含绝对值符号的不等式的解法与证明
含绝对值符号的不等式的解法与证
明
[重点难点]
1．实数绝对值的定义:
|a|=
这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。
2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。
若a>0时，则
|x| |x|>a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| |f(x)|>g(x) f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x) 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 例题选讲: 例1．解不等式|x2+4x-1|<4.............① 解:①-4 -5 例2．解不等式|x2-3|>2x...........① 解:①x2-3<-2x或x2-3>2x x2+2x-3<0或x2-2x-3>0 -3 即原不等式的解集（-∞，1）∪（3，+∞）。 例3．解不等式||≤1...........① 解:① (2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0 (x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。 (3) x≠1。 ∴原不等式的解集为[-4，-]。 例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........① 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1）， [-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式①化为三个不等式组 （I）-2 （II）-1≤x≤2； （III）2 ∴原不等式的解集为(-2,-1)∪[-1,2]∪(2,3)，即（-2，3）。 例5．解不等式|x+1|+|x-2|<1。 解:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3，∴原不等式无解。 说明:本题没有采用例4的解法，而是利用三角形不等式直接判断出结果。它提示我们今后解这一类问题，应先判断。 例6．已知:|a|<1, |b|<1。求证:||<1.........① 证法1：欲证①，只需证<1, 只需证|a+b|<|1+ab|, 只需证(a+b)2<(1+ab)2, 只需证(a+b)2-(1+ab)2<0, 只需证(a2+b2-a2b2-1)<0, 只需证-(a2-1)(b2-1)<0............② ∵|a|<1, |b|<1。∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0。∴②式成立， ∴原不等式成立。 证法2：欲证①，只需证-1<<1, 只需证（+1）（-1）<0, 只需证·<0, 只需证<0, 只需证<0............③ ∵|a|<1, |b|<1, ∴a2<1, b2<1，即a2-1<0, b2-1<0, 又(1+ab)2>0, ∴③式成立， ∴原不等式成立。 例7．求证:≤≤+。 证法1: ∵≤|a+b|(1+|a|+|b|)≤(|a|+|b|)(1+|a+b|) |a+b|≤|a|+|b|。 ∵上式显然成立，∴≤成立。 又=+≤+。 ∴原命题成立。 证法2：这里只证明≤ 分析:观察两式结构均为的形式，又∵|a+b|≤|a|+|b|，而原不等式要成立，只需证明函数y=在[0，+∞）上单调递增即可。 证明:设0≤x1≤x2, 则-=， ∵0≤x1≤x2, ∴x2-x1≥0, 1+x1>0, 1+x2>0, ∴≥0。 ∴-≥0, 即≥, 设x1=|a+b|, x2=|a|+|b| ∵|a+b|≤|a|+|b|, ∴≤。 参考练习: 1．解不等式|x2+3x-8|≤10。 2．解不等式|x+7|-|x-2|<3。 3．解不等式|-3|>1。 4．解不等式|log3x|+|log3(3-x)|≥1。 5．求y=的值域。 6．设f(x)=x2+ax+b是整系数二次三项式，求证:|f(1)|<, |f(2)|<, |f(3)|<,不可能同时成立。 7．已知|x|<, |y|<, |z|<, (ξ>0)。求证:|x+2y-3z|<ξ。 参考答案: 1. [-6, -2]∪[-1, 3]； 2. (-∞, -1)； 3. [, 2)∪(6, +∞)； 4. 提示:首先求定义域（0，3）。其次求出二零点1，2。分三个区间（0，1]，（1，2]，（2，3）解即可。解集（0，]∪[，3）。 5．提示:可用反解法解出sinx=，则解不等式||≤1得y∈[-4, -]。 6．提示:用反证法 略证:假设|1+a+b|<, |4+2a+b|<, 及|9+3a+b|<同时成立。 由题设a, b∈Z, ∴1+a+b∈Z, ∴1+a+b=0.........① 同理4+2a+b=0.......②9+3a+b=0.........③ 由①，②解得a=-3, b=2。但不满足③式，故假设不成立，即|f(1)|, |f(2)|, |f(3)|不能同时小于。 7．证明略。在线测试 选择题 1．求不等式(1+|x|)(|2x+1|-4)>0的解集是( ) > B. x>或x<- C. x<- D. x<-1 2．不等式|x-2|+|x+2|<10的解是( ) >5 <2 C. -5 3．