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绝对值三角不等式的证明方法

绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。

1. 利用三角函数的定义：

- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。

- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。

2. 利用绝对值的性质：

- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。

- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。

3. 利用三角函数的周期性：

- 正弦和余弦函数的周期都是2π。即sin(x + 2π) = sin(x) 和

cos(x + 2π) = cos(x)。

下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式

的方法：

假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。

证明过程：

1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。

2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。

即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。

因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。

因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。

6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。

根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。只需根据具体问题，灵活运用三角函数的定义、绝对值的性质和三角函数的周期性，即可得到简洁清晰的证明过程。

绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数) 定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。题型一解绝对值不等式【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3； (2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f (x )＝⎪⎩ ⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1. 因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数 y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x － 2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二绝对值三角不等式的应用 [例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值． (2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数．

绝对值三角不等式的证明方法

绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。 1. 利用三角函数的定义： - 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。 - 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。 2. 利用绝对值的性质： - 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。 - 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。 3. 利用三角函数的周期性： - 正弦和余弦函数的周期都是2π。即sin(x + 2π) = sin(x) 和 cos(x + 2π) = cos(x)。下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：

绝对值不等式

绝对值不等式一、基础知识 1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x|a型不等式的解法 (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 考点一绝对值不等式的解法

[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集． [解] (1)由题意得f (x )＝??? ?? x －4，x ≤－1， 3x －2，－132 ，故y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的函数表达式及图象可知，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝1 3或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |15. 所以|f (x )|>1的解集为???? ??x ?? x <1 3或15. [题组训练] 1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2，解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；