5 第5讲 绝对值不等式
第5讲 绝对值不等式
1．绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅
∅ |x |＞a
{x |x ＞a 或x ＜－a }
{x |x ∈R 且x ≠0}
R
①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 2．绝对值三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．
上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |； (2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； (3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )
(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]
1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，
|2x －5|≥3，
即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2 所以不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)． 答案：(－2，1]∪[4，7) 2．(选修4-5P20T8改编)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 解析：①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2，所以－4<2，不等式恒成立，所以x ≤1； ②当1 (1)含参数的绝对值不等式讨论不清； (2)存在性问题不能转化为最值问题求解． 1．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________． 解析：因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2. 答案：2 2．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________． 解析：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 所以|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a |≥3，则a ≥3或a ≤－3. 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞) 绝对值不等式的解法 (1)(2020·嘉兴市高考模拟)已知f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5，则不等式|f (x )|＋|g (x )|≤2 的解集为________；|f (2x )|＋|g (x )|的最小值为________． (2)解不等式|x ＋3|－|2x －1| 2 ＋1. 【解】 (1)因为f (x )＝x －2，g (x )＝2x －5， 所以|f (x )|＋|g (x )|≤2， 即|x －2|＋|2x －5|≤2， x ≥52时，x －2＋2x －5≤2，解得5 2 ≤x ≤3， 2＜x ＜52时，x －2＋5－2x ≤2，解得x ≥1，即2＜x ＜52， x ≤2时，2－x ＋5－2x ≤2，解得x ≥53，即5 3≤x ≤2. 综上，不等式的解集是[5 3 ，3]； |f (2x )|＋|g (x )|＝|2x －2|＋|2x －5|≥|2x －2－2x ＋5|＝3，故|f (2x )|＋|g (x )|的最小值是3. 故填[5 3 ，3]，3. (2)①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x ) 2＋1，解得x <10，所以x <－3. ②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x ) 5. ③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1) 2＋1，解得x >2，所以x >2. 综上可知，原不等式的解集为⎩ ⎨⎧⎭ ⎬⎫ x |x <－25或x >2. |x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型不等式的解法 (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a (2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |>c (c >0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |. (3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 设函数f (x )＝|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥7－|x －1|； (2)若f (x )≤1的解集为[0，2]，求a 的值． 解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥7， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x <1，2－x ＋1－x ≥7或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，2－x ＋x －1≥7 或⎩⎨⎧x >2x －2＋x －1≥7 ， 所以不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)． (2)f (x )≤1即|x －a |≤1， 解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0，2]， 所以⎩ ⎪⎨⎪⎧a －1＝0a ＋1＝2，解得a ＝1. 绝对值不等式性质的应用 (1)(2020·宁波市九校联考)已知f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1x －a |＋2x －2a (x ＞0)的最小 值为3 2 ，则实数a ＝________． (2)(2020·宁波效实中学高三模拟)确定“|x －a | 【解】 (1)f (x )＝|x ＋1x －a |＋|x －1 x －a |＋2x －2a ≥ |(x ＋1x －a )－(x －1 x －a )|＋2x －2a ＝|2x |＋2x －2a ＝2 x ＋2x －2a ≥2 2 x ·2x －2a ＝4－2a . 当且仅当2 x ＝2x ，即x ＝1时，上式等号成立． 