绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-
绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；
b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩
⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22
c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数
解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．
若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2| 解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ， 又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3. 例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1 ；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32 。 图象恒在函数g (x )的图像的上方，求m 的取值范围． 解：(1)不等式f (x )＋a －1>0，即|x －2|＋a －1>0，当a ＝1时，解集为x ≠2，即(－∞，2)∪(2，＋∞)； 当a >1时，解集为全体实数R ；当a <1时，解集为(－∞，a ＋1)∪(3－a ，＋∞)． (2)f (x )的图像恒在函数g (x )图像的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立，又对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5，于是得m <5，即m 的取值范围是(－∞，5)． 例5：设对于任意实数x ，不等式|x ＋7|＋|x －1|≥m 恒成立．(1)求m 的取值范围；(2)当m 取最大值时，解关解：(1)设函数f (x )＝|x ＋7|＋|x －1|()871=--≥，所以m ≤8. (2)由(1)知m 的最大值为8，故原不等式即为|x －3|≤2x ＋4.即－2x －4≤x －3≤2x ＋4.解得x ≥－13 . 2f (x )的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 解：函数的定义域满足|x －1|＋|x －5|－a >0，即|x －1|＋|x －5|>a .当a ＝2时，f (x )＝log 2(|x －1|＋|x －5|－2)，设 g (x )＝|x －1|＋|x －5|，则g (x )＝|x －1|＋|x －5415=-≥|,f (x )min ＝log 2(4－2)＝1. (2)由(1)知，g (x )＝|x －1|＋|x －5|的最小值为4，|x －1|＋|x －5|－a >0，∴a <4.∴a 的取值范围是(－∞，4)． 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤---≥--- b x a x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到a 的距离与到b 的距离之差， 故b a b x a x b a -≤-+-≤-- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤---或 c b x a x ≥---的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=---b x b a b x a b a x a x b a b x a x 2 a x b x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到b 的距离与到a 的距离之差， 故b a a x b x b a -≤-+-≤-- 利用图像和几何意义解c a x b x ≤---或c a x b x ≥---的解集。 分区间讨论： ()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>-≤≤++-<+-=---b x b a b x a b a x a x b a a x b x 2 关键：零点分区间，越近越小。 A ．（﹣∞，4） B ．（﹣∞，1） C ．（1，4） D ．（1，5） 解：由于4514≤---≤-x x ，故251<---x x 时，根据图像和分析口诀 可得：262<-x ，故4 例8：已知函数f (x )＝|x －4|－|x －2|.(1)作出函数y ＝f (x )的图象；(2)解不等式|x －4| 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2， x ＞4，－2x ＋6， 2≤x ≤4， 2， x ＜2.则函数y ＝f (x )的图像如图所示． (2)由函数y ＝f (x )的图像容易求得不等式|x －4|－|x －2|>1的解集为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝ ⎭。 2解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2 3，x ≥5. 当2 当2 +-≥x x ，故解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15，即12802+-≥x x ，故的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． A．（﹣∞，﹣2）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞） D．（﹣2，4） 2．（2016•德州一模）不等式|x+1|﹣|x﹣5|＜4的解集为（） A．（﹣∞，4）B．（﹣∞，﹣4）C．（4，+∞）D．（﹣4，+∞） 3．（2015•上海模拟）不等式|2﹣x|≤1的解集是（） A．[﹣3，﹣1] B．[1，3] C．[﹣3，1] D．[﹣1，3] 4．（2014秋•江西月考）若关于x的不等式|x﹣1|+|x﹣3|≤a2﹣2a﹣1在R上的解集为∅，则实数a的取值范围是（） A．a＜﹣1或a＞3 B．a＜0或a＞3 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3 5．（2015•聊城校级模拟）不等式|1﹣2x|＜3的解集是（） A．{x|x＜1} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x＞2} D．{x|x＜﹣1或x＞2} 6．（2015•合肥校级模拟）已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3|，若关于x的不等式f（x）＜|a﹣1|的解集非空，则实数a的取值范围是（） A．[﹣3，5] B．（﹣3，5）C．（﹣∞，﹣3]∪[5，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）7．（2015•文登市二模）不等式|x﹣1|+|x+2|≤4的解集是（） A．B．C．D． 8．（2015•德州二模）已知关于x的不等式|x﹣1|﹣|x+a|≥8的解集不是空集，则a的取值范围是（）A．a≤﹣9 B．a≥7C．﹣9≤a≤7D．a≤﹣9或a≥7 9．