绝对值的三角不等式公式证明

绝对值的三角不等式公式证明

绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。

绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b

接下来，假设y-x>0，也就是说x

同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y

综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。

绝对值型不等式和三角不等式类型

绝对值型不等式和三角不等式 定理1 如果a, b 是实数，则 |a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab ≥0时，等号成立）。 绝对值三角不等式.a b a b a b a b -≤-≤±≤+(a,b 为实数) 定理2 如果a, b, c 是实数，那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等 号成立）。 证明：根据绝对值三角不等式有|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|（当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立）。 绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。 题型一 解绝对值不等式 【例1】设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)解不等式f (x )＞3； (2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞). (2)因为f (x )＝⎪⎩ ⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1. 因为f (x )＞a 恒成立，所以a ＜1，即实数a 的取值范围是(－∞，1). 【变式训练1】设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a . (1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域； (2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围. 【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数 y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞). (2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x － 2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3，所以－a ≤3，即a ≥－3. 题型二 绝对值三角不等式的应用 [例2] (1)求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值． (2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值． [思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． [解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数．

绝对值三角不等式的证明方法

绝对值三角不等式的证明方法 绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。 1. 利用三角函数的定义： - 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。 - 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。 2. 利用绝对值的性质： - 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。 - 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。 3. 利用三角函数的周期性： - 正弦和余弦函数的周期都是2π。即sin(x + 2π) = sin(x) 和 cos(x + 2π) = cos(x)。 下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式 的方法：

假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。 证明过程： 1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。 2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。 即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。 因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。 5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。 因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。 6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。

绝对值不等式

绝对值不等式 一、基础知识 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x|a型不等式的解法 (2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c. |x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法及体现数学思想 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 考点一绝对值不等式的解法

[典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集． [解] (1)由题意得f (x )＝??? ?? x －4，x ≤－1， 3x －2，－132 ， 故y ＝f (x )的图象如图所示． (2)由f (x )的函数表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝1 3或x ＝5. 故f (x )>1的解集为{x |15. 所以|f (x )|>1的解集为???? ??x ?? x <1 3或15. [题组训练] 1．解不等式|x ＋1|＋|x －1|≤2. 解：当x <－1时， 原不等式可化为－x －1＋1－x ≤2， 解得x ≥－1，又因为x <－1，故无解；

绝对值三角不等式

1.4绝对值三角不等式 教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4. 教学重点：定理1的证明及几何意义。 教学难点：换元思想的渗透。 教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要使用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ?=? （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ?=?和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0

性质。 二、典型例题： 例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。 证明（1）如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+ 如果,0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以 b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()( （2）根据（1）的结果，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。 所以，b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。 思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？ （设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。） 探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式b a b a +≥+的几何解释？ 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+. 在上面不等式中,用向量,a b r r 分别替换实数,a b , 则当,a b r r 不共线时, 由向量加法三角形法则: 向量,a b r r ,a b +r r 构成三角形, 因此有｜a+b ｜<｜a ｜+｜b ｜ 其几何意义是什么？ 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。 例4、已知 2 ,2c b y c a x <-<-，求证 .)()(c b a y x <+-+

绝对值不等式

绝对值不等式 一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ?a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c . 3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|a 的解集 不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|a x ＋b|≤c ?－c ≤ax ＋b ≤c ； (2)|a x ＋b|≥c ?ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . 3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型 不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想． 例1：解不等式x ＋|2x －1|<3. 解：原不等式可化为????? 2x －1≥0， x ＋(2x －1)<3或????? 2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2

5 第5讲 绝对值不等式

第5讲 绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0} R ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |； (2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； (3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |. [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( ) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化] 1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9， |2x －5|≥3，

