2019全国卷高考复习 平面向量(知识总结+题型)

第一部分 平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

名称 定义

备注

向量 既有大小又有方向量；向量的大小叫做向量

长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向

量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较

大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算

定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .

(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝

a ＋(

b ＋

c )

减法

求a 与b 的相反向量

－b 的和的 运算叫做

a 与

b 的差

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a

的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝λμa ；

(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

λ(a ＋b )＝λa ＋λb

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12

(AC →＋AB →

).( )

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①

B.③

C.①③

D.①②

3.设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →

(λ∈R )，则λ＝( )

A.2

B.3

C.－2

D.－3

4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

5.已知?ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝______，BC →

＝________(用

a ，

b 表示).

6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE

→

＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念

【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →

”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小.

答案 ③

考点二 平面向量的线性运算

【例2】 在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13

BC .若AB →＝a ，AC →

＝

b ，则PQ →

＝( )

A.13a ＋1

3b B.－13a ＋13b

C.13a －1

3

b

D.－13a －13

b

【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →

等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12

DA →

D.12AB →－23

AD → 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →

＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线

D.B ，C ，D 三点共线

第二部分 平面向量基本定理与坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2

1.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2

. 4.平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. 【基础练习】

1.(2017·东阳月考)已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则2a ＋b 等于( ) A.(5，7)

B.(5，9)

C.(3，7)

D.(3，9)

2.(2015·全国Ⅰ卷)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →

＝( ) A.(－7，－4) B.(7，4) C.(－1，4)

D.(1，4)

3.(2016·全国Ⅱ卷)已知向量a ＝(m ，4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.

4.(必修4P101A3改编)已知?ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5，6)，则顶点D 的坐标为________.

考点一 平面向量基本定理及其应用

【例1】 (2014·全国Ⅰ卷)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →

＝( ) A.AD →

B.12

AD → C.12

BC → D.BC →

【训练1】如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →

＝________. 考点二 平面向量的坐标运算

【例2】 (1)已知向量a ＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，c ＝(x ，y )，若3a －2b ＋c ＝0，则c ＝( ) A.(－23，－12) B.(23，12) C.(7，0)

D.(－7，0)

【训练2】 (1)已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →

＝3a ，则点B 的坐标为( ) A.(7，4) B.(7，14) C.(5，4)

D.(5，14)

(2)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.

考点三 平面向量共线的坐标表示

【例3】 (1)已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. (2)(必修4P101练习7改编)已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝3

2

|BP |，则点P 的坐标为________.

【训练3】 (1)(2017·浙江三市十二校联考)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与AB →

同方向的单位向量是( ) A.? ????3

5

，－45

B.? ????45，－35

C.? ??

??－35，45

D.? ??

??－45，35

(2)若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________.

第三部分 平面向量的数量积及其应用

1.平面向量数量积的有关概念

(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.

(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos__θ 叫做

a 与

b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos__θ，规定零向量与任一向量的数

量积为0，即0·a ＝0.

(3)数量积几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 2

1＋y 2

1. (3)夹角：cos θ＝

a ·

b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2

x 21＋y 21·x 22＋y 2

2

. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0?x 1x 2＋y 1y 2＝0.

(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)?|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 2

1＋y 2

1·x 2

2＋y 2

2. 3.平面向量数量积的运算律：(1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律).(3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). 【基础练习】

1.(2015·全国Ⅱ卷)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A.－1

B.0

C.1

D.2

2.已知向量a ，b ，其中|a |＝3，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则向量a 和b 的夹角是________.

3.(2016·石家庄模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为2π

3，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝________.

5.(必修4P104例1改编)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________.

6.(2017·瑞安一中检测)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)，|b |＝1，且a ＋b 与a －2b 垂直，则向量a ·b ＝________；a 与b 的夹角θ的余弦值为________. 【考点突破】

考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）

【例1】 (1)(2015·四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →

|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →

等于( ) A.20

B. 15

C.9

D.6

(2)(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →

的值为( ) A.－58

B.18

C.14

D.118

【训练1】 (1)(2017·义乌市调研)在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 的中点，点E 满足BE →＝13

BC →，则AE →·BD →

＝________.

(2)(2017·宁波质检)已有正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →

的值为________；DE →·DC →

的最大值为________. 考点二 平面向量的夹角与垂直

【例2】 已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8

B.－6

C.6

D.8

(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.