（2015•安徽模拟）不等式|x+2a|+|x﹣a|≥3对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）C．[﹣3，3] D．[﹣1，1] 10．（2015春•恩施州期末）如果|x+1|+|x+9|＞a对任意实数x总成立，则a的取值范围是（） A．{a|a＞8} B．{a|a≤8}C．{a|a≥8}D．{a|a＜8} 11．（2016•江西校级模拟）关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．（Ⅰ）当m=1时，解此不等式；（Ⅱ）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？ 12．（2016•白山三模）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R． （Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围． 13．（2016•鹰潭一模）已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≤﹣； （2）若存在实数x，使得不等式f（x）≥a成立，求实数a的取值范围． 14．（2016•陕西校级模拟）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|． （1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围． 15．（2016•葫芦岛一模）已知函数f（x）=|x﹣3|+|x+1| （1）求使不等式f（x）＜6成立的x的取值范围．（2）∃x0∈R，使f（x0）＜a，求实数a的取值范围．16．（2016•深圳一模）已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣3|（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥x+8的解集；（Ⅱ）若函数f（x）的最小值为5，求a的值．17．（2016•湘西州二模）已知f（x）=|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4解集为M （1）求M；（2）若不等式f（x）+a＜0有解，求a的取值范围． 18．（2016•陕西模拟）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣4|（x∈R，a∈R）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a的值；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）≤m﹣m2，求实数m的取值范围． 19．（2016•山西校级二模）已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）． （1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．20．（2016•吴忠模拟）设函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a＜4）（1）若f（x）的最小值为3，求a的值； （2）当a=1时，若g（x）=的定义域为R，求实数m的取值范围． 21．（2016•合肥二模）已知函数f（x）=|x﹣4|+|x﹣a|（a∈R）的最小值为a （1）求实数a的值；（2）解不等式f（x）≤5． 22．（2016•延安校级二模）设函数f（x）=|x+1|+|x﹣2| （Ⅰ）求f（x）的最小值，并求出f（x）取最小值时x的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）≤a（x+1）的解集为空集，求实数a的取值范围． 高考数学经典专题：绝对值不等式中含参数成立问题 1．已知函数()|1||2|f x x x m m =-+-∈R ,. （1）当3m =时，解不等式()3f x ≥； （2）证明：当0m <时，总存在0x 使00()21f x x <-+成立 2．已知函数()32f x x =-. （1）若不等式213f x t ? ?+≥- ???的解集为11,,33????-∞-?+∞ ??????? ，求实数t 的值； （2）若不等式()3133y y f x x m -≤+++?对任意x ，y 恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知函数()2f x x a =-，()|1|g x a x =-，a R ∈． （Ⅰ）若1a =，求满足()(1)1g x g x +->的实数x 的取值范围； （Ⅱ）设()()()h x f x g x =+，若存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()216h x h x -≥成立，试求实数a 的取值范围． 4．已知()|3|f x ax =-，不等式()6f x …的解集是{|13}x x -剟 ． （1）求a 的值； （2）若()()3 f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围． 5．已知函数f （x ）＝|2x ﹣a |+|x ﹣a +1|． （1）当a ＝4时，求解不等式f （x ）≥8； （2）已知关于x 的不等式f （x ）2 2 a ≥在R 上恒成立，求参数a 的取值范围． 6．已知定义在R 上的函数2 ()|24|f x x a x a =-+-. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥； （2）若2()4f x a -≥对任意x ∈R 恒成立，求a 的取值范围. 7．已知,a b 均为实数，且3410a b += . （Ⅰ）求22a b +的最小值； （Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+- 绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离； b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。 b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。 x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。 分区间讨论：()()()⎪⎩ ⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22 c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数 解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可． 若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2. 解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1 【师说 高中全程复习构想】（新课标）2015届高考数学 5－1 绝对 值不等式（含解析） 一、选择题 1．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B. 2 C ．4 D ．6 答案：A 2．已知a ＞0，b ＞0且1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．7＋2 6 B ．2 3 C ．7＋2 3 D ．14 答案：A 3．