〖2021年整理〗《变化率问题》优秀教案

§变化率问题

一内容和内容解析

内容：平均变化率的概念及其求法。

内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节变化率与导数中的变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。

教学重点：函数平均变化率的概念。

二目标和目标解析

新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。

目标解析：

1经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。

3通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。

三教学问题诊断分析

吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。

教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。

四教学支持条件分析

为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。

1在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。

2通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。

五教学过程设计

1问题情景

从生活述语和学生比较熟悉的姚明身高曲线引入课题。

设计意图：使学生了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率提供更多的实际背景。

师生活动：稍加点拨，继续引导学生举出生活中的变化率问题。

2数学建构

问题1：大家可能都有过吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢从数学角度,如何描述这种现象呢

设计意图：通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景。

师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。

思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少

设计意图：把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分析与归纳。

问题2：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h单位:m与起跳后的时间t单位: 存在函数关系ht=－10，如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0≤t≤这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1≤t≤2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？

设计意图：高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景。

师生活动：教师播放多郭晶晶、吴敏霞在2021年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化，学生通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。

探究：计算运动员在0≤t ≤6549

这段时间里的平均速度,并思考下面的问题: 1 运动员在这段时间里是静止的吗

2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗

设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。

师生活动：教师播放多媒体，学生通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想——对教材的一个处理）。

思考：当运动员起跳后的时间从t 1增加到t 2时,运动员的平均速度是多少

设计意图：把问题2中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。

师生活动：教师播放多媒体，学生可以直接回答问题，教师板书其正确答案。通过引导，使学生逐步归纳出问题1、2的共性。

定义：一般地,函数=f 中，式子2121

()()f x f x x x --称为函数f 从1到2的平均变化率。其中令21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-，则:

2121()()f x f x y x x x

-∆=-∆。 设计意图：归纳概念的过程，体现了从特殊到一般的数学思想。

思考：（1）x ∆,y ∆的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些变式？

设计意图：加深对概念内涵的理解。

师生活动：教师播放多媒体，师生共同讨论得出结果。

思考：观察函数f 的图象平均变化率2121()()f x f x y x x x

-∆=-∆表示什么（图略）

设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。

3数学应用

例题 1 计算函数f=21在区间[–3,–1]上的平均变化率；

2 求函数f=21的平均变化率。

设计意图：概念的简单应用，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想，符合学生的认知规律。

师生活动：教师适当点拨，学生口答。

练习（1）已知函数f=-2的图象上的一点A-1,-2及临近一点B-1Δ,-2Δ,则Δ/Δ=

A 3

B 3Δ-Δ2

C 3-Δ2

D 3-Δ

（2）求=2在=0附近的平均变化率

设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特殊到一般的数学思想。

师生活动：教师板书，并引导学生归纳求平均变化率的一般步骤：

（1）作差（2）作商

最后请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。

4总结提高

（1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？

（2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？

（3）这节课主要用了哪些数学思想？

师生活动：最后师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特殊到一般，数形结合。

设计意图：复习重点知识、思想方法，完善学生的认知结构。

六知识巩固

（1）课本第10页习题组:1

（2）四人一组合作完成一篇数学小论文，备选题目：《变化率的应用》、《数学率问题》

（3）备选作业：已知函数()||(1)

f x x x

=+，求

(0)(0)

f x f

x

+∆-

∆

的值：

设计意图：对一般学生布置第（1）（2）题，而对学有余力的学生布置（3）题，体现了分层、有梯度的教学，及时巩固新知识。

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

〖2021年整理〗《变化率问题》优秀教案

§变化率问题 一内容和内容解析 内容：平均变化率的概念及其求法。 内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节变化率与导数中的变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 教学重点：函数平均变化率的概念。 二目标和目标解析 新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。 目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。 目标解析： 1经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 三教学问题诊断分析 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。 教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。 四教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。

变化率问题教案

变化率问题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课 题 变化率问题 【导学过程】 课内探究学案 一、学习目标 知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在 指定区间上的平均变化率。 二、学习过程 学习探究 探究任务一： 问题1 课本气温图曲线 新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为 y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x ??，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 【达标检测】 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