【训练2】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA →＝? ????1

2，32，BC →＝? ????32，12，则∠ABC ＝( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

(2)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2

＝|a |2

＋|b |2

，则m ＝________. 考点三 平面向量的模及其应用

【例3】已知平面向量a 与b 的夹角等于π

3，若|a |＝2，|b |＝3，则|2a －3b |＝( )

平面向量题型全归纳,平面向量知识点和题型总结

第五章 平面向量 题型57 平面向量的概念及线性运算 ? 知识点摘要： 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，一般用c b a ,,来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如AB （其中A 为起点，B 为终点）。 2. 向量的大小：又叫向量的模，也就是向量的长度，记作||a 或||AB 。 3. 零向量：长度为0的向量，记作0，其方向是不确定的。我们规定零向量与任何向量a 共线（平行），即a ∥0。 4. 单位向量：模长为1个单位的向量叫做单位向量。当≠||a 0时，很明显| |a a ± 是与向量a 共线（平行）的单位向量。 5. 相等向量：大小相等，方向相同的向量，记为b a =。 6. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，向量a 的相反向量记为a -。 7. 共线向量（平行向量）：方向相同或方向相反的向量，叫做平行向量，也叫做共线向量，因为任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上。 一、向量的线性运算 1. 向量的加法： 1.1. 求两个向量和的运算叫做向量的加法。已知向量b a ,，在平面内任取一点A ，作b BC a AB ==,，则向量AC 叫做向量a 和b 的和（或和向量），即AC BC AB b a =+=+。 1.2. 向量加法的几何意义：向量的加法符合三角形法则和平行四边形法则，如图： 1.3. 若向量b a ,不共线，加法的三角形法则和平行四边形法则都适用；当向量b a ,共线时，只能用三角形法则。 1.4. 三角形法则可推广至若干个向量的和，如图：

2. 向量的减法： 2.1. 向量a 与b 的相反向量之和叫做向量a 与b 的差或差向量，即)(b a b a -+=-。 2.2. 向量减法的几何意义：向量的减法符合三角形法则，同起点，指向被减数，如图： 3. 向量的数乘运算： 3.1. 实数λ与向量a 的积是一个向量，记为a λ，其长度与方向规定如下： ①||||||a a λλ= ②当0＞λ时，a λ与a 的方向相同；当0＜λ时，a λ与a 的方向相反；当0=λ时，0=a λ，方向不确定。 3.2. 向量数乘运算的运算律:设μλ，为实数，则 ①a a a μλμλ+=+)(； ②a a )()(λμμλ=； ③b a b a λλλ+=+)(。 二、重要定理和性质 1. 共线向量基本定理：如果)(R b a ∈=λλ，则b a ∥；反之，如果b a ∥且0≠b 时，一定存在唯一实数λ，使b a λ=。 2. 三点共线定理：平面内三点A,B,C 共线的充要条件是，存在实数μλ，，使μλ+=,其中 1=+μλ，O 为平面内任一点。即A,B,C 三点共线?OC OB OA μλ+=（1=+μλ） ? 典型例题精讲精练： 57.1平面向量相关概念 1. 给出下列命题：①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→ 是四 边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；其中正确命题的序号是________．[答案] ①② 2. 给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；③λ， μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( )D A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

2019上海等级考历史教材知识点梳理(高考历史归纳整理)

《高中历史》Beta 1 第一章：世界古代史 第一节：古代东方 考点：两河流域的地理位置（A） 两河流域是指西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游区域，东临伊朗，西临阿拉伯大沙漠，北极小亚细亚山地，南临波斯湾，相当于今日之伊拉克，在希腊语中被称为“美索不达米亚”意为两河之间的地方。处于亚非欧交界处。 考点：楔形文字与《吉尔伽美什》（A） 一．楔形文字 楔形文字，又被称为“钉头文字”引起书写笔画酷似木楔或钉子而得名。公元前3100年，苏美尔人就开始使用这种文字，它是迄今为止被发现的最古老的的文字之一，也是古代两河流域最主要的文化成就。 二．《吉尔伽美什》 《吉尔伽美什》是古代流域的著名史诗，用楔形文字写成，并通过泥版文书比较完整地保存下来，是至今保存的为数不多的古代优秀文字作品之一。 考点：《汉穆拉比法典》（B） 背景：公元前1792年，汉穆拉比成为古巴比伦王国的第六代国王。他在位期间逐渐统一了两河流域，国力臻于极盛，古代两河流域也随之迎来历史上最辉煌的时期。 目的：更有效的规范王国的社会秩序，进一步巩固王国的统治。 内容与价值：《汉穆拉比法典》是目前已知的世界历史上第一部比较完备的成文法典（不是第一部法典），在世界法制史上占有重要地位。（法制价值）法典全面维护统治阶级的根本利益，保护社会成员的私有财产，严格规定了各个阶层的义务，严厉惩罚各种社会犯罪。（内容）比较清楚地展示了古巴比伦王国的社会状况，是了解和研究古巴比伦王国的第一手文献。