不等式???? ??ax －1x ＞a 的解集为M ，且2?M ，则a 的取值范围为( ) A.? ????14，＋∞ B.??????14，＋∞ C.? ????0，12 D.? ?? ??0，12 答案：B 4．已知a ＞0，ab ＝1，则a2＋b2a －b 的最小值是( ) A ．2 2 B. 2 C ．2 D ．1 答案：A 5．设集合A ＝{x||x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x||x －b|＞2，x ∈R}．若A ?B ，则实数a ，b 必满足( ) A ．|a ＋b|≤3 B．|a ＋b|≥3 C ． |a －b|≤3 D．|a －b|≥3 答案：D 6．已知命题p ：?x ∈R ，|x ＋2|＋|x －1|≥m，命题q ：?x ∈R ，x2－2mx ＋m2＋m －3＝0，那么，“命题p 为真命题”是“命题q 为真命题”的( ) A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：A 二、填空题 7．不等式|x ＋1|＋|2x －4|＞6的解集为__________． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞) 8．不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)＞a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 答案：(－∞，2) 9．已知x ，y ，z 均为正数，1x ＋1y ＋1z ＝1，则x yz ＋y zx ＋z xy 的最小值是__________． 答案：1 绝对值不等式 绝对值不等式||||||a b a b +≤+，||||||a b a b -≤+ 基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b| ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ |y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y|≤5得-5≤y ≤5 即函数的最小值是-5，最大值是5 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x ≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x 到3，-2这两点的距离之差，当x ≤-2时，取最小值-5，当x ≥3时，取最大值5 ［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2 x －2x － 6|<3x ［思路］利用｜f(x)｜ f(x)｜>g(x) ?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。 解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x ) 解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >1 2 } (2)原不等式等价于－3x <2 x －2x －6<3x 即 22 2 226360 (3)(2)032(1)(6)0 16263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ??-->-+->+-><->???????????+-<-<<--<--x 2-3x-4；（2）234x x -≤ 1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2>x 2-3x-4 ① 或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2 绝对值不等式高考真题 1．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|． （1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|． （1）求不等式f（x）≥1的解集； （2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围． 3．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M； （Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|． 4．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a． （1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集； （2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围． 5．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集； （Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围． 6．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）． （Ⅰ）证明：f（x）≥2； （Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围． 7．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集； （Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围． 8．设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且 （Ⅰ）求a的值 （Ⅱ）求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值． 9．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|． （1）证明：﹣3≤f（x）≤3； （2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集． 10．设函数f（x）=|x﹣a|+3x，其中a＞0． （Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集 （Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值． 绝对值不等式（二） 例1：解不等式|23||3|4x x ++->； 解：3339|23|3||||3||42222 x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为R 。 例2：3232≤-++x x 解：3337|23|2||||2||32222 x x x x x x ++-=++++-≥++>；故不等式的解集为φ。 解：（Ⅰ）()25212521213312≥-+≥-+-+-≥-+-=x x x x x x x f ，当仅当21=x 时，等号成立。 （Ⅱ）()()11--+>y y m x f ，由于2112≤--+≤-y y ，故()m x f 2>恒成立，即m 22 5>，故⎪⎭⎫ ⎝ ⎛∞-∈45,m 。 