绝对值三角不等式推导 -回复

绝对值三角不等式推导 -回复 绝对值三角不等式推导如下： 对于任意实数a和b，我们有以下推导： 首先我们知道绝对值的定义为|a| = a (当a≥0时)，|a| = -a (当a<0时)。 根据绝对值的定义，我们可以得到以下性质： 1. |a+b| = a+b 当且仅当a和b都非负，即a≥0且b≥0； 2. |a-b| = a-b 当且仅当a≥b，即a大于等于b； 3. |-a| = a，即绝对值的绝对值等于其本身； 基于以上性质，我们可以推导出绝对值三角不等式： 对于任意实数a、b和c，我们有以下不等式： 1. |a+b| ≤ |a| + |b| 2. |a-b| ≥ |a| - |b| 首先，我们证明第一个不等式： 当a和b都非负时，显然|a+b| = a+b，而|a| + |b| = a + b。因此，不等式成立。 当a和b中有一个为负数时，不妨设a < 0。则有|a| = -a。此时我们可以将|a+b|分解为|a+b| = |(-a) + b|，根据性质2，我们可以得到|a+b| ≥ |-a| - |b| = a - |b|。又因为a < 0，所以a - |b| < a + b，即有|a+b| ≥ a - |b| < a + b。同时，我们知道|a| + |b| = -a + b = b - a。而a + b = b - a，因此不等式成立。 综上所述，对于任意实数a和b，不等式|a+b| ≤ |a| + |b| 成立。 同理，我们可以推导出第二个不等式： 对于任意实数a、b和c，有以下不等式： |a-b| = |a+(-b)| ≤ |a| + |-b| = |a| + |b| 综上所述，绝对值三角不等式推导完毕。

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式； 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立; 几何说明：1当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和; 2如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释; |a－b|表示a－b与原点的距离,也表示a到b之间的距离; 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间; 推论1 推论2

不等式证明的基本方法 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的; 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负; 比较法证不等式有作差商、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述; 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证; 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用; 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不 等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述; 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用; 3、反证法：从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法; 4、放缩法：欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得 ,,再利用传递性,达到证明的目的．这种方法叫做放缩法; 典型例题 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证： 思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明： 证明：

绝对值三角形不等式公式推导

绝对值三角形不等式公式推导 绝对值三角形不等式公式推导 一、引言 绝对值三角形不等式是解决绝对值不等式问题的基本工具之一，在数学中有着广泛的应用。它主要用于解决包括代数和几何问题在内的多种数学问题。在本文中，我将深入探讨绝对值三角形不等式的导出过程，并结合具体例子进行解释，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。 二、绝对值三角形不等式公式的基本定义 为了全面了解绝对值三角形不等式的公式推导过程，我们需要先了解其基本定义。 假设a和b是实数，那么绝对值三角形不等式可以表达为： |a + b| ≤ |a| + |b| 这一不等式是指，两个数的绝对值之和不大于其各自绝对值的和。这一概念对于处理绝对值的复杂运算问题起到了重要的作用。接下来，

我将详细介绍绝对值三角形不等式的推导过程，帮助读者全面理解这一概念。 三、绝对值三角形不等式公式的推导过程 为了推导绝对值三角形不等式的公式，我们可以利用数轴的性质和绝对值的定义进行推导。我们假设a和b是实数且a≥0，b≥0。现在，我们来看一下具体的推导过程： 1. 我们假设a≥0，b≥0。根据数轴的性质，a和b对应的点分别为A 和B，那么|a|和|b|分别表示点A和B到原点的距离。 2. 现在，我们考虑点C，它表示a+b对应的实数。根据数轴的性质，我们可以知道|a+b|表示点C到原点的距离。 3. 根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出结论：|a + b| ≤ |a| + |b| 通过以上推导过程，我们可以得出绝对值三角形不等式的公式。这一推导过程清晰地展现了绝对值三角形不等式的基本原理和应用。 四、绝对值三角形不等式公式的应用举例 为了更好地理解绝对值三角形不等式的应用，我们可以通过具体的例子来说明。

绝对值三角不等式证明

绝对值三角不等式证明 绝对值三角不等式是高中数学中十分重要的一个命题，它是直角三角形中最基本的不等式之一，同时也可用于证明其他重要的数学问题。本文将从定义、性质、证明等方面详细介绍这一命题。 一、定义 绝对值三角不等式是指对于任意实数a和b，有以下不等式成立： |a + b| ≤ |a| + |b| 二、性质 1.绝对值三角不等式成立的充分必要条件是a和b至少有一个非负。 2.此外，若a和b异号（即a和b一个正，一个负），则等式成立。 三、证明 下面，我们将证明绝对值三角不等式。证明有多种方法，这里我们简述其中一种。 假设a和b为任意实数，则不妨设a≥0，b≥0（因为若a≤0，b≤0，则将