解关于x的不等式x2-2ax≤-a2+1 ( ) ≤x≤a+1 +1≤x≤a-1 ≤x≤a+1 ≤x≤a 4．解不等式( ) >2 =-2或 C.=-2 5．解不等式：( ) A. B. C. D. 答案与解析 答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、A 解析： 1.分析：首先观察不等式，不难发现(1+|x|)是非负的，所以(|2x+1|-4)必须大于0。解(|2x+1|-4)>0就可以了。 2.分析：首先寻找零点，就是|x-2|=0和|x+2|=0，得到x=2和x=-2。然后分x<-2和-2≤x≤2和2 注：也可取特殊值代入验证：0满足不等式，所以解集中应该有0，排除A、D；再代入-5验证。 3.分析：原不等式等价于 x2-2ax+a2≤1。 即 (x-a)2≤1，-1≤x-a≤1。 ∴原不等式的解集为a-1≤x≤a+1。 4.分析：原不等式 5.分析：原不等式 绝对值不等式内容归纳 1、含有绝对值的不等式的性质 (1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 证明：∵-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|, ∴-(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|), |a+b|≤|a|+|b|........① 又a=a+b-b, |-b|=|b| ∴由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......② 由①②得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的结论： (2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| (3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 2 几个基本不等式的解集 (1) |x| (2) |x|>a x>a或x<-a(a>0) (3) |x-m| (4) |x-m|>a(a>0)x-m>a或x-m<-a x>m+a 或x 3．绝对值的定义： |a|= 由定义可知：|ab|=|a||b|, . 4．绝对值不等式的解法 (1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键， 百度文库- 好好学习，天天向上 常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。 (2)几种主要的类型 ①|f(x)|>|g(x)|f2(x)>g2(x) ②|f(x)|>g(x)f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x) ③|f(x)| ④含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间”讨论的方法来脱去绝对值符号去求解。 ⑤含有两个或两个以上绝对值符号的不等式可以用图像法来解决 5．关于“绝对值”的四则运算规律 (1) |ab|=|a|·|b| (2) (3) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (4) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| 在一般情况下，两个数的和或差的绝对值与这两个数的绝对值的和差是不相等的，但在某些情况下，可以取等号。 6．不等式取等号的条件 (1) |a|-|b|≤|a+b|取等号a,b异号且|a|>|b| (2) |a+b|≤|a|+|b|取等号a,b同号 (3) |a|-|b|≤|a-b|取等号a,b同号且|a|>|b| (4) |a-b|≤|a|+|b|取等号a,b异号 7．拓展 (1)定理在形式上包含两部分：|a+b|≤|a|+|b|和|a|-|b|≤|a+b|，但|a|-|b|≤|a+b||a+b+(-b)|≤|a+b|+|(-b)|，这说明前者与后者在本质上是一致的，故可先证明前者，再由前者推出后者。 (2)定理可改写为||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，当a,b同号或至少有一个为0时右侧等号成立，当a,b异号或至少有一为0时左侧等号成立。等号成立的条件常可用于求最值问题。 (3)推论1：|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|，可推广到多个数的情况：|a1+a2+……+a n|≤|a1|+|a2|+……+|a n|，当且仅当a1,a2……a n非异号时等号成立。它是不等式的证明中“放缩”的依据，同时也使求函数的最值有了更简洁的途径。 (4)定理可与向量模的不等式：联系起来，因此也可称为三角形不等式。 -11 典型例题一 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念? ??<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε?+ε?<-?+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 含有绝对值的不等式的解法 目的要求： 重点难点： 教学过程： 一、引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。 