由4－2a ＝32，解得a ＝54.故填5 4 . (2)因为|x －y |＝|(x －a )－(y －a )|≤|x －a |＋|y －a | 取x ＝3，y ＝1，a ＝－2，m ＝2.5，则有|x －y |＝2<5＝2m ，但|x －a |＝5，不满足|x －a | ＝2.5， 故“|x－a| 故为充分不必要条件． 两数和与差的绝对值不等式的性质 (1)对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时． (2)该定理可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式． 1．若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________． 解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，所以只需a≤3即可．故a的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3] 2．(2020·温州模拟)已知a，b，c∈R，若|a cos2x＋b sin x＋c|≤1对x∈R成立，则|a sin x ＋b|的最大值为________． 解析：由题意，设t＝sin x，t∈[－1，1]，则|at2－bt－a－c|≤1恒成立， 不妨设t＝1，则|b＋c|≤1；t＝0，则|a＋c|≤1，t＝－1， 则|b－c|≤1， 若a，b同号，则|a sin x＋b|的最大值为|a＋b|＝|a＋c＋b－c|≤|a＋c|＋|b－c|≤2； 若a，b异号，则|a sin x＋b|的最大值为|a－b|＝|a＋c－b－c|≤|a＋c|＋|b＋c|≤2； 综上所述，|a sin x＋b|的最大值为2. 答案：2 绝对值不等式的综合应用与证明 (2020·杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1. (1)求证：|b|≤1； (2)若f(0)＝－1，f(1)＝1，求实数a的值． 【解】(1)证明：由题意知f(1)＝a＋b＋c， f (－1)＝a －b ＋c ， 所以b ＝1 2[f (1)－f (－1)]． 因为当x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 所以|f (1)|≤1，|f (－1)|≤1， 所以|b |＝1 2|f (1)－f (－1)| ≤1 2 [|f (1)|＋|f (－1)|]≤1. (2)由f (0)＝－1，f (1)＝1可得c ＝－1，b ＝2－a ， 所以f (x )＝ax 2＋(2－a )x －1. 当a ＝0时，不满足题意，当a ≠0时， 函数f (x )图象的对称轴为x ＝ a －22a ，即x ＝12－1 a . 因为x ∈[－1，1]时，|f (x )|≤1， 即|f (－1)|≤1，所以|2a －3|≤1，解得1≤a ≤2. 所以－12≤12－1 a ≤0，故|f ⎝⎛⎭⎫12－1a |＝ |a ⎝⎛⎭⎫12－1a 2 ＋(2－a )⎝⎛⎭⎫12－1 a －1|≤1. 整理得|（a －2）24a ＋1|≤1， 所以－1≤（a －2）24a ＋1≤1，所以－2≤（a －2）2 4a ≤0， 又a ＞0，所以（a －2）24a ≥0，所以（a －2）2 4a ＝0，所以a ＝2. (1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法． (2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值． (3)证明含有绝对值的不等式的思路：①充分利用含绝对值的不等式的性质；②证题过程还应考虑添、拆项的技巧，以上两步骤用活，此类问题可快速破解． 1．设不等式|x －2| 2∉A . (1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解：(1)因为32∈A ，且1 2∉A . 所以⎪⎪⎪⎪ 32－2 ， 又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3. 当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0即－1≤x ≤2时取到等号， 所以f (x )的最小值为3. 2．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |＜1，求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． 证明：f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)， 所以|f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|＜|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|≤|x －a |＋2|a |＋1＜2|a |＋2＝2(|a |＋1)． 所以|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1)． [基础题组练] 1．(2020·嘉兴期中)不等式1≤|2x －1|＜2的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0∪⎣⎡⎭⎫1，3 2 B.⎝⎛⎭ ⎫－12，3 2 C.⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭ ⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选C.由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧－2＜2x －1＜2 2x －1≥1或2x －1≤－1 ， 解得：－12＜x ≤0或1≤x ＜3 2 ， 故不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭ ⎫1，3 2，故选C. 2．(2020·温州高三第二次适应性考试)不等式|x －1|＋|x ＋1|＜4的解集是( ) A ．{x |x ＞－2} B ．{x |x ＜2} C ．{x |x ＞0或x ＜－2} D ．{x |－2＜x ＜2} 解析：选D.根据题意，原不等式等价于⎩ ⎪⎨⎪⎧x ≤－1， 1－x －x －1＜4 或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ≤1，1－x ＋x ＋1＜4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1， x －1＋x ＋1＜4， 解之取并集即得原不等式的解集为{x |－2＜x ＜2}． 3．