解：（Ⅰ）f （x ）=⎪⎩ ⎪⎨⎧>≤≤-+--<-1312423x x x x x x ，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=34，所以，不等式 f （x ）≥4的解集是(][)+∞∞-,0,34 ； （Ⅱ）f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，f （x ）≥f （1）=3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，|m ﹣2|＞3，解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）． 解：∵原方程有实根，Δ＝36－4[|a ＋2|＋|2a －1|]≥0，∴|a ＋2|＋|2a －1|≤9. ①当a ≥12时，∵a ＋2＋2a －1≤9，∴12≤a ≤83.②当－2≤a ＜12时，∵a ＋2＋1－2a ≤9，∴－2≤a ＜12 . 秒杀秘籍:()b x n a x m x f -+-= 结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值。绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值； 书写过程：323221221≥-+≥-+-+-≥-+-x x x x x x 含绝对值的不等式考试试题及答案例5-3-13解以下不等式： (1)|2-3x|-1＜2 (2)|3x+5|+1＞6 解(1)原不等式同解于 (2)原不等式可化为 |3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5 注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。 解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。 解原不等式同解于不等式组 不等式(i)同解于 x2-5x＜-4或x2-5x＞4 不等式(ii)同解于 -6≤x2-5x≤6 取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集 其解集可用数轴标根法表示如下： 注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。“数轴标根法〞是确定解集并防止出错的有效辅助方法。 例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。 解原不等式同解于 |x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2 注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。 例5-3-16解以下不等式： 解(1)原不等式同解于不等式组 左边不等式同解于 右边不等式同解于 取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2} (2)原不等式同解于 取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为 例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。 分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。 解原不等式同解于 注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。 例5-3-18a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。 解显然x＞0，故原不等式同解于 含绝对值的不等式解法 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 } ．．．≠．∅8 3 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 8 3 答选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答选D ． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为 －≤＜－或＜≤． 3x 14x 2x 1{x|2x 1x }538 3 538 3 例4已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩ 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩ 解之得＜＜或＜＜．4x x 21121 2 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}．说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝123 2 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨ ⎩123 2 答选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 11 2 式的解集为；∅ 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 1 2 x ＜m ． 综上所述得：当≤时原不等式解集为； 当＞时，原不等式的解集为 m m 1 2 1 2 ∅ {x|1－m ＜x ＜m}． 说明：分类讨论时要预先确定分类的标准． 例解不等式 －＋≥．8 321 2 ||||x x 分析一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数，所以能直接去 分母． 解注意到分母|x|＋2＞0，所以原不等式转化为2(3－|x|)≥|x|＋2，整理得 配餐作业(选修4－5－1) 绝对值不等式 1．已知函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －3|－m 的定义域为R 。 (1)求实数m 的取值范围； (2)若m 的最大值为n ，当正数a 、b 满足23a ＋b ＋1a ＋2b ＝n 时，求7a ＋4b 的最小值。 解析：(1)∵函数定义域为R ， ∴|x ＋1|＋|x －3|－m≥0恒成立， 设函数g(x)＝|x ＋1|＋|x －3|， 则m 不大于函数g(x)的最小值， 又|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， 即g(x)的最小值为4，∴m≤4。 (2)由(1)知n ＝4， ∴7a ＋4b ＝14(6a ＋2b ＋a ＋2b)⎝⎛⎭ ⎫23a ＋b ＋1a ＋2b ＝ 14⎝ ⎛⎭ ⎪⎫5＋＋a ＋2b ＋＋ 3a ＋b ≥ 14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×23a ＋b a ＋2b ·a ＋2b 3a ＋b ＝94 ， 当且仅当a ＋2b ＝3a ＋b ，即b ＝2a ＝310 时取等号。 ∴7a ＋4b 的最小值为94 。 2．(2016·山西四校二联)已知函数f(x)＝|x ＋3|－m ，m ＞0，f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。 (1)求m 的值； (2)若∃x ∈R ，f(x)≥|2x －1|－t 2＋32 t ＋1成立，求实数t 的取值范围。 解析：(1)∵f(x)＝|x ＋3|－m ， ∴f(x －3)＝|x|－m≥0， ∵m ＞0，∴x≥m 或x≤－m ， 又f(x －3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。 故m ＝2。 (2)f(x)≥|2x －1|－t 2＋32t ＋1等价于不等式|x ＋3|－|2x －1|≥－t 2＋32 t ＋3， 典型例题一绝对值不等式 例1 解不等式2321-->+x x 分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念⎩ ⎨⎧<-≥=)0()0(a a a a a ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成与之同解的不含绝对值的不等式（组），再去求解．去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点），将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论． 解：令01=+x ，∴ 1-=x ，令032=-x ，∴2 3=x ，如图所示． （1）当1-≤x 时原不等式化为2)32()1(--->+-x x ∴2>x 与条件矛盾，无解． （2）当2 31≤ <-x 时，原不等式化为2)32(1--->+x x ． ∴ 0>x ，故2 30≤ 当4>x 时，得a x x <-+-)3()4(，即27+< a x ，有解的条件为42 7>+a ∴1>a ． 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为1>a ． 解法二：设数x ，3，4在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，如图，由绝对值的几何定义，原不等式a PB PA <+的意义是P 到A 、B 的距离之和小于a ． 因为1=AB ，故数轴上任一点到A 、B 距离之和大于（等于1），即134≥-+-x x ，故当1>a 时，a x x <-+-34有解． 典型例题三 例3 已知),0(,20,2M y a b y M a x ∈ε<-<ε<-，求证ε<-ab xy ． 分析：根据条件凑b y a x --,． 证明：ab ya ya xy ab xy -+-=- ε=ε⋅+ε⋅<-⋅+-≤-+-=a a M M b y a a x y b y a a x y 22)()(． 说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法． 典型例题四 例4 求证 b a a b a -≥-22 分析：使用分析法 证明 ∵0>a ，∴只需证明b a a b a -≥-222，两边同除2 b ，即只需证明 b a b a b b a -≥-2222 2，即 b a b a b a -≥-22)(1)( 当1≥b a 时，b a b a b a b a -≥-=-222)(1)(1)(；当1 第4节 绝对值不等式及其应用 考试要求 1。理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a . 知 识 梳 理 1。绝对值不等式的解法 (1）含绝对值的不等式|x ｜a 的解集 不等 式 a >0 a ＝0 a <0 |x |< a （－a ，a ） ｜ x ｜〉 a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R （2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ; ②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c . （3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思 想； ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. 2。含有绝对值的不等式的性质 （1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立； (2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|； （3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。 ［常用结论与易错提醒］ 1。绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。 2。不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。3。可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。 诊断自测 1。判断下列说法的正误。 （1)若｜x|＞c的解集为R，则c≤0.（) (2）不等式|x－1|＋|x＋2｜＜2的解集为∅。（） （3)对｜a＋b｜≥|a|－｜b｜当且仅当a＞b＞0时等号成立。（） (4）对|a｜－|b|≤|a－b|当且仅当｜a｜≥|b｜时等号成立.(）(5）对｜a－b｜≤｜a｜＋|b｜当且仅当ab≤0时等号成立.() 高三数学绝对值不等式试题 1.已知函数 (Ⅰ)a=-3时，求不等式的解集； (Ⅱ)若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(Ⅰ) [-1，2] ；(Ⅱ) （-，] 【解析】(Ⅰ) 当a="-3" 时，即为≤6，将分成，和三 种情况，通过分类讨论去掉绝对值，将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组，解这些不等式组即可得到原不等式的解集； (Ⅱ)利用绝对值不等式性质：求出 的最小值，由关于x的不等式恒成立及不等式恒成立的知识知，＜，解这个不等式，即可得到实数的取值范围． 试题解析：(Ⅰ) 当a="-3" 时，为≤6，等价于或 或，解得或或， 所以不等式的解集为[-1，2]；(5分) (Ⅱ) 因为=， 所以＜，解得 实数a的取值范围（-，]．(10分) 【考点】含绝对值不等式解法，绝对值不等式性质，恒成立问题 2.若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是() A．[3，+∞) B．(－∞，3] C．(-1,2) D．(-2,3] 【答案】B 【解析】当x≤－1时，|x＋1|＋|x－2|＝－x－1－x＋2＝－2x＋1≥3； 当－1 解“含绝对值的不等式”专题练习 班级 学号 一.选择题： 1.不等式 ｜x ＋2｜<3 的解集是 （ ） （A ）－5 第十五章绝对值不等式 挖命题 【真题典例】 【考情探究】 分析解读不等式选讲是高考的选考内容之一,主要考查绝对值的几何意义,绝对值不等式的解法及不等式证明的基本方法,本节内容在高考中分值为10分,属于中档题. 破考点 【考点集训】考点一含绝对值不等式的解法 1.(2018山西高考考前适应性测试,23)已知函数f(x)=|x-1|-a(a∈R). (1)若f(x)的最小值不小于3,求a的最大值; (2)若g(x)=f(x)+2|x+a|+a的最小值为3,求a的值. 解析(1)因为f(x)min=f(1)=-a,所以-a≥3, 解得a≤-3,即a max=-3. (2)g(x)=f(x)+2|x+a|+a=|x-1|+2|x+a|. 当a=-1时,g(x)=3|x-1|≥0,0≠3,所以a=-1不符合题意; 当a<-1时,g(x)= -------- 即g(x)= -------- 所以g(x)min=g(-a)=-a-1=3, 解得a=-4. 当a>-1时,同理可知g(x)min=g(-a)=a+1=3,解得a=2. 综上,a=2或-4. 2.(2017安徽江淮十校第三次联考,23)已知函数f(x)=|x+4|-|x-1|. (1)解不等式f(x)>3; (2)若不等式f(x)+1≤4a-5×2a有解,求实数a的取值范围. 