法典保留了诸如神明裁决，同态复仇等原始习惯法的部分内容，但同时也否定了血亲复仇，私人报复，抢婚等原始风俗的合法性，具有一定的历史进步意义。法典一再强调奴隶主对奴隶的所有权，严禁奴隶逃亡和藏匿奴隶，倒卖奴隶的行为，充分显示出法典的时代特征。 考点：高度集权的法老专制统治（A） 古代埃及国家实行高度集权的专制统治。法老是拥有绝对权威的专制君主，集政治、军事、经济、司法、和宗教大权于一身。他强化王权神授的观念，自奉为神或神的后裔，将自己的意志视为法律，拥有对全国土地的支配权，并控制着所有军队，掌握着从中央到地方的高级官吏的任免权。（第二句话是对第一句的解释） 考点：金字塔和来世信仰（A） ●金字塔的象征意义：金字塔式古代埃及法老专制权利的象征，它向世人展示了法老 至无无上的权威。（政治上）金字塔也是古代埃及人来世信仰的具体体现。（宗教 上） ●金字塔的历史意义：是世界建筑史上的一大奇迹，是古代埃及人卓越的创造性智慧 的结晶，也是古代埃及社会经济和建筑技术发展的一项具体成就。 考点：象形文字（A） 发明时间和命名原因：古代埃及人在公元前3500年以前就发明了象形文字。这种文字因为其字形与各种具体事物的形态相像而得名。 书写工具：埃及人最初以石头和刻刀做书写工具，发明了笔和墨水，纸草、木片、石头和陶片都成了书写材料，其中纸草的使用最为普遍。 象形文字消亡原因：古代埃及的象形文字复杂难懂（内因），只有祭祀、书吏、官员和一些大商人掌握读写能力，公元前332年亚历山大征服埃及，埃及受到了强势的希腊文化的冲击，从公元639年被阿拉伯人征服起，埃及迅速“阿拉伯化”（外来侵略和强势文化冲击：外因） 考点：种姓制度（B） 1.背景：公元前14世纪至公元前10世纪，雅利安人先后征服印度河流域和恒河流域，在征服的过程中曾用种性区分征服者和被征服者，区别其高贵的身份地位、维护雅利安人的统治地位。当雅利安人的氏族制度走向解体时。内部出现了等级划分，社会分为四大种性集团。 2.等级划分：婆罗门（祭祀、僧侣等精神统治者）刹帝利（以国王为首的军事贵族等世俗统治者）吠舍（普通的雅利安自由民）首陀罗（被征服的土著） 3.实质是等级制度 4.特点：职业世袭，内部联姻和排斥外人。各自的法律地位、社会权利和宗教生活均不相同。

高中数学必修四平面向量知识归纳典型题型(经典)

一,向量重要结论 （1）、向量的数量积定义：||||cos a b a b θ?= 规定00a ?=， 22||a a a a ?== （2）、向量夹角公式：a 与b 的夹角为θ，则cos |||| a b a b θ?= （3）、向量共线的充要条件：b 与非零向量a 共线?存在惟一的R λ∈，使b a λ=。 （4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =平行?12210x y x y -= （5）、两向量垂直的充要条件：向量a b ⊥0a b ??=?12120x x y y += （6）、向量不等式：||||||a b a b +≥+，||||||a b a b ≥? （7）、向量的坐标运算：向量11(,)a x y =,22(,)b x y =，则a b ?=1212x x y y + （8）、向量的投影：︱b ︱cos θ=||a b a ?∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影 （9）、向量：既有大小又有方向的量。 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等 向量：长度相等且方向相同的向量。 （10）、零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝ 0 ?｜a ｜＝0 由于0的方向是任意的， 且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） （11）、单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量?｜ 0a ｜＝1 （12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,= ，要会求出直线的斜率； （2）给出+与AB 相交,等于已知+过AB 的中点; （3）给出0 =+,等于已知P 是MN 的中点; （4）给出()+=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线; （5）给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,O C O A O B αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出λλ++=1OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即λ= （7） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知 AMB ∠是锐角。 （ 8）给出=??λ,等于已知MP 是AMB ∠的平分线/ （9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-?+，等于已知ABCD 是菱形;

