值不等式|x-a|<|x-b|可解成x≥b （5）当x≤a时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x≤a （6）当x=a或x=b时：绝对值不等式|x-a|>|x-b|可解成x 高中常用的不等式公式 一、两个数的不等式公式 1. 若a-b>0,则a>b（作差） 2. 若a>b,则a±c>b±c 3. 若a+b>c,则a>c-b(移项) 4. 若a>b,则c>d(不等号同向相加成立，两个大的加起来，肯定比两个小的加起来大) 5. 若a>b>0,c>d>0则ac>bd(两个大正数相乘肯定比两个小正数的相乘大) 6.若a>b>0,则a n>b n(n∈N,n>1)。 二、基本不等式（也叫均值不等式） 思想：反应的是算术平均值(a+b)/2和几何平均值的大小关系，这里a，b都是正数。 1.(a+b)/2≥ ab（算术平均值不小于几何平均值，a=b时取等号） 2.a2+b2 ≥ 2ab（由1两边平方变化而来，a=b时取等号） 3.ab≤（a2+b2）/2≤(a+b)2 /2(由2扩展而来，a=b时取等号) 三、绝对值不等式公式（a,b看成向量,“| |”看成向量的模也适用） 思想：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。 1.| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b| 2.| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b| 四、二次函数不等式 f(x)=ax2+bx +c（a≠0） 思想：函数图像是开口向上（a>0）或开口向下（a<0）的曲线，令函数值为0，解出f(x)的零点，符号看函数值处在纵坐标的正半轴还是负半轴。一般两个零点为。假如为m,n(m 高中数学解题技巧之绝对值不等式 在高中数学中，绝对值不等式是一个非常重要的概念和考点。解决绝对值不等式问题需要掌握一些技巧和方法，本文将以具体的题目为例，详细介绍解决绝对值不等式的步骤和思路，并通过举一反三的方式让读者更好地理解和应用这些技巧。 一、绝对值不等式的基本性质 在解决绝对值不等式问题之前，我们首先需要了解绝对值的基本性质。对于任意实数a，有如下性质成立： 1. |a| ≥ 0，即绝对值的值永远大于等于0； 2. 当且仅当a = 0时，|a| = 0； 3. 对于任意实数a和b，有|ab| = |a||b|； 4. 对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。 这些基本性质将在解决绝对值不等式问题时起到重要的作用，可以帮助我们简化问题和推导出更加简洁的解法。 二、绝对值不等式的解题步骤 解决绝对值不等式问题的一般步骤如下： 1. 确定不等式的形式，即确定绝对值不等式的类型，如|x| < a、|x| > a、|x| ≤ a、|x| ≥ a等； 2. 根据不等式的形式，分情况讨论。对于|x| < a和|x| > a这样的形式，我们可以将其转化为两个简单的不等式进行求解； 3. 利用绝对值的基本性质，简化不等式。通过运用绝对值的性质，我们可以将复杂的不等式转化为简单的形式，从而更容易求解； 4. 解决简化后的不等式。根据不等式的类型和具体情况，我们可以采用不同的方法进行求解，如代入法、分析法、图像法等； 5. 检验解的合法性。在得出解后，我们需要将解代入原不等式中进行验证，确保解的正确性。 三、举例分析 为了更好地理解和应用绝对值不等式的解题技巧，我们来看几个具体的例子。 例1：求解不等式|2x - 3| ≤ 5。 解：根据不等式的形式，我们可以将其分为两个情况进行讨论： 情况一：2x - 3 ≥ 0，即2x ≥ 3，解得x ≥ 3/2； 情况二：2x - 3 < 0，即2x < 3，解得x < 3/2。 综合两种情况，我们得到解集为x ∈ (-∞, 3/2] ∪ [3/2, +∞)。 这个例子展示了如何通过分情况讨论来解决绝对值不等式问题，并利用绝对值的基本性质简化不等式。 例2：求解不等式|3x - 2| > 4。 解：同样地，我们将不等式分为两个情况进行讨论： 情况一：3x - 2 > 0，即3x > 2，解得x > 2/3； 情况二：3x - 2 < 0，即3x < 2，解得x < 2/3。 综合两种情况，我们得到解集为x ∈ (-∞, 2/3) ∪ (2/3, +∞)。 这个例子展示了如何通过分析不等式的符号来确定解的范围，并利用绝对值的基本性质简化不等式。 四、举一反三 高中不等式知识点大全总结 一、基本不等式性质 1. 两个数的比较： （1）当 a > b 时，a-b>0； （2）当 a < b 时，a-b<0； （3）当 a = b 时，a-b=0。 2. 不等式的四则运算： 不等式有“加减乘除”运算律，即不等式两边都同时加减(乘除)同一个数，不等式依然成立。 3. 绝对值不等式： 对于任何实数 a 和正实数 b，有|a| > b 的不等式解集是 a > b 或 a < -b。 4. 不等式的取反： 若不等式 a > b 成立，则其取反 a < b 也成立；若不等式 a > b 不成立，则其取反 a < b 亦成立。 5. 不等式的合并： 若不等式 a > b 和 c > d 同时成立，则其合并为 a + c > b + d 成立。 6. 不等式的分拆： 若不等式 a + b > c + d 成立，则其分拆为 a > c - b + d 或 b > d - a + c 成立。 二、一元一次不等式 一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+b > 0 或 ax+b < 0。 1. 解不等式的方法 一元一次不等式的解法包括两种：一是化简法，即通过使用运算律化简不等式，然后求出 不等式的解集；二是图解法，即将不等式用图形表示出来，然后求出不等式的解集。 2. 