在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等 式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值 符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 ?? ???<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x <的解集是 }|{a x a x <<-， 它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a 的点的集合是开区间（－a ，a ），如图所示。 a - 图1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设a 为正数。根据绝对值的意义，不等式a x >的解集是 {|x a x >或a x -<} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a 的点的集合是两个开区间 ),(),,(∞--∞a a 的并集。如图1-2所示。 –a a 图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题： 例1、解不等式213+<-x x 。 例2、解不等式x x ->-213。 方法1：分域讨论 ★方法2：依题意，x x ->-213或213-<-x x ，（为什么可以这么解？） 例3、解不等式52312≥-++x x 。 例4、解不等式512≥-+-x x 。 解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x 到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x 在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）)2÷；或者x 在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，4≥x 或.1-≤x 例5、不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。 三、小结： 四、练习：解不等式 1、 .1122>-x 2、01314<--x 3、 423+≤-x x . 4、 x x -≥+21. 5、 1422<--x x 6、 212 +>-x x . 7、 42≥-+x x 8、 .631≥++-x x 9、 21<++x x 10、 .24>--x x 五、作业： 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 解绝对值不等式题根探讨 题根四 解不等式2|55|1x x -+<． ［题根4］解不等式2 |55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 含绝对值符号的不等式的解法与证 明 [重点难点] 1．实数绝对值的定义: |a|= 这是去掉绝对值符号的依据，是解含绝对值符号的不等式的基础。 2．最简单的含绝对值符号的不等式的解。 若a>0时，则 |x|a x<-a或x>a。 注:这里利用实数绝对值的几何意义是很容易理解上式的，即|x|可看作是数轴上的动点P(x)到原点的距离。 3．常用的同解变形 |f(x)| 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 例题选讲: 例1．解不等式|x2+4x-1|<4.............① 解:①-4 解:① (2) |2x+3|2≤|x-1|2(2x+3)2-(x-1)2≤0 (2x+3-x+1)(2x+3+x-1)≤0 (x+4)(3x+2)≤0,-4≤x≤-。 (3) x≠1。 ∴原不等式的解集为[-4，-]。 例4．解不等式|x+1|+|x-2|<5...........① 分析:为了去掉绝对值符号，首先找到两式的零点-1和2，它们把（-∞，+∞）分成了三个区间；（-∞，-1）， [-1，2]，（2，+∞）。从而可将不等式①化为三个不等式组。求它们的解集的并集即可。 解:将不等式①化为三个不等式组 （I）-2 1设函数f(x)中含有绝对值，则(1)绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|(2)|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|. 2.f(x)>a有解⇔f(x)max>a.(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.(3)f(x)>a恰在(c，b)上成立⇔c，b是方程f(x)＝a的解． 3.不等式恰成立问题 (1)不等式f(x)＞A在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＞A的解集为D； (2)不等式f(x)＜B在区间D上恰成立，等价于不等式f(x)＜B的解集为D. 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x| 第3讲 绝对值与含绝对值的不等式 一知识要点 1. 