平面向量知识点总结(精华)

必修4 平面向量知识点小结 一、向量的基本概念 1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别. 向量常用有向线段来表示 . 注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移. 举例 1 已知A（1,2），B（4,2），则把向量u A u B ur按向量a r（ 1,3）平移后得到的向量是. 结果：（3,0） 2.零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作：0r，规定：零向量的方向是任意的； 3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位 向量（与u A uu B r共线uuur 的单位向量是u A u B ur ）； | AB| 4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 a r、 b r叫做平行向量，记作：a r∥b r， 规定：零向量和任何向量平行 . 注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有r0）； ④三点A、B、C 共线u A uu B r、u A u C ur共线. 6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量 . a r的相反向量记作a r. 举例 2 如下列命题：（1）若|a r | |b r | ，则a r b r. （2）两个向量相 等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 . （3）若u A u B ur u D u C u r，则ABCD是平行四边形 . （4）若ABCD是平行四边形，则u A uu B r u D u C uur. （5）若a r b r，b r c r，则a r c r. （6）若a r / /b r，b r / /c r则a r / /c r.其中正确的是. 结果：（4）（5） 二、向量的表示方法

高三高考平面向量题型总结

平面向量 一、平面向量得基本概念: １、向量:既有大小又有方向得量叫做________、我们这里得向量就是自由向量，即不改变大小与方向可以平行移动. 向量可以用____＿＿＿＿_来表示、向量得符号表示_＿＿_____＿＿＿＿__＿＿__＿_、 2、向量得长度：向量得大小也就是向量得长度(或_____），记作_＿____＿__、 3、零向量：长度为0得向量叫做零向量,记作____＿＿＿＿、 4、单位向量：___＿___________＿___＿_＿＿__＿、 5、平行向量与共线向量:如果向量得基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反、记作_______＿规定:___________＿＿＿_____、 注意:理解好共线（平行)向量。 6.相等向量：＿____＿____＿________＿＿＿_、 例:下列说法正确得就是__＿__ ①有向线段就就是向量，向量就就是有向线段; ②则;③ ④若，则A ，Ｂ，C ，D 四点就是平行四边形得四个顶点； ⑤所有得单位向量都相等； 二、向量得线性运算: （一）向量得加法： 1、向量得加法得运算法则：＿_＿＿___＿____、__＿______与______＿____、 (1）向量求与得三角形法则:适用于任何两个向量得加法,不共线向量或共线向量；模长之间得不等式关系_____________＿＿____＿___;“首就是首,尾就是尾，首尾相连” 例１、已知AB=８，AC ＝5，则BC 得取值范围_＿____＿___ 例2、化简下列向量 （1） （2) (2)平行四边形法则:适用不共线得两个向量，当两个向量就是同一始点时,用平行四边形法则; 就是以,为邻边得平行四边形得一条对角线，如图： 例1、(０9 山东)设P 就是三角形A ＢC 所在平面内一点，,则 A. B 、 C 、 Ｄ、 例2、（13四川）在平行四边形ＡBCD 中,对角线AC 与B Ｄ交于点Ｏ， ,则、 （３）多边形法则 2、向量得加法运算律:交换律与结合律 （二）向量得减法: 减法就是加法得逆运算,Ａ、 （终点向量减始点向量) 在平行四边形中,已知以、为邻边得平行四边形中,分别为平行四边形得两条对角线，当时，此时平行四边形就是矩形。 例1、已知，且,则＝＿＿_＿__ 例2、设点M 就是B Ｃ得中点,点A 在线段BC 外,B Ｃ=1６,,则 向量得加减运算： 例1、(0８辽宁）已知、就是平面内得三个点，直线上有一点,满足CB → ＋2AC → =0，则OC → =______ A 、2OA → —OB → B 、-OA → +2OB → C 、 OA →-OB → D 、 —OA → ＋OB → 例２、(15课标全国I ）设D 就是三角形ABC 所在平面内一点,，则_＿＿__＿

2020年高考历史二轮复习知识点训练解放人类的阳光大道(含答案)