(2020·绍兴高三质量检测)对任意实数x ，若不等式|x ＋2|＋|x ＋1|＞k 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪[2，＋∞) B ．[－2，－1]∪(0，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，1] 解析：选C.因为|x ＋2|＋|x ＋1|≥|x ＋2－x －1|＝1，所以当且仅当k ＜1时，不等式|x ＋2|＋|x ＋1|＞k 恒成立． 4．(2020·绍兴市诸暨市高考模拟)已知f (x )＝x 2＋3x ，若|x －a |≤1，则下列不等式一定成立的是( ) A ．|f (x )－f (a )|≤3|a |＋3 B ．|f (x )－f (a )|≤2|a |＋4 C ．|f (x )－f (a )|≤|a |＋5 D ．|f (x )－f (a )|≤2(|a |＋1)2 解析：选B.因为f (x )＝x 2＋3x ，所以f (x )－f (a )＝x 2＋3x －(a 2＋3a )＝(x －a )(x ＋a ＋3)，所以|f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a ＋3)|＝|x －a ||x ＋a ＋3|，因为|x －a |≤1，所以a －1≤x ≤a ＋1，所以2a ＋2≤x ＋a ＋3≤2a ＋4，所以|f (x )－f (a )|＝|x －a ||x ＋a ＋3|≤|2a ＋4|≤2|a |＋4，故选B. 5．(2020·绍兴市柯桥区高三期中)已知x ，y ∈R ，( ) A ．若|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x ＋12)2＋(y －12)2≤32 B ．若|x －y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x －12)2＋(y －12)2≤3 2 C ．若|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1，则(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤3 2 D ．若|x ＋y 2|＋|x 2＋y |≤1，则(x －12)2＋(y ＋12)2≤3 2 解析：选B.对于A ，|x －y 2|＋|x 2＋y |≤1，由(x ＋12)2＋(y －12)2≤3 2化简得x 2＋x ＋y 2－y ≤1， 二者没有对应关系；对于B ，由(x 2－y )＋(y 2－x )≤|x 2－y |＋|y 2－x |＝|x －y 2|＋|x 2－y |≤1， 所以x 2－x ＋y 2－y ≤1，即(x －12)2＋(y －12)2≤3 2，命题成立；对于C ，|x ＋y 2|＋|x 2－y |≤1， 由(x ＋12)2＋(y ＋12)2≤3 2化简得x 2＋x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系；对于D ，|x ＋y 2|＋|x 2＋ y |≤1，化简(x －12)2＋(y ＋12)2≤3 2 得x 2－x ＋y 2＋y ≤1，二者没有对应关系． 故选B. 6．不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2， －（x －1）－（x ＋2）≥5得x ≤－3； 由⎩⎪⎨⎪⎧－2 －（x －1）＋（x ＋2）≥5得无解； 由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 得x ≥2. 即所求的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}． 答案：{x |x ≤－3或x ≥2} 7．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 解析：|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5. 答案：5 8．(2020·温州市高三高考模拟)若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，则实数对(a ，b )＝________． 解析：因为不等式|x |＋|x ＋a |＜b 的解集为(－2，1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＋|－2＋a |＝b 1＋|1＋a |＝b ，解得a ＝1， b ＝3. 答案：(1，3) 9．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)对任意x ∈R 不等式x 2＋2|x －a |≥a 2恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋2|x －a |≥a 2对任意的x ∈R 恒成立， ①x ≥a 时， (x ＋a )(x －a )＋2(x －a )≥0， (x －a )(x ＋a ＋2)≥0， 因为x －a ≥0，因此只需x ＋a ＋2≥0，x ≥－(a ＋2)， －(a ＋2)≤a ，解得a ≥－1. ②x (x ＋a )(x －a )－2(x －a )≥0， (x －a )(x －2＋a )≥0， 因为x －a <0，只需x ≤2－a ，2－a ≥a ，解得a ≤1. 综上所述：－1≤a ≤1. 答案：[－1，1] 10．(2020·宁波市六校联盟模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.当a ＝－4时，不等式f (x )≥6的解集为________；若f (x )≤|x －3|的解集包含[0，1]，则实数a 的取值范围是________． 解析：当a ＝－4时，f (x )≥6，即|x －4|＋|x －2|≥6， 即⎩ ⎨⎧x ≤24－x ＋2－x ≥6或⎩⎨⎧2 或⎩ ⎨⎧x ≥4 x －4＋x －2≥6，解得x ≤0或x ≥6. 所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)． 由题可得f (x )≤|x －3|在[0，1]上恒成立． 即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[0，1]上恒成立， 即－1－x ≤a ≤1－x 在[0，1]上恒成立．即－1≤a ≤0. 答案：(－∞，0]∪[6，＋∞) [－1，0] 11．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值． 解：由于f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |， 当a ＞－1时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋2a －1，x ＜－1，－x ＋2a ＋1，－1≤x ≤a ，3x －2a ＋1，x ＞a . 作出f (x )的大致图象如图所示， 由函数f (x )的图象可知f (a )＝5， 即a ＋1＝5，所以a ＝4. 