a、b都取相反数，不等式仍然成立）。 则有以下三种情况： 1.当a≥0，b≥0时，不等式右边为a+b，因为a、b都为非负数，所以不等式左边也为a+b。即|a + b| ≤ |a| + |b|。 2.当a≥0，b<0时，不等式右边为a–b，同样由于a≥0，b<0，所以不等式左边为|a–b|。因为a≥0，所以|a|=a，因此有|a–b|=a–(–b)=a+b。此时，不等式变为： |a–b| ≤ |a| + |b|， 即|a+b| ≤ |a| + |b|。 3.当a<0，b<0时，不妨将a和b都取相反数，即将a、b同时乘-1，不等式左右两边同时乘-1，此时不等式变为： |–a + (–b)| ≤ |–a | + |–b| 即|a+b| ≤ |a| + |b|。 因此，无论a和b处于何种情况，不等式都成立。 四、应用

绝对值三角不等式可应用于各种数学问题中，如以下几个例子： 1.证明两点之间的最短距离。 假设有A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，此时AB的距离即为d=√[(x2– x1)^2+(y2–y1)^2]，而d≤|x2–x1|+|y2–y1|。 2.证明柯西不等式。 对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，则有： |(a1b1+a2b2+…+anbn)| ≤ √(a1^2+a2^2+…+an^2) √(b1^2+b2^2+…+bn^2) 3.证明均值不等式。 对于非负实数a1、a2、…、an，则有： (a1+a2+…+an)/n ≥ √(a1a2…an)， 即a1+a2+…+an ≥ n√(a1a2…an) 以上就是绝对值三角不等式的定义、性质、证明及应用的介绍。掌握这一不等式，将有助于理解和解决更多的数学问题。

2020高中数学 第1章 不等式的基本性质和证明的基本方法 1.4 绝对值的三角不等式讲义 4-5

1.4 绝对值的三角不等式 学习目标:1。理解绝对值不等式的性质定理.2。会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式;会求简单绝对值不等式的最值． 教材整理绝对值的三角不等式 1．定理1 若a，b为实数,则|a＋b|≤|a|＋｜b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 2．定理2 设a,b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋｜b－c|，等号成立⇔（a －b）（b－c）≥0，即b落在a,c之间． 若｜a＋b|＝|a|＋|b|成立，a，b∈R，则有（) A．ab〈0 B．ab〉0 C．ab≥0 D．以上都不对 ［解析] 由定理1易知答案选C。 ［答案] C

绝对值不等式的理解与应用【例1】已知｜a|≠｜b｜,m＝错误!，n＝错误!，则m，n之间的大小关系是________． ［精彩点拨］利用绝对值三角不等式定理分别判定m，n与1的大小． [自主解答] 因为|a｜－|b|≤｜a－b|， 所以错误!≤1，即m≤1. 又因为|a＋b|≤｜a|＋|b｜， 所以错误!≥1,即n≥1.所以m≤1≤n. [答案］m≤n 1．本题求解的关键在于|a|－｜b|≤｜a－b|与|a＋b|≤|a｜＋｜b｜的理解和应用． 2．在定理1中，以－b代b，得|a－b|≤|a|＋｜b|；以a－b 代替实数a，可得到|a|－｜b｜≤|a－b|. 1．若将“本例的条件”改为“n＝错误!”，则n与1之间的大小关系是________．

[解析］∵｜a＋b|≤|a|＋|b|， ∴错误!≤1，∴n≤1. [答案］n≤1 运用绝对值不等式求最值与范围【例2】对任意x∈R，求使不等式|x＋1|＋｜x＋2|≥m恒成立的m的取值范围． [精彩点拨] 令t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜，只需m≤t min. ［自主解答] 法一:对x∈R，｜x＋1｜＋｜x＋2| ≥|(x＋1)－(x＋2）|＝1， 当且仅当（x＋1)(x＋2）≤0时， 即－2≤x≤－1时取等号． ∴t＝｜x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1。 ∴实数m的取值范围是（－∞,1］． 法二:t＝｜x＋1｜＋｜x＋2|＝错误! ∴t≥1，则t＝｜x＋1｜＋|x＋2｜的最小值为1,故m≤1. 因此实数m的取值范围是(－∞，1]． 1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．