2020年高考历史二轮复习知识点训练 解放人类的阳光大道 一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1．(2019·赣州二模)长期以来，俄国二月革命被严重低估了。尤其是1938年出版的《联共(布)党史简明教程》，更是千方百计贬低二月革命的作用和意义。这主要是因为二月革命( ) A．不符合俄国历史发展规律 B．违背了广大人民群众要求 C．建立起资产阶级临时政府 D．推翻了俄国沙皇专制制度 2．如果不是第一次世界大战条件下帝国主义列强忙于相互厮杀而无暇进行干涉，俄国革命就很难如此迅速地 取得胜利；假如没有列宁和布尔什维克的坚强领导，俄国革命也不可能取得成功。这说明十月革命的胜利( ) A．实现了社会主义的民主 B．充分发挥了工农联盟的巨大优势 C．首创了暴力革命的先例 D．体现了客观条件与主观因素的结合 3．(2019·蚌埠一模)下图为某学者所绘的《一战期间俄国国内时局示意图》对上图解读全面的是( ) A．两个政权并存局面是短暂的 B．十月革命的爆发具有偶然性 C．俄国国内社会矛盾错综复杂 D．沙皇改革催生俄国民主革命 4．(2019·贵阳模拟)俄国革命家托洛茨基指出，“十月革命借助战争完成了一次历史性转换：俄国不再是西欧 资本主义的仿效者，而是世界历史的引领者”。这说明十月革命( ) A．用两个政权并存的方式来稳定社会秩序 B．利用市场和商品货币关系发展经济 C．采用武装起义的方式来夺取政权 D．以社会主义的方式推进国家现代化 5．(2019·内江一模)1892年，波兰文版《共产党宣言》序言：“根据《宣言》用某国文字发行的份数，不仅 可以相当准确地判断该国工人运动状况，而且可以相当准确地判断该国大工业发展的程度。”这反映出( ) A．《共产党宣言》的诞生与工业革命进程联系紧密

高考平面向量知识点总结

高考平面向量知识点总结 16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式： a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+； ②结合律：()() a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为 () 11,x y ， () 22,x y ，则 ()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③() a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量）

平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳 一。向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 １。向量得概念:既有大小又有方向得量,记作:或。注意向量与数量得区别.向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就就是有向线段,为什么？（向量可以平移)。 例:已知A(1，2)，B(４,2）,则把向量按向量＝（-1，3）平移后得到得向量就是 ２、向量得模：向量得大小（或长度），记作：或. 3。零向量：长度为0得向量叫零向量，记作：,注意零向量得方向就是任意得; ４．单位向量:单位向量:长度为1得向量。若就是单位向量，则。(与共线得单位向量就是); 5。相等向量:长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6。平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反得非零向量、叫做平行向量,记作：∥,规定零向量与任何向量平行。 提醒：①相等向量一定就是共线向量，但共线向量不一定相等; ②两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合; ③平行向量无传递性！（因为有）； ④三点共线共线； 如图，在平行四边形中，下列结论中正确得就是( ) A、B、 C、Ｄ、 7．相反向量：长度相等方向相反得向量叫做相反向量.得相反向量就是－、。例：下列命题：(1)若，则。(2）若，则。（6）若，则。（3）若,则就是平行四边形。(4）若就是平行四边形，则。其中正确得就是_＿_____ 题型1、基本概念 １：给出下列命题: ①若｜|=｜｜,则＝;②向量可以比较大小；③方向不相同得两个向量一定不平行; ④若＝，=，则=；⑤若/／，//，则/／；⑥;⑦； 其中正确得序号就是。 ２、基本概念判断正误：（1）共线向量就就是在同一条直线上得向量。 （２)若两个向量不相等,则它们得终点不可能就是同一点. (3）与已知向量共线得单位向量就是唯一得。 （4）四边形ABCＤ就是平行四边形得条件就是。

2019年高三数学《向量》题型归纳(含解析)

江苏省2019年高三数学《向量》题型归纳（含解析） 题型一：平面向量的共线定理 （1）平面内有一个ABC ?和一点O ，线段OA OB OC 、、的中点分别为E F G BC CA AB 、、,、、的中点分别为L M N 、、，设,,OA a OB b OC c ===.试用,,a b c 表示向量,EL FM GN 、 （2）如图在等腰三角形ABC 中， 120,2=∠==BAC AC AB .F E ,分别为边AC AB ,上的动点，且满足n m ==,，其中1),1,0(,=+∈n m n m ，N M ,分别是BC EF , 的最小值为______. （3）已知向量12,e e 是两个不共线的向量，若122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=______. （4）在平面直角坐标系xoy 中，已知()1,0A ,()0,1B ,点C 在第一象限内，3AOC π∠=， 且2OC =，若OC OA OB λμ=+,则λμ+=______. （5）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若M N x A B y A C =+，则x =______； y = ． （6）设向量，不平行，向量a b λ+与2a b +平行，则实数λ=_________． （7）已知向量a =)1,2(，b=)2,1(-, 若m a +n b =)8,9(-(R n m ∈,), 则n m -的值为______. （8）在中，为边上的任意一点，点在线段上，且满足，若，则的值为_________． （9）如图，ABC ?是直角边等于4的等腰直角三角形，D 是斜边BC 的中点， 1 4AM AB m AC =+?，向量AM 的终点M 在ACD ?的内部（不含边界），则实数m 的取值范围是 . 答案：（1） ()()111,,222OE a OL b c EL OL OE b c a ==+=-=+-，()12FM a c b =+-，()12GN a b c = +- ABC ?M BC N AM 31=),(R ∈+=μλμλμλ+