同理，当a ≤－1时，－a －1＝5，所以a ＝－6. 所以实数a 的值为4或－6. 12．已知函数f (x )＝|x －3|－|x －a |. (1)当a ＝2时，解不等式f (x )≤－12 ； (2)若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为a ＝2，所以f (x )＝|x －3|－|x －2| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤2，5－2x ，2 所以f (x )≤－12等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，1≤－12或⎩⎪⎨⎪⎧2 解得114≤x <3或x ≥3，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪ ⎪x ≥114. (2)由不等式的性质可知f (x )＝|x －3|－|x －a |≤|(x －3)－(x －a )|＝|a －3|， 所以若存在实数x ，使得不等式f (x )≥a 成立，则|a －3|≥a ，解得a ≤32 ， 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎤－∞，32. [综合题组练] 1．已知a ∈R ，函数f (x )＝⎪⎪⎪ ⎪x ＋4x －a ＋a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ∈[1，4]，所以x ＋4x ∈[4，5]，①当a ≤92 时，f (x )max ＝|5－a |＋a ＝5－a ＋a ＝5，符合题意；②当a >92时，f (x )max ＝|4－a |＋a ＝2a －4＝5，所以a ＝92 (矛盾)，故a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎤－∞，92. 答案：⎝ ⎛⎦⎤－∞，92 2．(2020·浙江省五校协作体联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)若不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤3}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若存在实数t ，使f ⎝⎛⎭⎫t 2≤m －f (－t )成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由|2x －a |＋a ≤6，得|2x －a |≤6－a ，所以a －6≤2x －a ≤6－a ，即a －3≤x ≤3，所以a －3＝－2，所以a ＝1. (2)因为f ⎝⎛⎭⎫t 2≤m －f (－t )，所以|t －1|＋|2t ＋1|＋2≤m ， 令y ＝|t －1|＋|2t ＋1|＋2，则y ＝⎩⎨⎧ －3t ＋2，t ≤－12，t ＋4，－12 所以y min ＝72，所以m ≥72. 3．(2020·杭州高考科目教学质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a <3)的最小值为2. (1)解关于x 的方程f (x )＝a ； (2)若存在x ∈R ，使f (x )－mx ≤1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|x －4－(x －a )|＝|a －4|(当(x －4)(x －a )≤0时取等号)，知|a －4|＝2，解得a ＝6(舍去)或a ＝2. 方程f (x )＝a 即|x －4|＋|x －2|＝2，由绝对值的几何意义可知2≤x ≤4. (2)不等式f (x )－mx ≤1即f (x )≤mx ＋1，由题意知y ＝f (x )的图象至少有一部分不在直线y ＝mx ＋1的上方，作出对应的图象观察可知，m ∈(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞. 4．(2020·温州校级月考)已知函数f (x )＝x 2＋|x －t |. (1)当t ＝1时，求不等式f (x )≥1的解集； (2)设函数f (x )在[0，2]上的最小值为h (t )，求h (t )的表达式． 解：(1)当t ＝1时，f (x )＝x 2＋|x －1|. 因为f (x )≥1， 所以当x ≥1时，x 2＋x －1≥1，所以x ≥1或x ≤－2. 所以x ≥1. 当x ＜1时，x 2－x ＋1≥1，所以x ≥1或x ≤0. 所以x ≤0. 综上，不等式的解集为{x |x ≥1或x ≤0}． (2)因为f (x )＝x 2＋|x －t |，x ∈[0，2]， 所以当t ≥2时，f (x )＝x 2－x ＋t ，h (t )＝f ⎝⎛⎭⎫12＝t －14 ， 当t ≤0时，f (x )＝x 2＋x －t ，h (t )＝f (0)＝－t ， 当0＜t ＜2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋t ，x ∈[0，t ]x 2＋x －t ，x ∈（t ，2] . 所以h (t )＝⎩⎨⎧t －14，1 2≤t ＜2 t 2，0＜t ＜12. 所以h (t )＝ 有关绝对值的不等式 一、绝对值的定义 我们知道，绝对值的定义为数与零的距离，即： - 当一个实数x大于或等于0时，|x|=x； - 当一个实数x小于0时，|x|=-x。 二、绝对值的性质 绝对值有以下几个性质： 1. 非负性：|x|≥0，即绝对值是非负数； 2. 正反性：若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x； 3. 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|，即两数之和的绝对值不大于它们绝对值的和； 4. 乘法性：|ab|=|a|×|b|，即两数之积的绝对值等于它们绝对值的积； 5. 倒数性：若a≠0，则|1/a|=1/|a|。 三、绝对值的应用 绝对值在数学中有着广泛的应用，特别是在不等式中的应用更为常见。下面介绍几个绝对值不等式的例子。 例1：|x-a| 绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、绝对值三角不等式 1.定理1 如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立. 定理1的等号成立的情况具体来说，当a=0或b=0时，或a>0、b>0时，或a<0，b<0时，等号都是成立的，即有|a+b|=|a|+|b|.除此之外，就是|a+b|<|a|+|b|了. 如果把定理1中的实数a，b分别替换为向量a，b，则定理1的形式仍旧成立.即有|a+b|≤|a|+|b|成立，当且仅当向量a,b不共线时，有|a+b|<|a|+|b|成立. 联想发散 根据定理1，我们可以得到许多正确的结论.