变化率问题教案

变化率问题教案 教案标题：变化率问题教案 教案概述： 本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。 教学目标： 1. 理解变化率的概念和意义； 2. 能够计算和解释变化率； 3. 能够应用变化率解决实际问题。 教学准备： 1. 教师准备： - 准备一些实际生活中的变化率问题的例子； - 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源； - 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。 2. 学生准备： - 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。 教学过程： 引入（5分钟）： 1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？

2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。 讲解变化率概念（10分钟）： 1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。 2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。 3. 强调变化率的单位和意义。 计算和解释变化率（15分钟）： 1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。 2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。 应用变化率（15分钟）： 1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。 2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。 3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。 练习和巩固（10分钟）： 1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。 2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。 总结（5分钟）： 1. 总结本节课所学的内容和重点。 2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。 拓展活动：

变化率问题教案

第三章 导数及其应用 3.1.1变化率问题 教师：何永江 三维目标： 知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学过程设计： 一．创设情境 产生的背景及其作用 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授 （1）问题提出： 【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。 问题一 气温平均变化率 【学生探索】 问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？” 问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。） 问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？ 问题5：若函数关系为y=f (x) , 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？ 【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1 212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。 习惯上用1212x x x x x x -=?-?，即表示, )()(12x f x f f -=?

变化率问题 说课稿 教案 教学设计

变化率问题 学习目标 1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变 化率 2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率 3. 情感态度与价值观 学习重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率 学习难点 平均变化率的概念. 学习连接 学习过程 一、创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(πV V r = 分析: 343)(π V V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.00 1)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r --

5.1.1变化率问题教学设计

5.1.1变化率问题教学设计 【教学内容】 平均速度的极限，瞬时速度 【教学目标】 1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想. 2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系. 【教学重难点】 重点：瞬时速度和微分思想. 难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想. 【教学过程设计】 视频展示微积分产生的背景 引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。 一.创设情境提出问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度 ，与起跳后的时间存在函数关系：2 =-++. () 4.9 2.811 h t t t 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。 在00.2t ≤≤这段时间里： (1.5)(1) 1.51 h h v -= -9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1) 11 h m h h m h v m m +-+-= = +- 追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121 ()()h t h t v t t -= -124.9() 2.8. t t =-++ 设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。 二.联想激活 寻求方法 计算运动员在407 t ≤≤这段时间里的平均速度.4()(0)70/407 h h v m s -==- 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度概念：我们把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

3.1.1 变化率问题(优秀经典公开课比赛教案及联系解答)

3.1.1变化率问题 教学目标:1.知道平均变化率的定义。 2.会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。 教学重点：平均变化率的含义 教学难点：会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。 教学过程： 情景导入： 展示目标: 知道平均变化率的定义。 会用公式来计算函数在指定区间上的平均变化率。 合作探究： 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题2;:在高台跳水运动中，,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 交流展示：学生交流探究结果,并完成学案。 精讲精练： 例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 例2 已知函数2 ()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 有效训练 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 反思总结 1.函数()f x 的平均变化率是 2.求函数()f x 的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 T(月) 6 3 9 12

3.1.1变化率问题教案

3.1变化率与导数 3.1.1 变化率问题 一、【创设情境】 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数, 随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(πV V r = 分析: 343)(π V V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.00 1)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间 t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段 内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.40 5.0) 0()5.0(s m h h v =--=

变化率问题教案

变化率问题教案 教案: 变化率问题 I. 引言 A. 引入变化率的概念 B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑 C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题 II. 学习目标与能力要求 A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题 B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念 III. 预习活动 A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解 B. 学生为预习问题解决方案做准备 IV. 暖身活动 A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识 B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程 V. 教学过程 A. 引导学生理解变化率

1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义 2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义 3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法 B. 应用变化率解决实际问题 1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决 2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解 3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力 C. 深入理解变化率 1. 引导学生思考变化率的特性和性质 2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决 3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案 VI. 巩固练习 A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展 B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案 C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论 D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导 VII. 总结与反思