实数的绝对值的定义及性质 数轴上表示数a 的点与原点的距离，就是数a 的绝对值，记为|a |. ,00,0,0a a a a a a >??==??- 22(0).x a x a x a x a a >?>?<->>或 思考1：|x-3|的几何意义？ |3x+4| 几何意义? 2. 含有绝对值的不等式的解法 （1）最简单的含有绝对值的不等式解法： (0)x a a <>的解为. (0)x a a <=无解. (0)x a a <<无解. (0)x a a >>的解为 (0)x a a >=的解为0x ≠的一切实数. (0)x a a ><的解为一切实数. （2）较简单的含有绝对值的不等式的解法： （ⅰ）(0)ax b c c c ax b c +<>?-<+-??+>?+<-或ax b c +>. (ⅲ) (0)x a x b c c -+-<<的解法： 先求出使每个绝对值符号内的数学史子等于零的未知数的值（称为零点），将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的式子在每一个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去解。这种方法称为零点分段法。 思考2： |x+1|<2的解? |x-1|>2 的解? |x+5| ≤ 0 的解集？ |x-4| ≥ 0 的解集？ 1.解含绝对值的不等式的基本解法与思想：解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 2. 绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离； 2 1x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离。 3. a x >与a x <型的不等式的解法： （1）当0>a 时， >x 的解集是{}a x a x x -<>或,； a x <的解集是{}a x a x <<-； （2）当0的解集是{}R x x ∈，不等式a x <的解集是?。 4. c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法： 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 （1）当0>c 时，①不等式 c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, ②不等式 c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-； （2）当0 人教版高中数学第一册上第一章含绝对值的不 等式解法知识点 解含绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式。以下是第一章含绝对值的不等式解法知识点，请同学们查看。 一、含有绝对值不等式的几种去掉绝对值符号的常用方法去掉绝对值符号的方法有很多，其中常用的方法有： 1.定义法去掉绝对值符号 根据实数绝对的意义，即| x | =，有： | x | 2.利用不等式的性质去掉绝对值符号 利用不等式的性质转化为| x | 3.平方法去掉绝对值符号. 对于两边都含有单项绝对值的不等式，利用| x |= x可在两边脱去绝对值符号求解，这样解题要比按绝对值定义，讨论脱去绝对值符号解题简捷.解题时还要注意不等式两边变量与参变量的取值范围，如果没有明确不等式两边均为非负数，需要分类讨论，只有不等式两边均为非负数，(式)时，才可以直接两边平方，去掉绝对值符号，尤其是解含参数不等式更必须注意的一点. 4.零点分段法去掉绝对值符号. 所谓零点分段法是指：设数x，x，x，...，x是分别使含有 |x-x|，|x-x|，|x-x|，...，|x-x|的代数式中相应的绝对值为零，称x，x，x，...，x为相应绝对值的零点，零点x，x，x，...，x将数轴分为n+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，从而得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值的不等式组来解.即令每一项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集.零点分段法是解含有多个绝对值符号的不等式的常用手段，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化，思路直观. 5.数形结合法去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合，利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.数形结合法形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于| x-a|+| x-b |m或| x-a|+| x-b | 二、几点注意事项 1.根据绝对值定义，将| x | 2.| x | 3.解不等式问题与集合运算有密切联系，在应用集合有关内容处理绝对值不等式的过程中，要注意在不等式组的解集中，对不等式端点值的取舍情况.再有，因为已学习了集合表示法，所以不等式的解集要用集合形式表示，不要使用不等式的形式. 含绝对值的不等式解法 绝对值函数是数学中常用的一种函数形式，它通常表示一个数 离0的距离。本文将介绍含有绝对值的不等式的解法。 一般来说，我们可以通过分情况讨论来解决含有绝对值的不等式。