其中比较常用的结论有： （1）如果a，b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. （2）|a1+a2+a3+…+a n|≤|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|(n∈N*). 2.绝对值三角不等式 所谓绝对值三角不等式就是指把定理1中的实数a,b分别替换为向量a,b，且向量a,b不共线时，所成立的不等式|a+b|<|a|+|b|. 绝对值三角不等式即向量不等式|a+b|<|a|+|b|的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边(如下图所示). 记忆要诀 由于绝对值三角不等式其形式与定理1是完全类似的，所以只要记住定理1，那么这个绝对值三角不等式也就记住了. 3.定理2 如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立. 对于定理2，同学们不但要记住它的形式，还应注意它的特点，尤其要注意它的不等号左边没有字母b，只有右边才有. 学法一得 要注意|a-c|可以变形为|(a-b)+(b-c)|，熟悉这种变形，那么在具体解题时就可以通过变形来巧妙地利用定理2了. 二、绝对值不等式的解法 要熟记简单绝对值不等式的解法，它是解较复杂的绝对值不等式的基础，即要记住：一般地，如果a>0，则有： |x| 绝对值不等式的解法 绝对值不等式是数学中常见的一类不等式，对于绝对值不等式的解法，我们可以通过以下几种方法来进行求解。在本文中，将介绍绝对值不等式的图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用解法。 一、图像法 图像法是一种直观的解法，通过绘制图像来确定不等式的解集。 例1： 解不等式 |x - 2| > 3。 首先，我们可以将其转化为两个方程： x - 2 > 3 或 x - 2 < -3 解得： x > 5 或 x < -1 将这两个解集对应的区间在数轴上标出，即可得到图像。通过观察图像，我们可以得出原不等式的解集为 x < -1 或 x > 5。 二、符号法 符号法是一种抽象的解法，通过符号的转换来确定不等式的解集。 例2： 解不等式 |2x - 3| ≤ 4。 根据绝对值的定义，我们可以将不等式分解为以下两个条件： 2x - 3 ≤ 4 且 2x - 3 ≥ -4 解得： x ≤ 7/2 且x ≥ -1/2 将这两个解集取交集，即可得到原不等式的解集为 -1/2 ≤ x ≤ 7/2。 三、分情况讨论法 分情况讨论法是一种特殊的解法，通过考虑不同情况来确定不等式的解集。 例3： 解不等式 |3x + 2| > 5。 根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式： 3x + 2 > 5 或 3x + 2 < -5 解得： x > 1 且 x < -7/3 因此，我们可以根据不同的情况得出原不等式的解集为 x < -7/3 或x > 1。 四、代数法 代数法是一种基础的解法，通过代数运算来确定不等式的解集。 例4： 解不等式 |x - 4| ≥ 2。 根据绝对值的定义，我们可以得到以下两个不等式： x - 4 ≥ 2 或 x - 4 ≤ -2 解得： x ≥ 6 或x ≤ 2 因此，原不等式的解集为x ≤ 2 或x ≥ 6。 综上所述，绝对值不等式的解法包括图像法、符号法、分情况讨论法以及代数法等几种常用方法。我们可以根据具体情况选择合适的解法，来求解各种类型的绝对值不等式。 绝对值不等式 绝对值不等式|a b^|a| |b|, |a - b卜|a | |b | 基本的绝对值不等式：||a|-|b|| < |a ± b| < |a|+|b| y=|x-3|+|x+2| > |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5,没有最大值 |y|=||x-3卜|x+2|| < |(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| < 5 得-5 < y < 5 即函数的最小值是-5 ,最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之和，显然当-2 < x < 3时，距离之和最小，最小值是5;而|x-3|-|x+2| 表示x到3, -2这两点的距离之差，当x< -2时，取最小值-5 ,当x> 3时，取最大值5 ［变题1 ］解下列不等式：(1)| x+1|>2 - x ；(2)| x2- 2x -6|<3 x ［思路］利用丨f(x) | f(x)丨>g(x) = f(x)>g(x) 或f(x)v-g(x) 去掉绝对值后转 化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：⑴原不等式等价于X+1>2—x或x+1<—(2 - x) 1 1 解得或无解，所以原不等式的解集是{ x | x>^} ⑵原不等式等价于—3 X< X2—2x —6<3 X 即 『X2-2x-6>-3x (x2+ x-6>0 ”(x + 3)(x-2) > 0 xv-3 或x>2 { => { => 二* [x2-2x-6^3x l x2-5x-67 l(x + 1)(x-6) v 0 k-V： 6 2< X<6 所以原不等式的解集是{ X|2< X<6} 2 2I 3x I 1 .解不等式(1 )1 x-x 2- 2 | >X2-3X-4 ; (2) x2：4 < 1 解：(1)分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3X-4① 或x-x 2-2<-(x 2-3X-4)② 解①得：1- - 2 v X<1+ 2 解②得：x>-3 故原不等式解集为{ x | x>-3 } 分析二Tl x-x 2-2 | = | x2-x+2 | 绝对值不等式 一、基础知识 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立． 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．↓ |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立. 2．绝对值不等式的解法 (1)|x| [典例] (2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集． [解] (1)由题意得f (x )＝??? ?? x －4，x ≤－1， 3x －2，－1 第5讲 绝对值不等式 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解集 a ＞0 a ＝0 a ＜0 |x |＜a {x |－a ＜x ＜a } ∅ ∅ |x |＞a {x |x ＞a 或x ＜－a } {x |x ∈R 且x ≠0} R ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ． 2．