A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用 B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得 C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣 VIII. 作业布置 A. 提供一些练习题作为课后作业 B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应 用 IX. 扩展学习 A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例 B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域 X. 复习与检测 A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用 B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导 本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。通过引 导学生理解变化率的定义并掌握计算方法，应用变化率解决实际问题，以及深入讨论变化率的特性和性质，提高学生的数学思维和问题解决 能力。通过巩固练习、总结与反思，并布置作业，促进学生对变化率 概念的掌握和扩展学习。最后，教案提供了复习与检测的建议，帮助 教师评估学生的学习情况并进行个别指导。

优质课教学设计：变化率问题 Word版含答案

《变化率问题》教学设计 教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”, 一、教学内容分析 导数是微积分的核心概念之一,是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排,采用“逼近”的方法,从数形结合的角度定义导数,使导数概念的建立形象、直观而又容易理解,突出了导数概念的本质。 平均变化率是导数概念建立的核心,教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例,归纳出它们的共同特征,总结出一般函数平均变化率概念,使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况,并掌握平均变化率解法的一般步骤。 从知识形成的先后顺序来看,平均变化率是本章内容学习的核心概念,是研究瞬时变化率及其导数概念的基础,在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中,将进一步渗透从特殊到一般的化归思想,数形结合思想。 基于上述分析,我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念,掌握平均变化率解法的一般步骤,了解平均变化率的几何意义。 二、学生情况分析 （一）、学生已有的认知基础 1、学生具备了一定的函数知识,可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式,求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。 2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念,比较容易理解可以

用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。 （二）可能存在的认知困难 1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例,如何从具体实例中抽象出共同的数学本质,能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键,也是难点所在。 2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象,需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言,抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。 基于上述分析,我将本节课的教学难点确定为：通过具体生活实例,概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。； 三、教学目标设计 《课程标准》对本节课的要求是： 1、通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,体会导数的思想及其内涵。 2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 然而,课程教学目标不完全等同于课堂教学目标,课堂教学目标应该具体化,具有“可操作性”和“可检测性”,通过对《课程标准》的解读,我将本节课的课堂教学目标确定为： 1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义； 2.通过具体实例,归纳、抽象出平均变化率的定义； 3.体会数形结合的思想方法； 四、教学策略分析

2022年《变化率问题》教学优秀教案1

变化率问题 一、设计思想： 〔1〕用探究未知的思考方法 〔2〕用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二、教学目标 ➢理解平均变化率的概念； ➢了解平均变化率的几何意义； ➢会求函数在某点处附近的平均变化率 ➢感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义 三、教学重点 ➢通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义； ➢掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 四、教学难点：平均变化率的概念． 五、教学准备 ➢认真阅读教材、教参，寻找有关资料； ➢向有经验的同事请教； ➢从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六、教学过程 一．创设情景 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关

系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生； ②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨 大奉献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值． 让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地 进行以下学习． 二．新课讲授 〔一〕问题提出 问题1气球膨胀率问题： 老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景； 再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？ 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加越来越慢从数学角度,如何描述这种现象呢 气球的体积V单位:L与半径r单位:dm之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 分析: ， 当V从0增加到1时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为Array可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐 渐变小了． 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少 问题2 高台跳水问题：

变化率问题2教案

变化率问题2教案 教案标题：变化率问题2教案 教案目标： 1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。 2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。 3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。 教学重点： 1. 变化率的概念和计算方法。 2. 变化率在实际问题中的应用。 3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。 教学准备： 1. 教学投影仪和电脑。 2. 学生练习纸和铅笔。 3. 实际问题的案例和练习题。 教学过程： 引入： 1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。请问他的平均速度是多少？ 2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。 讲解： 1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。 2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。

3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。 实践： 1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。 2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。 拓展： 1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。 2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。 总结： 1. 回顾变化率的概念和计算方法。 2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。 3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。 扩展活动： 1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。 2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。 评估： 1. 观察学生在课堂上对变化率概念和计算方法的理解和应用情况。 2. 收集学生完成的练习纸和扩展活动的结果，评估他们对变化率的掌握程度。