具体的步骤如下： 步骤一：确定不等式的类型 首先，我们需要确定不等式的类型是绝对值大于（>|x|）、绝 对值小于（<|x|）还是绝对值大于等于（≥|x|）或绝对值小于等于 （≤|x|）。 步骤二：分情况讨论 根据确定的不等式类型，我们可以进行以下几种情况的讨论： 1. 当不等式形式为绝对值大于（>|x|）或绝对值小于（<|x|）时，我们可以将不等式转化为两个简单的不等式： a. 当不等式形式为：|x| > a 或 |x| < a 时，将不等式分为两个情 况进行讨论： - 当 x > a 时，解为 x > a 或 x < -a - 当 x < -a 时，解为 -a < x < a b. 当不等式形式为：|x| > a 或 |x| < a 时，将不等式分为两个情况进行讨论： - 当x ≥ a 时，解为x ≥ a 或x ≤ -a - 当x ≤ -a 时，解为 -a ≤ x≤ a 2. 当不等式形式为绝对值大于等于（≥|x|）或绝对值小于等于（≤|x|）时，我们可以将不等式转化为一个简单的不等式： a. 当不等式形式为：|x| ≥ a 或|x| ≤ a 时，将不等式转化为一个情况进行讨论： - 当x ≥ a 时，解为x ≥ a 或x ≤ -a - 当 -a ≤ x ≤ a 时，解为 -a ≤ x ≤ a 步骤三：验证解的正确性 最后，我们需要验证得到的解是否在原始不等式中成立。将解代入原始不等式进行验证，如果验证结果正确，则所得到的解为不等式的解。 总结 带绝对值的不等式解法 带绝对值的不等式在数学中是一个常见的问题，它具有一定的挑战性和复杂性。解决这类问题需要我们掌握一些特定的解法和技巧。 1. 引言 带绝对值的不等式是一个重要的数学概念，它出现在许多实际问题中。了解如何解决这类问题对我们在数学上的学习和解决实际问题上都有很大帮助。 2. 简单的绝对值不等式解法 在简单的情况下，我们可以通过将带绝对值的不等式拆分成两个不等式来解决。对于不等式|2x - 3| > 5，我们可以分别解得2x - 3 > 5和2x - 3 < -5的解。 3. 绝对值函数的图像和性质 为了更好地理解带绝对值的不等式，我们需要对绝对值函数有一定的了解。绝对值函数的图像是一个以原点为对称中心的V形曲线，它的性质包括非负性和不等式性质。 4. 绝对值不等式的绝对值定义法 当我们遇到更复杂的带绝对值的不等式时，可以使用绝对值的定义 进行求解。对于不等式|3x - 2| < 10，我们可以通过将绝对值展开为两个不等式，并结合这些不等式的解来得到原不等式的解。 5. 绝对值不等式的符号法 在某些情况下，我们可以使用符号法来解决带绝对值的不等式。符号法通过考虑绝对值的正负性和相对大小来进行推导和求解。对于不等式|2x - 1| < |3x + 2|，我们可以通过考虑两个绝对值的正负情况，得到不等式的解集。 6. 绝对值不等式的绝对值最大最小法 在解决带绝对值的不等式时，绝对值最大最小法可以帮助我们找到不等式的解集。该方法通过求解不等式中绝对值的最大值和最小值来确定不等式的解集。对于不等式|5x - 3| + 2 > 7，我们可以通过找到绝对值的最大值和最小值来得到不等式的解。 7. 深入理解带绝对值的不等式 通过上述的解法和技巧，我们可以更深入地理解和解决带绝对值的不等式。我们也可以应用这些思想和方法来解决更复杂的实际问题，例如在经济学、物理学和工程学等领域。 8. 总结 带绝对值的不等式是数学中一个重要的概念，它在理论和实际问题中都有广泛的应用。通过掌握相关的解法和技巧，我们可以更好地解 含绝对值不等式的解法 例1解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜． 解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得 ｜x+3｜2>｜x-5｜2， 即（x+3）2>（x-5）2, x>1． ∴原不等式的解集为｛x｜x>1｝． 评析对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐． 例2对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（）， A．k<3 B．k<-3 C．k≤3D．k≤-3 分析要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴k<-3,∴选B． 评析此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3解不等式｜3x-1｜>x+3． 分析解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论． 解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解： 当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;① 当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．② 又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③ — 取①、②、③并集知不等式的解集为 ｛x｜x<- ，或x>2｝． 