解析(1)f(x)=-- - 当x≤-4时,无解;当-4 2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集（学生版+解 析版） 1．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集； （2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围． 2．（2020•江苏）设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|＜4． 3．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； 3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|． （1）画出y＝f（x）的图象； （2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集． 5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|． （1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集； （2）若f（x）≥4，求a的取值范围． 6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝3a n﹣4n． （1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n}的前n项和S n． 7．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1． （1）证明：ab+bc+ca＜0； 3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 8．（2019•江苏）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．9．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥1 3成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1． 10．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集； （2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．11．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明： （1）1 a + 1 b + 1 c ≤a2+b2+c2； （2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24． 12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]． （Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值； （Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值； （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集； （2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|． （1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集； （2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围． 高三数学绝对值不等式试题答案及解析 1.已知函数． （Ⅰ）求的解集； （Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围． 【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数，在将具体 化为，利用零点分析法化为不等式组，通过解不等式组解出的解集；（Ⅱ）利用零点分析法，通过分讨论将的解析式化为分段函数，作出函数的图像，由函 数知，函数图像是恒过（3,0），斜率为的直线，由对任意的都成立知，函数的图像恒在函数的上方，作出函数的图像，观察满足的条件，求出的取值范围. 试题解析：（Ⅰ） ∴即 ∴①或②或③ 解得不等式①：；②：无解③： 所以的解集为或． 5分 （Ⅱ）即的图象恒在图象的上方 图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图, 其中，，∴ 由图可知，要使得的图象恒在图象的上方 ∴实数的取值范围为. 10分 【考点】根式性质，含绝对不等式解法，分段函数，数形结合思想，分类整合思想 2. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为，当且仅当时 取等号，所以的最小值为，选C. 【考点】含绝对值不等式性质 3.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是 _________． 【答案】（﹣∞，8] 【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8， 再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8， 故答案为：（﹣∞，8]． 4.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。 【答案】-9 【解析】解： 由关于x的不等式的解集不是空集得： 即a的最小值是，所以答案应填． 【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法． 5.已知函数. （1）当时，解不等式； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最 小值为 ，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可. （1）由得，，或，或， 解得：或，原不等式的解集为； （2）由不等式的性质得：， 要使不等式恒成立，则， 解得：或 所以实数的取值范围为. 【考点】1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立 6.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝() A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】A 【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，， ∴t＝0，选A. 7.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值． 【答案】2 【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2. 8.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围． 【答案】5＜b＜7 【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.高考数学经典专题：绝对值不等式含参数成立问题(含详解答案)
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