一元一次不等式组 一元一次不等式组是由若干个一元一次不等式组成的系统。解一元一次不等式组的方法同 样包括化简法和图解法。 三、一元二次不等式 一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次函数不等式，通常具有形式 ax^2+bx+c > 0 或 ax^2+bx+c < 0。 1. 一元二次不等式的解法 一元二次不等式的解法通常使用折线法和区间法。折线法是利用二次函数的拐点和零点来求解不等式的解集；区间法是将一元二次不等式用图像表示出来，然后找出其零点和开口方向，从而求出解集。 2. 一元二次不等式组 一元二次不等式组是由若干个一元二次不等式组成的系统，通常可以使用区间法来解决。 四、二元一次不等式 二元一次不等式是指含有两个未知数的一次函数不等式，通常具有形式 ax+by+c > 0 或ax+by+c < 0。 1. 二元一次不等式的解法 二元一次不等式的解法通常需要将其化为标准形式，然后利用图解法或者代入法求解出不等式的解集。 2. 二元一次不等式组 二元一次不等式组是由若干个二元一次不等式组成的系统，通常可以使用图解法或者代入法来解决。 五、绝对值不等式 绝对值不等式是指含有绝对值的不等式，通常具有形式 |ax+b| > c 或 |ax+b| < c。 1. 绝对值不等式的解法 绝对值不等式通常需要分情况讨论，将其分解成多个不等式，然后求解出每个不等式的解集，最后将解集合并起来。 2. 绝对值不等式组 绝对值不等式组通常需要将其分解成多个不等式，然后使用分情况讨论的方法来求解。六、分式不等式 分式不等式是指含有分式的不等式，通常具有形式 f(x)/g(x) > 0 或 f(x)/g(x) < 0。 秒杀秘籍 :()b x n a x m x f- + - = 绝对值不等式（二） 例1：解不等式 ； 例3：（2016•池州二模）设函数f （x ）=|2x ﹣1|+|x ﹣3|．（Ⅰ）求函数f （x ）的 最小值； （Ⅱ）若任意x ，y ∈R ，不等式f （x ）＞m （|y+1|﹣|y ﹣1|）恒成立，求m 的取值范围． 例4：设函数f （x ）=2|x ﹣1|+|x+2|．（Ⅰ）求不等式f （x ）≥4的解集；（Ⅱ）若不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空集合，求实数m 的取值范围． （Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）． 例5：关于x 的二次方程x 2＋6x ＋|a ＋2|＋|2a －1|＝0有实根，求a 的取值范围． 解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9. ①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜1 2时，∵a ＋2＋1－2a ≤ 9，∴－2≤a ＜1 2 . ③当a ＜－2时，∵－a －2＋1－2a ≤9，∴－10 3≤a ＜－2.综上所述，由①②③得a 的取值范围为108,33⎡⎤ - ⎢⎥⎣ ⎦。 秒杀秘籍:()b x n a x m x f ---= 结论：系数大的决定最值，类似于二次函数，系数大的为正，开口向上，有最小值；系数大的为负，开口向下，有最大值。 高中必须掌握的重要不等式 在自主招生与竞赛的考试中，经常会出现对一些重要不等式的考查，主要有：绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式、权方和不等式、琴生不等式及卡尔松不等式等.下面我们来认识这些不等式及这些不等式的应用. 一．绝对值不等式 从不等式的背景可以看到，许多不等关系都涉及距离的长短、面积的大小、重量的轻重等等，它们都要通过非负数来表示.因此，绝对值不等式具有非常重要的现实意义. 定理1 如果a 、b 都是实数，则||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时等号成立. 定理2 如果a 、b 、c 都是实数，则||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时等号成立. 例1.解不等式|5||23| 1.x x --+< 练习：（1）求证：对于任何实数a ，b ，三个数||a b +、||a b -、|1|a -中至少有一个不小于1.2 （2004年同济大学） （2）若对一切实数x 都有|5||7|x x a -+->，则实数a 的取值范围是（ ） A.12a < B.7a < C.5a < D.2a < （2008年复旦大学） （3）设实数a 使得不等式2|2||32|x a x a a -+-≥对任意的实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A.11[,]33- B.11[,]22- C.11[,]43 - D.[3,3]- （2007年一试T2） 例2.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-+ +-的最小值. （2011年北约） 二．平均值不等式 设0i a >（1,2,,i n =），记这n 个数的 调和平均值11 n n i i n H a == ∑ 几何平均值n G = 算术平均值1 n i i n a A n == ∑ 方幂平均值n X = 则n n n n H G A H ≤≤≤，当且仅当12n a a a ===时等号成立. 例3.设有正数a ，b 满足a b <，若有实数1x ，2x ，1y ，2y 使得11x y +是a ，b 的算术平绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
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