绝对值三角不等式 定理1：如果a ，b 是实数，那么|a ＋b |≤|a |＋|b |.当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 上述定理还可以推广得到以下几个不等式： (1)|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |； (2)||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |； (3)||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |. [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( ) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立．( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ [教材衍化] 1．(选修4-5P20T7改编)不等式3≤|5－2x |<9的解集为________． 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9， |2x －5|≥3， 【知识点梳理】 一、绝对值的相关概念与性质： 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉 绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； （5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立． （5）.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤. （6）：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++Λ≤||||||21n a a a +++Λ. （7）：||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+. 绝对值几何意义 当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值． 零点分段讨论的一般步骤： 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． 不等式的性质及绝对值不等式 课前双击巩固 1.不等式的性质 (1)如果a>b,那么;如果b 1 若对于实数x ,y ,有|x+y+1|≤13,|y -13|≤23,求证:|23x +1|≤7 9. [总结反思] (1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式. (2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便. 式题 若x ,y 满足|x-3y|<1 2 ,|x+2y|<1 6 ,求证:|x|<3 10 . 探究点二 绝对值不等式的解法 2 已知函数f (x )=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f (x )≥-2; (2)设g (x )=x-a ,若对任意x ∈[a ,+∞),都有 g (x )≥f (x ),求a 的取值范围. [总结反思] 课 题： 含有绝对值的不等式的解法 目的要求：理解定理||||||||||||a b a b a b -≤±≤+，弄清取等号的条件，理解定理的 几何意义：三角形任意两边之差小于第三边，两边之和大于第三边；能应用 定理解决一些基本问题。 重点难点： 对于定理的理解和应用。 教学设计： 一、引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定 的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类 是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于 去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 ?? ???<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开 区间（－a ，a ），如图所示。 a - 图1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间 ),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。 –a a 绝对值解不等式 绝对值是数学中的一种运算符号，表示一个数与零之间的距离。在解不等式时，绝对值经常被用到。下面我将以绝对值解不等式为题，为大家详细解释这一概念。 我们需要明确绝对值的定义。一个数a的绝对值，记作|a|，表示a 与0之间的距离。如果a大于等于0，则|a|等于a本身；如果a小于0，则|a|等于-a。例如，|3|等于3，|-5|等于5。 接下来，我们来看一些简单的绝对值不等式的解法。首先，考虑如下不等式： |2x + 3| < 5 要解这个不等式，我们可以将其分解成两个部分： 2x + 3 < 5 以及 -(2x + 3) < 5 解这两个不等式，我们可以得到： 2x < 2 和 -(2x + 3) < 5 进一步计算，得到： x < 1 和 -2x - 3 < 5 解这两个不等式，我们可以得到： x < 1 和 -2x < 8 最终解得： x < 1 和 x > -4 接下来，我们来看一个稍微复杂一些的绝对值不等式： |3x - 2| > 7 同样地，我们将这个不等式分解为两个部分： 3x - 2 > 7 以及 -(3x - 2) > 7 解这两个不等式，我们可以得到： 3x > 9 和 -3x + 2 > 7 进一步计算，得到： x > 3 和 -3x > 5 需要注意的是，当我们将不等式中的绝对值去掉时，需要考虑到绝对值内的数值可能为正或负，所以要分别解两个不等式。 现在，我们来看一个稍微复杂一些的绝对值不等式组： |2x + 1| < 3 且 |3x - 2| > 4 要解决这个不等式组，我们需要分别解两个不等式： 2x + 1 < 3 且 -(2x + 1) < 3 3x - 2 > 4 且 -(3x - 2) > 4 解这四个不等式，我们可以得到： 2x < 2 且 -2x < 2 3x > 6 且 -3x > 6 进一步计算，得到： x < 1 且 x > -1 x > 2 且 x < -2 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{ } a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 绝对值的不等式教案 教案标题：解绝对值不等式 教学目标： 1. 理解绝对值及其性质。 2. 能够解决简单的绝对值不等式。 3. 能够将绝对值不等式转化为等价的非绝对值不等式进行求解。 4. 能够解决带有绝对值不等式的实际问题。 教学资源： - 幻灯片或白板和马克笔 - 练习题集合 - 板书课堂活动 教学步骤： 1. 引入（5分钟） - 通过幻灯片或讲解的方式让学生回顾什么是绝对值，并复习绝对值的计算方法。 - 引导学生思考什么是不等式，并提醒他们解决不等式的方法。 2. 介绍绝对值不等式（10分钟） - 解释绝对值不等式的概念，即含有绝对值符号的不等式。 - 强调绝对值不等式的解集不只是一个数值，而是一个包含多个数值的区间。 - 根据学生现有的知识，给出一些简单的绝对值不等式例子，如|3x - 2| < 5。 3. 解决绝对值不等式（15分钟） - 分步骤引导学生解决简单的绝对值不等式。 a. 首先，将绝对值不等式拆分成两个不等式。 b. 对于每个不等式，在不改变不等式方向的前提下，去除绝对值符号。 c. 解决得到的两个非绝对值不等式。 d. 在坐标轴上表示解，可通过绘制数轴和标记解集实现。 - 鼓励学生互相讨论解决过程，解释他们的思路和策略。 4. 练习题实践（15分钟） - 提供一些练习题，并让学生独立或者小组合作解决。 - 让学生将解答过程记录下来，或者将其写在白板上，以便进行核对和讨论。 5. 实际应用（10分钟） - 引导学生将绝对值不等式应用到实际生活问题中。 - 提供一些例子，如一个汽车在多少小时内行驶不超过100公里等，让学生分析并解决这些问题。 6. 总结和拓展（5分钟） - 总结解决绝对值不等式的步骤和要点。 - 引导学生思考如何解决更复杂的绝对值不等式。 - 鼓励学生思考如何应用绝对值不等式解决其他类型的问题。 教学策略： - 合作学习：鼓励学生在小组中合作解决练习题，互相讨论和解释 策略。 - 演示法：通过解决真实问题的示范，帮助学生理解和应用绝对值 不等式的概念。 - 反思评价：在课堂结束前，对学生进行简要的反思评价，以确保 学生理解和掌握所学内容。 评估方法： - 课堂练习：在课堂上进行的解绝对值不等式的练习，包括个人练 习和小组合作练习。 - 实际应用问题的解答：学生根据给定的实际问题，应用绝对值不 等式进行解答。 拓展活动： 不等式选讲知识点 一、绝对值不等式 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立。 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当a，b不共线时，|a+b|≤|a|+|b|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。 （2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是ab≥0，左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≤0，左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|。 定理2：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。 2．绝对值不等式的解法 （1）含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x到原点O的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x到点a,b的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c; ②| ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 二、证明不等式的基本方法 名师精编 优秀教案 含绝对值不等式的解法说课稿 各位领导、老师们，你们好！我是XXX 的XX 。今天我要说课的主题是《含绝对值不等式的解法 》。我将从以下几方面对本节课进行说课。 一、课题介绍 含绝对值不等式的解法选自高中数学第一册（上） 第一章第四节的内容。本节是第一课时。 二、教材分析 1、本节在教材中的地位和作用 不等式是中学学习的主要内容之一.解含绝对值的不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，化归为不含绝对值符号的不等式去解.而去绝对值的方法主要有公式法、分类讨论法、平方法、几何法等.本节主要学习里面的公式法，即运用绝对值的几何意义及数形结合、整体代换等思想来去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解. 含绝对值不等式的学习，是在初中一元一次不等式的基础上进行的，是集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、培育思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性. 2、目标分析 根据课程标准的要求及本节的地位和作用，我从以下几方面来确定教学目标： （1）知识目标：理解()()0x a x a a <>>或的解集；掌握ax b c +< ax b c +>与()0,0a c ≠>的解法. （2）能力目标：运用含绝对值的不等式的解法解决一些简单的不等式；培养学生数形结合、整体代换等意识. （3）情感目标：感悟形与数不同的数学形态间的和谐同一美,培养学生对事物之间转化的辩证唯物主义观点的认识. 3、教学重点与难点 本节注重培养学生“数形结合”、“整体代换”思想及解决问题分析问题的能力，因而确定重、难点为： 重点：()()0x a x a a <>>或的解法及解集； ()0,0ax b c ax b c a c +<+>≠>与型不等式的解法. 难点：如何引导学生处理含绝对值的不等式变换的等价性问题的技巧. 三、教法分析 建构主义教学理论认为：“知识是不能为教师所传授的，而只能为学习者所构 《绝对值不等式的解法》（第一课时）教学设计 一、教学内容解析 《绝对值不等式的解法》是选修4-5第一章第三节内容，我们这里讲解第一课时。该内容是在初中学习了绝对值的概念，学习了一元一次不等式；高中必修1学习了绝对值函数图像的画法，必修5学习了一元二次不等式的基础上展开的。通过本节课可渗透数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想方法，因此它是本章的重点之一，在整个数学学科中占有重要地位。 解含绝对值不等式问题的基本思想是设法去掉绝对值符号，转化为同解的不含绝对值符号的一般不等式去解.而去绝对值的方法主要有定义法（分类讨论法）、平方法、几何法、图像法等，实际上，这四种方法也是解绝对值不等式问题的基本思路，为下一节学习含有两个绝对值的不等式的解法做好铺垫.而本节的重点是运用绝对值的几何意义去掉绝对值符号，转化为不含绝对值的不等式求解，并从中总结规律，形成解绝对值不等式的规律公式及口诀。 