2020届高考历史二轮复习知识点训练1：“蒸汽”的力量及走向整体的世界

“蒸汽”的力量及走向整体的世界 一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1．下表是1750－1850年间英国266位工业家在创建其大型工业企业时所属社会阶层分布表。从表中可以得出的结论是( ) 社会阶层划分数量所占总数比例(%) 上等阶级8 3.0 中等阶级142 53.4 底层中等阶级85 32.0 劳工阶级31 11.6 A B．工业革命加速了城市化的进程 C．19世纪英国已经完成了工业化 D．工业革命推动了社会结构变化 2．电话之父贝尔于1877年创办贝尔电话公司；爱迪生发明电灯后创立自己的电器公司；德国卡尔·本茨于1885年发明汽油动力车，次年便成立奔驰汽车厂；美国莱特兄弟于1903年制造出第一架飞机，1909年创办莱特飞机公司；瑞典化学家诺贝尔拥有约100家工厂……从这些现象中可以得出的结论是( ) A．经济利益的驱动是科技进步的力量源泉 B．大力投资重化工业成为当时的社会潮流 C．经济发展极大地促进了科学技术的进步 D．科学技术成为推进社会经济发展的动力 3．(2019·合肥调研)下表反映了1913年主要资本主义国家工业生产占世界工业生产的比重情况。据此可知当时( ) 国家英国法国德国美国其他国家 比重13.4% 4.6% 14.5% 37.7% 29.8% B．德国确立了欧洲霸主地位 C．美国的工业化水平最高 D．资本主义经济发展不平衡 4．(2019·河南天一大联考)下图是1850年、1870年英、法、德三国蒸汽动力的增长对比，这说明( ) A．英国工业化的发展进程最为迅速 B．法国开始工业化进程的起步最晚

C．德国国家统一促进了工业化发展 D．英法德经济发展呈现出不平衡性 5．(2019·乌鲁木齐一模)经济史学家认为，英国工业革命基本上是无意向性的、群众自发的社会经济现象，它不是由国家运用政治权力组织和推动的，这一自发经济现象首先兴起于英国当然有其社会人文因素。他们的依据是英国( ) A．逐步成为世界工厂B．市场需求的增长 C．科学技术的大突破D．君主专制的削弱 6．(2019·宜宾一模) A．工业革命原因的多元性 B．这些观点形成了完整的认识 C．阶级立场影响历史认识 D．没有考虑到英国的历史传统 7．(2019·惠州调研)1720年英国政府通过《泡沫法案》，明令成立公司须经“议会或国王授权”。1825年，《泡沫法案》被废除，公司成立条件放宽。这一变化的原因是( ) A．重商主义的盛行B．工业革命的发展 C．垄断资本的出现D．政府权力的削弱 8．(2019·合肥一模)1846年英国政府废除了《谷物法》，结束对谷物进口的限制和关税保护政策，1849年又废除了《航海条例》，允许本国及其殖民地的外贸运输使用别国船只。由此可知当时英国( ) A．倡导自由贸易B．垄断了世界航运 C．鼓励海外殖民D．放弃了重商主义 9．(2019·汕头一模) 英国女性对家庭经济贡献表(%) A．女性的政治地位逐步提高 B．机器生产加剧了工人失业 C．轻纺工业成为重要经济部门 D．开始出现第二次工业革命 10．下图是英国1600－1850年间人口的变化情况(单位：万)，以下关于图中信息分析最正确的是( )