例4解不等式｜x-5｜-｜2x+3｜<1 解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段： 于是，原不等式变为 （Ⅰ） 或（Ⅱ） 或（Ⅲ） 解（Ⅰ）得x<-7，解（Ⅱ）得 第一讲 不等式解法一、含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 ||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >> |x x a <-或}x a > ||,||(0)ax b c ax b c c +<+>> 把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型 不等式来求解 [例题精讲]例1．解关于x 的不等式|x-2|<4.解：|x-2|<4属于|x|0)型。 ∴ -4 含绝对值不等式 一、基础知识回顾 1、绝对值不等式a x <的解集：在数轴上到原点的距离小于a 的点所对应的实数x 的集合。 2、绝对值的基本性质：⎩ ⎨⎧<-≥=∈0,0,a a a a a R a 则设 ()()""001==≥取当且仅当a a ()a a ±≥2 ()a a a ≤≤-3 ()a b b a a a -=-=-,4 ()a a =25 3、绝对值的运算法则 ()b a b a b a +≤+≤-1（注意不等式成立的条件） ()b a b a b a +≤-≤-2（注意不等式成立的条件） ()b a b a ⋅=⋅3 ()b a b a =4 4、绝对值不等式的解法 ()则设R x a ∈>,01 a x a a x a x <<-⇔<⇔<22 a x a x a x a x >-<⇔>⇔>或22 ()()()()()()x g x f x g x g x f <<-⇔<2 ()()()()()()x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或 ()()()()()()()()()()()0322>-+⇔>⇔>x g x f x g x f x g x f x g x f ()4含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段求解。 5、解含绝对值问题的几种常用策略 （1） 定义策略；（2）平方策略；（3）定理策略；（4）等价转化策略；（5）分段 讨论策略； （6）数形结合策略 二、题型解析 [绝对值不等式的解法] 例1、 解不等式3123>+++++x x x 解：令3,03-==+x x 则;令2,02-==+x x 则;令1,01-==+x x 则 ()1当3-≤x 时，原不等式可变形为()()()3123->+-+-+x x x 解得3- 4.2.1绝对值不等式的解法 1．含有绝对值的不等式的性质 (1) |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 证明：∵ -|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b|, ∴ -(|a|+|b|)≤a+b≤(|a|+|b|), |a+b|≤|a|+|b|........① 又 a=a+b-b, |-b|=|b| ∴ 由①得|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b|，即|a|-|b|≤|a+b|.......②由①②得 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 由以上定理很容易推得以下的结论： (2) |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b| (3) |a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3| 2 几个基本不等式的解集 (1) |x| -a 4．绝对值不等式的解法 (1)解含有绝对值不等式的基本思路，绝对值符号的存在是解不等式的一大障碍。因此如何去掉绝对值符号使其转化为等价的不含绝对值符号的不等式是解决这类问题的关键，常采取划分区间逐段讨论，从而去掉绝对值符号转化为一般不等式，或利用绝对值表达的几何意义转化为图像或曲线为解决。 (2)几种主要的类型 ① |f(x)|>|g(x)| f2(x)>g2(x) ② |f(x)|>g(x) f(x)>g(x) 或 f(x)<-g(x) ③ |f(x)| -g(x) 第三讲 绝对值不等式的解法 【基本知识】 （1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集 不等式 a ＞0 a=0 a ＜0 |x|＜a {x|-a ＜x ＜a} Φ Φ |x|＞a {x|x ＞a 或x ＜-a } {x|x ∈R 且x ≠0} R 注：|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义（|x|表示数轴上的点x 到原点O 的距离；| x-a |±|x-b|）表示数轴上的点x 到点a,b 的距离之和（差） （2）|ax+b|≤c(c ＞0)和|ax+b|≥c(c ＞0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c ⇔-c ≤ax+b ≤c; ②| ax+b|≥c ⇔ ax+b ≥c 或ax+b ≤-c. （3）|x-a|+|x-b|≥c(c ＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c ＞0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。 （3）a x <与)0(>>a a x 型不等式c b ax <+与)0(>>+c c b ax 型不等式的解法与解集 不等式)0(>>a a x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ; 不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 （4）思想方法 1.对含有绝对值的不等式的解法,通过上面的例子我们可以看到,其关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. 2.对于含有绝对值的不等式,如果其中含有字母参数,则根据基本的绝对值不等式的解法进行分类讨论,讨 论时,不重复,也不要遗漏. 3. 解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)． ｜x ｜＜a 与｜x ｜＞a (a ＞0)型的不等式的解法及利用数轴表示其解集． 不等式｜x ｜＜a (a ＞0)的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝．其解集在数轴上表示为(见图1—7)： 不等式｜x ｜＞a (a ＞0)的解集是｛x ｜x ＞a 或x ＜－a ｝，其解集在数轴上表示为(见图1—8)： 含绝对值的不等式解法（总结归纳） 第一篇：含绝对值的不等式解法(总结归纳) 含绝对值的不等式解法、一元二次不等式解法 [教材分析] |x|的几何意义是实数x在数轴上对应的点离开原点O 的距离，所以|x|0)的解集是 {x|-aa(a>0)的解集是{x|x>a或x<-a}。把不等式|x|a(a>0)中的x 替换成ax+b，就可以得到|ax+b|c(c>0)型的不等式的解法。 一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解。而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标。求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集。 求解以上两种不等式的方法，就是将不等式转化为熟悉，可解的不等式，因此一元二次不等式的求解，也可采用以下解法。 x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0 或或-4 原不等式解集为{x|-4 x2+3x-4<0 (x+)2< |x+|<- 原不等式解集为{x|-4 [例题分析与解答] 例1．解关于x的不等式|ax-2|<4，其中a∈R。 [分析与解答]：|ax-2|<4属于|x|0)型。∴-4 当a>0时，-x>，当a=0时，不等式化为2<4，显然x∈R。 故a>0时不等式解集是{x|- 例2．解不等式|x-3|-|2x+3|≥2。 [分析与解答] 去掉绝对值需要确定绝对值内代数式的值的符号， 专题解含绝对值符号的不等式 1．阅读：我们知道，00a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ 于是要解不等式|3|4x -≤，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：（1）当30x -≥，即3x ≥时：34x -≤ 解这个不等式，得：7x ≤ 由条件3x ≥，有：37x ≤≤ （2）当30x -<，即3x <时，(3)4x --≤ 解这个不等式，得：1x ≥- 由条件3x <，有：13x -≤< ∴如图，综合（1）、（2）原不等式的解为17x -≤≤ 根据以上思想，请探究完成下列2个小题： （1）|1|2x +≤； （2）|2|1x -≥． 【答案】（1）-3≤x≤1；（2）x≥3或x≤1． 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1＜0，即x ＜-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x -2≥0，即x≥2，②x -2＜0，即x ＜2，两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）|x+1|≤2， ①当x+1≥0，即x≥-1时：x+1≤2， 解这个不等式，得：x≤1 由条件x≥-1，有：-1≤x≤1； ②当x+1＜0，即 x ＜-1时：-（x+1）≤2 解这个不等式，得：x≥-3 由条件x ＜-1，有：-3≤x ＜-1 ∴综合①、②，原不等式的解为：-3≤x≤1． （2）|x-2|≥1 ①当x-2≥0，即x≥2时：x-2≥1 解这个不等式，得：x≥3 由条件x≥2，有：x≥3； ②当x-2＜0，即 x ＜2时：-（x-2）≥1， 解这个不等式，得：x≤1， 对于含绝对值的不等式3x <，从图1的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值小于3，所以3x <的解集为33x -<<；对于含绝对值的不等式3x >，从图2的数轴上看：小于－3或大于3的数的绝对值大于3，所以3x >的解集为3x <-或3x >． (1)含绝对值的不等式2x 的解集为______； (2)已知含绝对值的不等式1x a -<的解集为3b x <<，求实数a ，b 的值； (3)已知关于x ，y 的二元一次方程1x y m +=--的解满足2x y +≤，其中m 是正数，求m 的取值范围．绝对值不等式例题解析
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