本节课在求解过程中也是对集合知识的应用和巩固，同时，为以后不等式的学习打下了基础，对培养学生分析问题、解决问题的能力、理解能力、思维的灵活性有很大的帮助，同时能使学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。 二、教学目标设置 【教学目标】 1、知识与技能：使学生熟练掌握()()()0> ≤ ≥a a x f a x f与型不等式的解法； 2、过程与方法：培养学生观察、分析、归纳、概括的能力，渗透数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法；培养学生养成多角度认识研究事物的习惯；并通过不等式变换的等价性培养思维的可容性。 3、情感态度价值观：向学生渗透“具体-抽象-具体”辩证唯物主义的认识论观点，使学生形成良好的个性品质。感悟形与数不同的数学形态间的和谐统一美。【教学重点与难点】 重点： ()()()0> ≤ ≥a a x f a x f与型不等式的解法； 难点：利用绝对值的几何意义解绝对值不等式。 绝对值不等式教案 一、教学目标： 1．理解 |x|≤ a ，|x|≥ a （a ＞0）型不等式的意义并掌握其解法。 2．掌握 |ax+b| ≤ c ，|ax+b|≥ c （c ＞0）型不等式的解法，并学会运用“ ”。 3．通过本节课的学习，了解数形结合，分类讨论的思想。 二、教学重点：|x| ≤ a ，|x|≥ a （a>0）型不等式解法，关键是对绝对值意义的理解。 三、教学难点： |ax+b| ≤ c ，|ax+b|≥ c （c ＞0）型不等式的解法。 四、教学流程 1、课题引入： 商店出售的标明500g 的袋装食盐，按商品质量规定，其实际数与所标数的差不能超过5g ，如果设实际数是Xg ，那么怎样表示这个数量关系呢？ 2、引出课题：绝对值不等式 3、巩固知识与探索新知： 问题（一） 1.绝对值的代数和几何意义。（数形结合思想的铺垫） 几何意义：实数a 的绝对值表示在数轴上所对应的点A 到原点的距离。 问题（二） 1.解方程|x|=2？|x|=2的几何意义是什么？（从具体出发，体现数学问题与图形之间的直观联系） （1）代数法：当 x ≥0 时， x = 2； 当 x< 0 时，-x = 2，即 x = -2。 ∴ x= 2 或 -2 （2）几何法：|x|=2的几何意义是到原点的距离等于2的点。 2.对于|x|>2, |x|<2能用绝对值定义分析讨论吗？能表述其几何意义吗？其解集是什么？（与课题绝对值不等式衔接，旧知与新知的自然过度） （1）代数法： ① 解 |x| > 2：当 x ≥ 0 时，x > 2 ； 当 x < 0 时，-x > 2 ，即 x < -2。 代数意义： |a|= a, a ≥0 -a, a ＜0 -a a X 0 -2 2 X 课题：含绝对值的不等式的解法 教学目标：掌握一些简单的含绝对值的不等式的解法 教学重点：解含绝对值不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次 （二次）不等式（组），难点是含绝对值不等式与其它内容的综合问题及求解过程中，集 合间的交、并等各种运算． （一） 主要知识： 1.绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两 点间的距离. 2.当0c >时，||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-； ||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x +<⇔∈∅． 3.设0a >，则不等式()f x a <等价于()0()f x f x a ≥⎧⎨<⎩或()0 ()f x f x a <⎧⎨-<⎩，也可以等价于 ()a f x a -<<； 设0a >，则不等式()f x a >等价于()0()f x f x a ≥⎧⎨ >⎩或()0()f x f x a <⎧⎨ ->⎩，也可以等价于 ()f x a <-或()f x a >； 4.设0b a >>，则不等式()a f x b ≤<⇔()b f x a -<≤-或()a f x b ≤< 5.a b a b a b -≤±≤+ 6.()f x ≥()g x ⇔()f x ≥()g x 或()f x ≤()g x ；()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< （二）主要方法： 1.解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次） 不等式（组）进行求解； 去掉绝对值的主要方法有： 2.（1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． （2）定义法：00x x x x x ≥⎧=⎨ -≤⎩ ，零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方.ax b c -<()0c >⇔ () 2 2 ax b c -< 3.解绝对值不等式的其他方法： （1）利用绝对值的几何意义法： (2) 利用函数图象法：原理：不等式()()f x g x >的解集是函数()y f x =的图象位于 函数()y g x =的图象上方的点的横坐标的集合. （三）典例分析： 问题1：解下列不等式： () 14321x x ->+； ()2 |2||1|x x -<+； 高考数学一轮复习考点知识专题讲解 绝对值不等式 考点要求 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R). 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c . 知识梳理 1．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 2．含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.(×) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.(√) (3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a >b >0时等号成立．(×) (4)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．(√) 教材改编题 1．不等式3≤|5－2x |<9的解集为() A ．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7] C ．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7) 答案D 解析由题意得⎩⎨ ⎧ |2x －5|<9， |2x －5|≥3， 即⎩⎨ ⎧ －9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3， 解得⎩⎨ ⎧ －2有关绝对值的不等式
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