变化率问题教案

人教版选修2-2第一章导数及其应用 变化率问题 授课教师：王天禹授课班级：高二（10）班 一、教学目标 知识与技能： (1)掌握平均变化率的概念及其计算步骤； (2)能用平均变化率解释生活中的一些实际问题； 过程与方法： (1)通过一些实例感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率。 (2)创设问题情境→引导学生探究→师生互动交流→形成概念并升华 情感态度价值观： 感受数学模型刻画现实生活，理性认识客观世界，提升学习数学的兴趣， 二、教学重难点 重点：平均变化率的现实意义和数学意义 难点：平均变化率的理解和应用 三、教学过程 （一）产生背景 为了描述现实世界中运动、变化的现象，在数学中引入了函数，随着研究函数的不断深入，产生了一个新的概念——微积分，定积分是一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。 （播放PPT1牛顿莱布尼茨的照片） 大家认识这两个老外吗？左边这位是大名鼎鼎的牛顿，英国数学家，物理学家，天文学家，大家都很熟悉，右边这位呢，叫莱布尼茨，德国数学家，哲学家。牛顿呢，就是那位不幸被苹果砸中脑袋的倒霉蛋，却因此发现了万有引力而被家喻户晓的幸运儿。莱布尼茨呢，大家可能不甚了解，他和中国有一段很深的渊源，话说，莱布尼茨有一位朋友来到中国，对周易八卦很感兴趣，于是回国时候就带了这张周易八卦图，莱布尼茨看到之后，也产生了兴趣，中国文化博大精深啊，莱布尼茨靠这张周易八卦，最后发明了二进制，最终成了二进制的鼻祖人物。这两位大哥最终联手，在17世纪发明了微积分这么一个东西，是全世界公认的微积分创始人。 那么到底什么是微积分呢？大家都微积分了解多少呢？ （播放PPT2） 微积分是一种数学思想，无限细分，谓之为微，无限求和，谓之为积，一个微分，一个积分，化解了千百年来，很多大家难以解决的难题。恩格斯评价说：微积分的创立，是人类精神文明的最高胜利。 微积分如此重要，而学好微积分，我们必须从万物的变化开始，因此这节课，我们先来学习《变化率问题》书写板书：本节标题

数学：1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

高二数学 第一章《1.1.1变化率问题》教案 新人教A版选修2-2

高中数学 第一章《1.1.1变化率问题》教案 新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.00 1)0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后 的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动 员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.40 5.0)0()5.0(s m h h v =--= ； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.81 2)1()2(s m h h v -=--= 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？ ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49 65(h h =， h t o

变化率问题精品教案

3.1.1 变化率问题 学习目标 1.理解平均变化率的概念.2.了解平均变化率的几何意义.3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题： 思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 平均变化率的几何意义、物理意义分别是什么？ 答案 (1)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率. (2)平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1 . 思考3 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？ 答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”. (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 知识点二 函数y ＝f (x )从x 2到x 1的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的增量与自变量增量之比.

〖2021年整理〗《变化率问题》教学优秀教案1

变化率问题 一、设计思想： （1）用已知探究未知的思考方法 （2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二、教学目标 ➢理解平均变化率的概念； ➢了解平均变化率的几何意义； ➢会求函数在某点处附近的平均变化率 ➢感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义 三、教学重点 ➢通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义； ➢掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 四、教学难点：平均变化率的概念． 五、教学准备 ➢认真阅读教材、教参，寻找有关资料； ➢向有经验的同事请教； ➢从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六、教学过程 一．创设情景 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？ 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值． 让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．二．新课讲授 （一）问题提出

问题1气球膨胀率问题： 老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？ 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢从数学角度,如何描述这种现象呢 气球的体积V 单位:L 与半径r 单位:dm 之间的函数关系是 334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么 3 43)(πV V r = 分析: 3 43)(πV V r =， 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为) /(62.001) 0()1(L dm r r ≈-- 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为) /(16.012) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 1212) ()(V V V r V r -- 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少 问题2 高台跳水问题： 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：）存在怎样的函数关系？ 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h 单位：m 与起跳后的时间t （单位：）存在函数关系ht= 10 ）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t≤０5，1≤t≤2，≤t≤2，2≤t≤，时间段里的平均速度 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度 在5.00≤≤t 这段时间里， ) /(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ；