【高中数学】第5章 5.1.1 变化率问题
一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义
5.1.1 变化率问题
素养目标
学科素养
1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点)
2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点)
1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算
情境导学
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．
当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？
1．平均速度与瞬时速度
在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )．
(1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度．
(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度．
(3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是
正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)Δx与Δy的值均可取0.()
×提示：Δy可为0，但Δx不能为0.
(2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．()
×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度．
(3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√)
2．抛物线的切线的斜率
当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.
1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为()
A．3 B．4
C．5 D．7
B解析：lim
Δx→0＝
s(2＋Δt)－s(2)
Δt＝4.
2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4
C．3 D．2
B解析：k＝lim
Δx→0f(2＋Δx)－f(2)
Δx＝4.
3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．
y ＝4x －3 解析：f (x )在点(1,1)处的斜率为 lim Δx →0
f (1＋Δt )－f (1)
Δt
＝4，
所以切线方程为y ＝4x －3.
【例1】子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，其运动方程为s ＝1
2at 2，如果它的加速
度a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间t 0＝1.6×10－
3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．
解：lim Δx →0
12a (t 0＋Δt )2－12
at 2
0Δt
＝at 0.
由题意知a ＝5×105m/s 2，t 0＝1.6×10－
3s ， 故at 0＝8×102＝800(m/s)，
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
瞬时速度是当Δt →0时，运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．
质点按照运动规律s ＝2t 2－t 运动，其中s 表示位移，t 表示时间，则质点在[2,2＋Δt ]这段时
间内的平均速度是________，在t ＝2时的瞬时速度是________．
7＋2Δt 7 解析：v ＝2(2＋Δt )2－(2＋Δt )－(2×22－2)Δt ＝2(Δt )2＋7Δt
Δt
＝7＋2Δt ，v ＝lim Δx →0
(7
＋2Δt )＝7.
【例2】 求抛物线f (x )＝－x 2＋x 在点(－1，－2)处切线的斜率． 解：设抛物线f (x )在点(－1，－2)处切线的斜率为k ，则k ＝lim Δx →0
f (－1＋Δx )－f (－1)
Δx
＝3.
【例3】 求曲线f (x )＝x －1
x
在点(1,0)处的切线方程．
解：函数f (x )＝x －1
x 在点(1,0)处的切线斜率k ＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0
⎝⎛⎭
⎫1＋11＋Δx ＝2.
故所求切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.
求曲线f (x )上一点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求曲线f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝lim Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
；
(2)利用点斜式求出切线方程y －f (x 0)＝k (x －x 0)．
求抛物线f (x )＝x 2＋3在点P (1,4)处的切线斜率. 解：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx
＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx ＝2＋Δx .
∴所求切线的斜率 k ＝lim Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝lim Δx →0
(2＋Δx )＝2.
1．函数f (x )＝x 2在区间[－1,2]上的平均速度为( ) A ．－1 B ．1 C ．2
D ．3
B 解析：因为f (x )＝x 2，
所以f (x )在区间[－1,2]上的平均速度为f (2)－f (－1)2－(－1)＝4－1
3＝1.故选B ．
2．函数f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均速度为( ) A ．Δx ＋2 B ．Δx ＋3 C ．2Δx ＋(Δx )2
D ．3Δx ＋(Δx )2 B 解析：v ＝f (1＋Δx )－f (1)
(1＋Δx )－1
＝Δx ＋3.故选B ．
3．直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0
Δs
Δt
为( ) A ．从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度 B ．从时刻t 到t ＋Δt 时，位移的平均变化率 C ．当时刻为Δt 时该物体的速度 D ．该物体在t 时刻的瞬时速度
D 解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，时间间隔为Δt ，而物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0
Δs
Δt
为该物体在t 时刻的瞬时速度．故选D ． 4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A ．9.1米/秒 B ．6.75米/秒 C ．3.1米/秒
D ．2.75米/秒
C 解析：∵函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ， ∴lim Δx →0
h (0.5＋Δt )－h (0.5)
Δt
＝3.1，∴在t ＝0.5秒的瞬时速度为3.1米/秒．故选C ．
5．求函数f (x )＝x 2＋1在x ＝x 0到x ＝x 0＋Δx 之间的平均速度． 解：v ＝
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
(x 0＋Δx )－x 0
＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20＋1Δx
＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx [(x 0＋Δx )2＋1＋x 20
＋1] ＝2x 0＋Δx
(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1
.
1．平均速度只能粗略地反映物体在一段时间内里的运动状态，并不代表物体在每时每刻的运动情况，但是它是求瞬时速度的基础，瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值． 2．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝li m
Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
.
课时分层作业(十二)
变化率问题 (30分钟 60分) 基础对点练
基础考点 分组训练
知识点1 求瞬时速度
1．(5分)某物体的运动路程s (单位：m )与时间t (单位：s )的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为(B) A ．1 B ．3 C ．－1
D ．0
2.(5分)第1题中的物体在t 0 s 时的瞬时速度为________．
3t 20 m/s 解析：物体在t 0时的平均速度为 v ＝
s (t 0＋Δt )－s (t 0)
Δt
＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt
＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3
Δt
＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2
.
因为li m Δt →0
[3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20
m/s. 3.(5分)若第1题中的物体在t 0 s 时的瞬时速度为27 m/s ，则t 0＝________.
3 解析：由3t 20＝27，解得t 0＝±3. 因为t 0>0，故t 0＝3.
知识点2 求曲线在某点处的斜率
4．(5分)曲线f (x )＝－2
x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )
A ．y ＝－2x ＋4
B ．y ＝－2x －4
C ．y ＝2x －4
D ．y ＝2x ＋4 C 解析：k ＝li m Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
(1＋Δx )－1
＝li m Δx →0
－2
1＋Δx ＋2Δx ＝2
1＋Δx
，
所以k ＝2，所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.故选C ． 5．(5分)曲线y ＝1
3x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．π4
C ．5π
4
D ．－π4
B 解析：∵lim Δx →0
⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭
⎫13x 3－2Δx
＝lim Δx →0
⎣⎡⎦
⎤x 2＋x Δx ＋1
3(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝1.
∴切线的倾斜角为π
4
，故选B ．
6．(5分) 曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12
C ．－1
2
D ．－1
A 解析：∵lim Δx →0
a (1＋Δx )2－a ×12
Δx
＝lim Δx →0
2a Δx ＋a (Δx )2
Δx
＝lim Δx →0
(2a ＋a Δx )＝2a ，
∴k ＝2a ， ∴2a ＝2， ∴a ＝1.
能力提升练
能力考点 适度提升
7.(5分)设f (x )＝1
x ，则li m x →a
f (x )－f (a )x －a
等于( )
A ．－1
a
B ．2
a
C ．－1a
2
D ．1a
2
C 解析：li m x →a
f (x )－f (a )
x －a ＝li m x →a
1x －1a x －a
＝li m x →a
a －x (x －a )·xa
＝－li m x →a
1ax ＝－1
a 2.
8．(5分)已知点P (x 0，y 0)是抛物线f (x )＝3x 2＋6x ＋1上一点，且在点P 处的切线斜率为0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(－1,10)
B 解析：∵k ＝li m Δx →0
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
＝
li m Δx →0
(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6，令6x 0＋6＝0，
∴x 0＝－1，y 0＝3x 20＋6x 0＋1＝－2.
9.(5分)已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，
则此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度分别为________． 6,6 解析：t ＝1时，
3(1＋Δt )2＋2－(3×12＋2)
Δt ＝6＋3Δt ，
li m Δt →0
(6＋3Δt )＝6；
t ＝4时，
29＋3(4＋Δt －3)2－[29＋3×(4－3)2]
Δt ＝6＋3Δt ，
li m Δt →0
(6＋3Δt )＝6.
10.(5分)曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
(2，－2) 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)，
斜率k ＝li m Δx →0
(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0
Δx
＝li m Δx →0
2x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2
Δx
＝2x 0－3＝1，
故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0
＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2). 11.(10分)求函数f (x )＝1
x
－x 2在(1,0)处的切线方程．
解：f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝－3－3Δx －(Δx )2
1＋Δx ，
li m Δx →0
f (1＋Δx )－f (1)
Δx
＝－3，∴k ＝－3，∴切线方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0.
高考数学：试卷答题攻略
一、“六先六后”，因人因卷制宜。
考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。
审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。
三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。
四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。
对一个问题正面思考受阻时，就逆推，直接证有困难就反证。对探索性问题，不必追求结论的“是”与“否”、“有”与“无”，可以一开始，就综合所有条件，进行严格的推理与讨论，则步骤所至，结论自明。理综求准求稳求规范第一：认真审题。审题要仔细，关键字眼不可疏忽。不要以为是“容易题”“陈题”就一眼带过，要注意“陈题”中可能有“新意”。也不要一眼看上去认为是“新题、难题”就畏难而放弃，要知道“难题”也可能只难在一点，“新题”只新在一处。
第二：先易后难。试卷到手后，迅速浏览一遍所有试题，本着“先易后难”的原则，确定科学的答题顺序，尽量减少答题过程中的学科转换次数。高考试题的组卷原则是同类题尽量按由易到难排列，建议大家由前向后顺序答题，遇难题千万不要纠缠。
第三：选择题求稳定。做选择题时要心态平和，速度不能太快。生物、化学选择题只有一个选项，不要选多个答案;对于没有把握的题，先确定该题所考查的内容，联想平时所学的知识和方法选择;若还不能作出正确选择，也应猜测一个答案，
不要空题。物理题为不定项选择，在没有把握的情况下，确定一个答案后，就不要再猜其他答案，否则一个正确，一个错误，结果还是零分。选择题做完后，建议大家立即涂卡，以免留下后患。
第四：客观题求规范。①用学科专业术语表达。物理、化学和生物都有各自的学科语言，要用本学科的专业术语和规范的表达方式来组织答案，不能用自造的词语来组织答案。②叙述过程中思路要清晰，逻辑关系要严密，表述要准确，努力达到言简意赅，切中要点和关键。③既要规范书写又要做到文笔流畅，不写病句和错别字，特别是专业名词和概念。④遇到难题，先放下，等做完容易的题后，再解决，尽量回忆本题所考知识与我们平时所学哪部分知识相近、平时老师是怎样处理这类问题的。⑤尽量不要空题，不会做的，按步骤尽量去解答，努力抓分。记住：关键时候“滥竽”也是可以“充数”的。
【高中数学】第5章 5.1.1 变化率问题
一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 素养目标 学科素养 1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点) 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点) 1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算 情境导学 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈． 当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 1．平均速度与瞬时速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )． (1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度． (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度． (3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是
正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)Δx与Δy的值均可取0.() ×提示：Δy可为0，但Δx不能为0. (2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．() ×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度． (3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√) 2．抛物线的切线的斜率 当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0. 1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为() A．3 B．4 C．5 D．7 B解析：lim Δx→0＝ s(2＋Δt)－s(2) Δt＝4. 2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4 C．3 D．2 B解析：k＝lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2) Δx＝4. 3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.1变化率问题 要点一 平均速度与瞬时速度 1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1 . 2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt 的极限，记为 lim Δt → h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度． 【重点小结】 在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前． 当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率 抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) Δx . 【重点小结】 当Δx 无限趋近于0时， k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx 的极限，记为 lim Δx → f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( ) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( ) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( ) (4)一物体的运动方程是S ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( ) 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A 【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3 ＝1.890.3＝6.3，故选A. 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81
数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析
十二变化率问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( ) A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s) C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s) 【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s). 2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.Δs=2+Δt+-2- =Δt-,=1-, 所以t=2时的瞬时速度为 ==. 3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15
【解析】选C.= =3+3Δx+(Δx)2, 则曲线在点P(1,12)处的切线斜率 k=[3+3Δx+(Δx)2]=3, 故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( ) A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26 【解析】选D.设P(x0,y0),= = =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0. 所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1, 因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
5.1.1变化率问题导学案
5.1.1变化率问题 导学案 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)； f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 ；f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限， 即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 3．曲线的切线斜率 (1)设P 0(x 0，f (x 0))，P (x ，f (x ))是曲线y ＝f (x )上任意不同两点，则平均变化率f x －f x 0 x －x 0 ＝ f x 0＋Δx －f x 0 Δx 为割线P 0P 的_____． (2)当P 点逐渐靠近P 0点，即Δx 逐渐变小，当Δx →0时，瞬时变化率 就是y ＝f (x )在x 0处的____的斜率即k ＝ .
新教材人教A版选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 作业
课时作业(十二) 变化率问题 [练基础] 1．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为 ( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt 2．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (单位： m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木 块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14 3．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ， 则li m Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度 4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，直线AB 的斜率是________． 5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则该物体在t ＝________时的瞬时速度为1. 6．求抛物线y ＝x 2＋2x ＋3在点(1,6)处的切线方程． [提能力] 7．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说
法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m B ．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m C ．前3 s 内球的平均速度为8 m/s D ．在时间[2,3]内球的平均速度为12 m/s 8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0 m/s 的时刻是________s. 9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. (1)求它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． [战疑难] 10．若一物体运动方程如下： s ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3， 其中位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)
5.1.1变化率问题教学设计 一、课时教学内容 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 二、课时教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 三、教学重点、难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 四、教学过程设计 环节一创设情境，引入课题 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；
二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分． 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导 数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 5.1导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 5.1.1变化率问题 问题1高台跳水运动员的速度 探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系 2() 4.9 4.811h t t t =-++． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里， (0.5)(0) 2.35(m /s)0.50 h h v -= =-； 在12t ≤≤这段时间里， (2)(1) 9.9(m /s)21 h h v -= =--
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题-练习
第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 课后篇巩固提升 基础达标练 1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为() A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 (3)=12,S(3.3)=13.89, ∴平均速度v=S(3.3)-S(3) 3.3-3=1.89 0.3 =6.3,故应选A. 2.(2018全国高二单元测试)lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示() A.曲线y=x2切线的斜率 B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 C.曲线y=-x2切线的斜率 D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率 lim →0(1+Δx)2-1 Δx =lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx , 可知lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.
3.(2020海南中学高二期末)两个学校W 1、W 2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W 1(t )、W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有 ( ) A .W 1比W 2节能效果好 B .W 1的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大 C .两学校节能效果一样好 D .W 1与W 2自节能以来用电量总是一样大 ,对任意的t 1∈(0,t 0),曲线W=W 1(t )在t=t 1处的切线比曲线W=W 2(t )在t=t 1处的切线要“陡”,所以,W 1比W 2节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知, W 1(t 0)-W 1(0) t 0 < W 2(t 0)-W 2(0) t 0 ,则W 1的用电 量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线W=W 1(t )和曲线W=W 2(t )不重合,D 选项错误.故选A . 4.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=1 2gt 2,当Δt 无限趋于0时,s (1+Δt )-s (1) Δt 无限趋于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( ) A .9.8 m/s 是在0~1 s 这一段时间内的平均速度 B .9.8 m/s 是在1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度 D .9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 Δt 趋于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1) Δt 趋于该时刻的瞬时速度.选ABD.
高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1 变化率问题同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化 率问题 一、选择题 1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0) h 的结果( ) A ．与x 0，h 均无关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 均有关 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－ 3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/s D ．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/s B ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反 C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/s D ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s
高中数学5-1-1变化率问题课后提能训练新人教A版选择性必修第二册
第五章 5.1 5.1.1 A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2 ＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于( ) A ．4Δt ＋(Δt )2 B ．4＋Δt ＋2 Δt C ．2Δt ＋(Δt )2 D ．2＋Δt 【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2 ＋1－(22 ＋1)＝4Δt ＋(Δ t )2. 2．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 【答案】A 3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12 gt 2，g ＝9.8m/s 2 ，若 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5m/s ，则24.5m/s 是该物体( ) A ．从0s 到1s 这段时间的平均速度 B ．从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度 C ．在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度 D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5 m/s ，可知有物体从t ＝1 s 到(1 ＋Δt )s 这段时间的平均速度为24.5 m/s. 4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s (米)与时间t (秒)的关系为s (t )＝5t ＋2t 2 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为( ) A ．18米/秒 B ．13米/秒 C ．9米/秒 D ．13 2 米/秒 【答案】C 【解析】∵s (t )＝5t ＋2t 2 ，该物体在运行前2秒的平均速度为s (2)－s (0) 2 ＝18 2 ＝9(米/秒)．
变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多． （5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？
新人教A版高二选择性必修二5-1-1变化率问题
新人教A版高二5.1.1 变化率问题 学校:______姓名:______班级:______考号:______ 一、单选题(共8小题) 1.若质点P的运动规律为s=2t2＋5，则在时间段(3,3＋Δt)内，质点P的平均速度等于( ) C.12＋2Δt D.12 A.6＋Δt B.12＋Δt＋9 Δt 2.做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s=3t−t2，则它的初速度是( ) A.0 B.3 C.−2 D.3−2t 3.若函数f(x)=x2−1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.4 4.函数f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率是( ) A.1 B.−1 C.2 D.−2 5.给半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增量ΔV等于( ) πR2ΔR A.4 3 π(ΔR)3 B.4πR2ΔR+4πR(ΔR)2+4 3 C.4πR2 D.4πRΔR 6.若质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的瞬时速度为( ) A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t02
7.某物体做直线运动，其运动规律是s =t 2+3 t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( ) A.123 16米／秒 B.125 16米／秒 C.8米／秒 D.67 4米／秒 8.函数f(x)=x 2从x 0到x 0+Δx 的平均变化率为k 1，从x 0−Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1,k 2的大小关系是( ) A.k 1
5.1.1 变化率问题(同步检测)(附答案)—高二下学期数学选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（同步检测） 一、选择题 1.函数y ＝x 2从x 0到x 0＋Δx(Δx ＞0)的平均变化率为k 1，从x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( ) A.k 1＞k 2 B.k 1＜k 2 C.k 1＝k 2 D.k 1与k 2的大小关系不确定 2.已知函数 f(x)＝ax 2＋b 的图象开口向下，lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a ) Δx ＝4，则a ＝( ) A.2 B.－ 2 C.2 D.－2 3.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝1 3t 3＋1，设其在时间段[1,2]内的 平均速度为v 1 m/s ，在t ＝2时的瞬时速度为v 2 m/s ，则v 1 v 2＝( ) A.13 B.712 C.56 D.23 4.如图，函数y ＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为( ) A.12 B.－1 2 C.2 D.－2 5.质点的运动规律为s ＝t 2＋3(t 表示时间，s 表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9Δt C.3＋Δt D.9＋Δt 6.函数f(x)＝x 在区间[0,1]上的平均变化率为( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 7.若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 8.已知函数f(x)＝x 2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )
5.1.1变化率问题
5.1.1变化率问题 【学习目标】 1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想. 2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系. 【学习重难点】 1.重点：瞬时速度和微分思想. 2.难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想. 一.创设情境提出问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度 ，与起跳后的时间存在函数关系：2 =-++. () 4.9 2.811 h t t t 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 请计算对应时间段的平均速度： 在00.2 ≤≤这段时间里： t 在11 ≤≤+这段时间里： t m
追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里： 二.联想激活 寻求方法 计算运动员在407 t ≤≤这段时间里的平均速度. 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度概念： 探究 瞬时速度与平均速度有什么区别和联系?你能利用这种关系求运动员在 1t s =时的瞬时速度吗?
数学实践 当0t ∆<时，在时间段[]1,1t +∆内 当0t ∆>时，在时间段[]1,1t +∆内 时间段 t ∆ v = 时间段 t ∆ v = []0.99,1 0.01- []1,1.01 0.01 []0.999,1 0.001- []1,1.001 0.001 []0.9999,1 0.0001- []1,1.0001 0.0001 []0.99999,1 0.00001- []1,1.00001 0.00001 []0.999999,1 0.000001- []1,1.000001 0.000001 观察：你有什么发现？当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？
人教A版 高二数学 选修第二册5.1.1变化率问题 -A基础练(解析版)
5.1.1变化率问题 -A 基础练 一、选择题 1．（ 2021·全国高二课时练习）一质点的运动方程是253s t =-,则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- D 【详细详细解析】()22 53(1Δ)531Δt v t ⎡⎤-+--⨯⎣ ⎦=63Δt =--. 2．（ 2021·邵武市四中高二期中）函数2()21f x x =-在区间(2,2)x +∆上的平均变化率y x ∆∆等于（ ） A ．84x +∆ B ．82x +∆ C ．242()x +∆ D ．8 B 【详细详细解析】由题:2(2)(2)2(2)17y f x f x x x x ∆+∆-+∆--==∆∆∆22()828x x x x ∆+∆==∆+∆. 3．（ 2020·全国高二课时练）甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示,则治污效果较好的是（ ） A ．甲厂 B ．乙厂 C ．两厂一样 D ．不确定 B 【详细详细解析】在0t 处,虽然有()() 00W t W t =甲乙,但()() 00ΔΔW t t W t t -<-甲乙, 所以在相同时间Δt 内,甲厂比乙厂的平均治污率小,所以乙厂治污效果较好． 4．（ 2020·安徽蚌埠二中高二月考）已知函数()2 24f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点 ()1,2x y +∆-+∆,则 y x ∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．()2 42x +∆ C 【详细详细解析】 ()()()()()2 2 112142424y f x f x x x ∆=+∆-=+∆---=∆+∆,
高中数学教案1.1变化率问题1.2导数的概念
§ 3. 1.1变化率问题 § 3. 1.2导数的概念 【学情分析】： 本节的中心任务是形成导数的概念•概念形成划分为两个层次： 1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵. 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨， 生形成导数的概念。 【教学目标】： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义 【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义 【教学过程设计】： 教学环节 问题1气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？ 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)- 3 如果将半径r表示为体积V的函数，那么r(V) 问题1 气球膨胀率 (一) 问题提 出分析：r (V) : 3—， (1)当V从0增加到1时，气球半径增加了r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1)—r(0)0.62(dm / L) 为导数 概念的 引入做 铺垫 (2 )当V 1 从1增加到 2时,气球半径增加了 r(2) r(1 ) 0.16(dm) 膨胀率为r(2) 2 可以看出，随着气球体积逐渐增大，了. 思考：当空气容量从V1增加到 气球的平均 r⑴0.16(dm/L) 1 它的平均膨胀率逐渐变小 V2时,气球的平均膨胀率是 以便顺利地使学 教学活动 设计意 图
5.1.1 变化率问题
第五章一元函数的导数及其应用 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 (一)早期导数概念——特殊的形式 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A). (二)17世纪——广泛使用的“流数术” 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数. (三)19世纪导数——逐渐成熟的理论 1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式. [读图探新]——发现现象背后的知识 1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移x、速度v、加速度a(均指大小，下同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的 快慢，即v＝Δx Δt，a＝ Δv Δt，
其中t表示时间，Δt表示时间的变化量. 特别地，当物体做的是初速度为v0的匀加速直线运动时，a是一个常数，此时 x＝v0t＋1 2at 2，v＝v0＋at. 2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情. 我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性. 问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？ 问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′， 其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数. (2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).
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