数学证明中常用的绝对值不等式和三角不等式

数学证明中常用的绝对值不等式和三角不等 式 数学是一门严谨而又深奥的学科，它的证明过程常常需要借助各种数学工具和 定理。在数学证明中，绝对值不等式和三角不等式是常用的工具之一。它们在解决各种数学问题中起着重要的作用，下面我们来探讨一下它们的应用和证明过程。一、绝对值不等式的应用 绝对值不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来描述数的大小关系。在 解决各种问题中，我们经常需要对数的绝对值进行估计，而绝对值不等式就提供了一种有效的方法。 例如，在求解一元二次方程的实数解时，我们常常需要对方程的根进行估计。 通过利用绝对值不等式，我们可以得到方程根的上界和下界，从而确定方程的解的范围。 另外，在求解不等式问题中，绝对值不等式也经常被使用。例如，当我们需要 求解形如|2x-3|<5的不等式时，我们可以利用绝对值不等式将其转化为两个简单的 不等式，从而得到解的范围。 绝对值不等式的证明过程通常是通过分情况讨论来完成的。我们可以将绝对值 的定义进行展开，然后根据数的正负情况进行讨论，最终得到不等式的证明。 二、三角不等式的应用 三角不等式是数学中常用的一种不等式，它可以用来描述三角函数之间的大小 关系。在解决各种几何和三角问题中，三角不等式也起着重要的作用。 例如，在求解三角形边长关系问题时，我们常常需要利用三角不等式来判断给 定的边长是否构成一个三角形。根据三角不等式的定义，对于任意三角形的三边a、

b、c，有|a-b|

绝对值的三角不等式典型例题

1.4绝对值三角不等式 ☆教学目标：1.理解绝对值的定义，理解不等式基本性质的推导过程； 2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义； 3.理解绝对值三角不等式； 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 ☆教学重点：定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点：换元思想的渗透。 ☆教学过程： 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质： （1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤- （3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b b a b a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。在0

1.4绝对值的三角不等式

2．绝对值不等式的解法 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c . 2．了解绝对值不等式的几何解法． , [学生用书P16]) 1．含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法 (1)|x |＜a ⇔⎩ ⎪⎨⎪⎧－a ＜x ＜a （a ＞0）， 空集（a ≤0）. (2)|x |＞a ⇔⎩⎪⎨⎪ ⎧x ∈R （a ＜0）， x ∈R 且x ≠0（a ＝0），x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）. 2．|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|ax ＋b |≥c (c ＞0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ． (2)|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 3．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的三种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义． (2)利用x －a ＝0，x －b ＝0的解，将数轴分成三个区间，然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之． (3)通过构造函数，利用函数图象． 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|f (x )|＞|g (x )|，则f (x )＜g (x )，或f (x )＞－g (x )．( ) (2)绝对值三角不等式的解法一般有分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．( ) (3)几何法解绝对值不等式的关键是利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：即数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|(x －a )－(x －b )|＝|a －b |.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．不等式|x －1|<1的解集为( ) A ．(0，2) B ．(－∞，2) C ．(1，2) D ．[0，2) 解析：选A.由|x －1|<1⇔－1

高二数学人教B版选修4-5讲义第一章1.4绝对值的三角不等式

1．4绝对值的三角不等式 [对应学生用书P13] [读教材·填要点] 绝对值的三角不等式 (1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|. 当且仅当ab≥0时，等号成立． (2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间． ①推论1：||a|－|b||≤|a＋b| ②推论2：||a|－|b||≤|a－b| [小问题·大思维] 1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？ 提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|. 2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？ 提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab ≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|. 3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？ 提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|. [对应学生用书P13] 绝对值的三角不等式的应用 [例1](1)以下四个命题： ①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|； ②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；

③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜2 3 ； ④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥1 2( lg|A |＋lg|B |)． 其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 (2)不等式|a ＋b | |a |－|b | ≥1成立的充要条件是________． [思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论． [精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13 . 又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜2 3 .③正确； ⎝⎛⎭⎫|A |＋|B |22＝14 (|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥1 4(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |. ∴lg |A |＋|B |2≥1 2 (lg|A |＋lg|B |)，④正确． (2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b | |a |－|b |≥1. 即|a |>|b |是|a ＋b | |a |－|b | ≥1成立的充分条件． 当 |a ＋b | |a |－|b | ≥1时，由|a ＋b |>0， 必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是 |a ＋b | |a |－|b | ≥1成立的必要条件．