平面向量题型归纳

平面向量题型归纳 题型一 平面向量的线性运算 例 1：记 N ?? ?，y ＝ ?t ? ≤ y t N i !{?，y }＝ y t ? ≤ y 设 a t b 为平面向量，则( ) yt ? ? y ?t ? ? y A ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} B ．N i !{ a + b t |a －b |} ≤ N i !{ a t |b |} C ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 D ．N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量 a t b t |a + b |与|a －b |表示以 a t b 为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A ，B 均错；又 a + b t |a －b |中的较大者与 a t |b |一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2 ,故选项 D 正确，选项 C 错误． 方法二：若 a t b 同向，令 a ＝2t |b |＝3，这时 |a + b |＝5，|a －b |＝1，N i !{|a + b |，|a －b |}＝1，N i !{|a |，|b |}＝2；若令|a |＝2，|b |＝6，这时 a + b ＝8t a －b ＝4t N i !{ a + b t |a －b |}＝4 ， 而 N i !{ a t |b |}＝2 ， 显然对任意 a t b ， N i !{|a + b |，|a －b |} 与 N i !{ a t |b |}的大小关系不确定， 即选项 A 、B 均错． 同理， 若 a t b 同向， 取|a |＝1t |b |＝2， 则 a + b ＝3t |a －b |＝1，这时 N ?? a + b 2 t a －b 2 = ?，而 a 2 + b 2 ＝5，不可能有 N ?? a + b 2t a －b 2 ≤ a 2 + b 2，故选 C 项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项； 也可从选择题的特点入手，通过对 a t b 特殊化，从而得到 a + b t |a －b |的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二 共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例 1.O A B C 中,A B 边的高为 C ?,若ˉC ˉˉB ˉ˙＝a t ˉC ˉˉA ˙＝b t a ·b ＝O t a ＝1t b ＝2t 则ˉA ˉˉ?ˉ˙＝( ) A.1 a －1 b B.2 a －2 b C.3 a －3 b D.4 a －4 b 3 3 3 3 5 5 5 5 【答案】 D 【解析】方法一： a ·b ＝0t ?A C B ＝?0°t A B ＝ 5t C ?＝ 2 5 . 5 B ?＝ 5 t A ?＝ 4 5 t A ? : B ?＝4 : 1. ˉA ˉˉ?ˉ˙＝4 ˉA ˉˉB ˉ˙＝4 (ˉC ˉˉB ˉ˙ — ˉC ˉˉA ˙)＝ 4 a －4 b .

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练

高考理科数学：《平面向量》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一平面向量的线性运算 例1：记，＝，＝设为平面向量，则() A．－B．－ C．－D．－ 【答案】：D 【解析】 方法一：对于平面向量与－表示以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度，而根据平面几何知识可得，平行四边形两对角线长度的较小者与相邻两边长度的较小者，没有确定的大小关系，故选项A，B均错；又－中的较大者与一定构成非锐角三角形的三条边，由余弦定理知，必有－,故选项D正确，选项C错误． 方法二：若同向，令＝＝，这时 ＝，－＝，，－＝，，＝；若令＝，＝，这时＝－＝－＝，而＝，显然对任意，，－ 与的大小关系不确定，即选项A、B均错．同理，若同向，取＝＝，则＝－＝，这时－，而＝5，不可能有 －，故选C项错． 【易错点】平面向量加减法线性运算性质。 【思维点拨】解题的关键是结合向量模的几何意义，加减运算的几何意义，通过图形分析得到正确选项；也可从选择题的特点入手，通过对特殊化，从而得到－的值，通过比较大小关系排除错误选项，得出正确答案． 题型二共线向量定理、平面向量基本定理的应用 例1.中,边的高为,若＝＝＝＝＝则＝() A.－ B.－ C.－ D.－ 【答案】 D

【解析】方法一：＝＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝－ 方法二：如图,以为原点，所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系．由已知得，又因为，所以可求得,于是＝,而＝＝,若设＝，则有 即,故＝－ 【易错点】平面向量加减法线性运算性质,平面向量的坐标表示； 【思维点拨】根据题设条件确定出、、三点坐标，再利用三点共线的性质即可解决. 例2.若点是所在平面内一点,且满足: 设＝. （1）求与的面积之比. （2）若为中点,与交于点,设,求的值. 【答案】见解析； 【解析】（1）由＝可知、、三点共线 如图令； .即面积之比为： （2）由; 由、、三点共线及、、三点共线. 【易错点】面积比值与线段比值的关系，三点共线的性质；

2019年高考历史必背知识点-05.新民主主义革命

新民主主义革命（1919-1949） 一、五四运动（1919年） （一）背景 1.政治：北洋军阀的黑暗统治 2.经济：民资短暂春天，工人阶级壮大 3.思想：新文化运动促进思想解放 （二）导火索 1918年的战胜国巴黎和会上，欧美列强做出了将德国在山东的一切权益转让给日本的决定，中国外交失败。 （三）过程 1.爆发：1919年5月4日，北京。 2.高潮：1919.6.5上海：工人罢工、商人罢市、学生罢课 3.口号：“外争国权，内惩国贼”、“废除二十一条”“、拒绝在和约上签字”。 4.结果：初步胜利。免除了曹汝霖、章宗祥、陆宗舆三人的职务。中国代表团拒绝在巴黎和会上签字。 （四）意义 1.五四运动是一次伟大的反帝反封建的爱国运动，爱国主义精神贯穿运动的始终，是五四精神的主旋律 2.五四运动是一场广泛传播民主和科学的新文化运动，体现了民主和科学精神。 3.五四运动是一场伟大的思想解放运动，它体现了追求真理、勇于解放的精神。 4.五四运动标志着新民主主义革命的开端。 二、中国共产党建立（1921年） 1.条件 ①阶级基础：无产阶级的壮大并登上政治舞台； ②思想基础：马列主义的传播； ③组织基础：中国各地共产党早期组织成立。 2.中共“一大”：1921年7月召开。大会通过了党的纲领，把推翻资产阶级专政、建立无产阶级专政，作为党的奋斗目标。宣告了中国共产党正式成立， 3.中共“二大”：1922年召开，制定现阶段奋斗目标为反帝国主义，反封建主义，反对军阀。 4.1923年中共“三大”提出建立民主革命统一战线 国民大革命时期（1924年—1927年） 三、第一次国共合作 1.条件：中国共产党在开展工人运动中，认识到建立革命统一战线的必要性；1923年中共三大决定与中国国民党合作。 2. 实现：1924年国民党“一大”在广州召开，重新解释了三民主义，确定了联俄、联共、扶助农工的三大政策，标志着国共第一次合作正式形成。 3.影响：反帝反封建的工农运动蓬勃发展，国民革命运动高潮迅速到来。 四、北伐战争 1.条件 群众基础：工农运动蓬勃开展。 组织基础：1925年，国民政府在广州成立。 军事条件：整编国民革命军，统一了广东革命根据地。 2.目的：消灭帝国主义支持的吴佩孚、孙传芳、张作霖等北洋军阀。 3.进程：北伐军歼灭吴佩孚、孙传芳部主力，革命势力发展到长江流域。1927年初，国民政府由广州迁往武汉。 五、国民大革命的结局——失败 1.原因：帝国主义干涉，寻找新的代理人；国民党右派蒋介石、汪精卫叛变革命；陈独秀坚持右倾错误，限制工农运动，放弃革命领导权。 2.标志：1927年蒋发动“四一二”政变，汪发动“七一五”政变，国共合作破裂。革命失败 国共十年对峙（1927-1936） 六、武装起义 1.南昌起义（1927年8月） 周恩来、朱德领导南昌起义，打响了中国共产党武装反抗国民党反动派的第一枪；标志着中国共产党独立领导武装斗争和建立人民军队的开始。

平面向量题型归纳归纳

平面向量题型归纳 一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】 1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。 例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； 5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ） A.AB CD = B.AB AD BD -= C.AD AB AC += D.AD BC +=0 7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 、AB BA =-。例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则 AB DC =。其中正确的是_______ 题型1、基本概念 1：给出下列命题： ①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ?=；⑦00a ?=； 其中正确的序号是 。

平面向量知识点总结归纳

平面向量知识点总结归纳 1、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ；②结合律：()() a b c a b c ++=++ ； ③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 3、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ． b a C B A a b C C -=A -AB =B

设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =-- ． 4、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相 反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 5、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使 b a λ= ． 设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、 () 0b b ≠ 共线． 6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于 这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底） 7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ， ()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλ λ++?? ?++??． 8、平面向量的数量积： ⑴() cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤ ．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??= ．②当a 与b 同向时， a b a b ?= ；当a 与b 反向时，a b a b ?=- ；22a a a a ?== 或a ．③ a b a b ?≤ ． ⑶运算律：①a b b a ?=? ；②()()()a b a b a b λλλ?=?=? ；③() a b c a c b c +?=?+? ． ⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y = ，()22,b x y = ，则1212a b x x y y ?=+ ．

高三高考平面向量题型总结,经典

平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则a = ；③,//,//a a // ④若=，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 山东）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+ B.0=+ C.0=+ D.0=++ 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法：