变化率问题观课报告

变化率问题观课报告

一、引言

变化率问题作为数学中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域。变化率问题在高中数学中也是一个重要的考查点，尤其是对于高中数学物理等相关专业的学生来说，变化率问题更是一个重要的知识点。因此，本文将从观课的角度出发，谈一谈关于变化率问题的一些理解以及应用。

二、观课感想

我参加了一堂高中数学课程关于变化率的授课观摩，这节课老师采用了循序渐进的教学方法带领学生们逐步地理解变化率这个概念。首先老师作了铺垫，让学生了解何为变化率，其次老师通过具体的例子引导学生理解变化率的概念以及计算方法，然后老师给出了合理的选择题以帮助学生进行巩固和练习。

在课堂上，我也加入了课堂互动，与老师以及同学们进行激烈的讨论。这堂课深入浅出，生动形象，配有生动画面，形式多样的教学模式不仅有效地帮助我们理解变化率的概念与应用，同时也激发了我们的学习热情。

三、变化率的理解与应用

1. 变化率的概念

变化率指的是物体或量在一段时间内发生变化的速率，可以分为瞬时变化率和平均变化率。其中，瞬时变化率是指某一瞬间的变化速率，而平均变化率则是经过一段时间的变化速率的平均值。

2. 变化率的计算方法

变化率的计算方法主要有两个，分别为微积分的方法和代数方法。微积分的方法主要涉及求导和积分等知识点，比如利用导数可以求出物体每时每刻的变化率；而代数方法主要是利用比例关系来计算变化率，比如变化率等于变化量与时间的比值。

3. 变化率的应用

变化率问题在实际生活中应用广泛，如在物理学、经济学和生物学等相关领域中常被使用。下面就给出一个例子：

假如我们想要知道一辆汽车的加速度，我们可以利用汽车行驶过程中的速度变化情况，计算汽车的加速度。在公路上行驶时，我们可以通过速度计来测量汽车不

同时刻的速度并作图，利用速度的变化率就可以计算出加速度。这个例子表明了变化率问题在实际生活中的一些应用。

四、总结

本文通过观摩一堂变化率问题的课程，试图阐述变化率的概念、计算方法及其应用。从观课的角度出发，全面理解变化率问题，对于学生们更好地掌握变化率这一概念是非常必要的。同时，在理解变化率的过程中，我们也应该注重其一些具体应用场景的理解，如物理学、经济学和生物学等。通过加深理解和练习，我们可以更好地掌握变化率这一概念，并在实际生活中加以应用。

变化率问题 说课稿 教案 教学设计

变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

高一数学《变化率问题》课堂点评

“1.1.1变化率问题”评课稿 本节课王老师课前精心准备，课堂运用多媒体教学手段，创设了富有生活气息的教学情境，设计了生活化的学生活动，成功地解决生活化的问题。王老师的课堂明确新课程的教学理念，彰显个人的教学特色。 1.采取适当重新组织教材内容，使之更符合学生对变化率学习的实际。实例一、例题1通过师生互动帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，变化率富于不同的实际意义。 2.将学生必须掌握的平均变化率概念的结构性分析置于核心地位，选择、运用与变化率知识紧密相关的典型材料恰当，教学的重点突出，对难点考虑如何突破并实现了突破。实例二、例题2的设计使学生对发现的规律进行理性的分析，通过自我探索和互相交流的过程，提高学生的逻辑思维和自学能力，有助于学生对逼近思想的理解。数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。 3.本节课充分反映了学生学习平均变化率、瞬时变化率等知识的本质、地位，与相关知识之间内在的逻辑关系十分清晰。实例三帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。学生熟悉符号，在亲自计算的过程中感受逼近的趋势。 4.能围绕变化率知识的本质及逻辑关系，有计划地设置问题系列，使学生具备从特殊到一般的数学思想，具有一定归纳、概括、类比、抽象思维的能力训练。例题3在学生建立起平均变化率概念，明确用定义求平均变化率的方法, 渗透算法思想，加深对平均变化率、瞬时变化率概念的理解，强化对重点知识的巩固.

5.能根据教学的特点以及学生的需要恰当选择和运用教学媒体，有效整合教学资源，提示数学知识的发生、发展过程及其本质，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维。信息技术的使用遵循必要性、有效性、平衡性、合理性等原则。

1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.0) 1()2(L dm r r ≈-

变化率问题教案

变化率问题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课 题 变化率问题 【导学过程】 课内探究学案 一、学习目标 知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在 指定区间上的平均变化率。 二、学习过程 学习探究 探究任务一： 问题1 课本气温图曲线 新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为 y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x ??，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 【达标检测】 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

变化率问题

第三章 导数及其应用 §3.1.1变化率问题 教学目标： （一）知识与技能目标 （1）理解掌握平均变化率的的概念，会用平均变化率解决一些实际问题； （2）平均变化率的几何意义. （二）过程与方法目标 通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻 画变量变化快慢程度的一种数学模型；体会发现问题，分析问题，解决问题的过程； （三）情感态度与价值观 感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问 题、解决问题的能力． 教学重点：平均变化率的概念 教学难点：平均变化率概念的形成过程 教学过程： （一）问题情境，引入课题（以姚明的身高为背景引入） 问题1 篮球巨星姚明身高2.26，在他身高发展过程中有这样一段曲线： 观察并思考： （1）图形有什么变化趋势？ （2）他在哪一个年龄段内身高变化最快？ （3）从图上我们只能观察身高变化的一个大致趋势，华罗庚先生曾说过：形缺数时难入微，那么如果从数的角度，该如何刻画他的身高变化快慢呢？ 过渡： 其实前人早就做了这方面的研究，而且早在17世纪就已形成了系统的理论，这就是“微积分”理论．微积分是数学发展史上的继欧式几何后的又一划时代的伟大创造，恩格斯是这样评价微积分的：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程、运动”，称微积分是“人类精神的最高胜利”．对于微积分的创立，有两位2.26 2.12 ● ● ● ● ● ● 年龄 身高 4 7 10 13 16 ● 19 22 0.8 1.61 ● ● ● ● ● ● ●

科学家做出了重大的贡献：牛顿和莱布尼兹。 今天我们一起来学习微积分的基础：导数的概念第一课——变化率问题．（板书课题） 变化率问题主要是研究变量变化快慢程度 （二）实例分析，探究概念 1、身高变化率 我们先来看看有没有什么办法解决问题1中的最后一个问题：如何从数的角度刻画他身高 变化快慢，也就是身高的变化率？ 刚才通过我们对图形的观察发现，在[13，16]里曲线最陡，其他两段比较平缓 如果我们将这段曲线近似的看成直线段，我们是如何刻画直线的倾斜程度的？——直线的斜率，那么我们是否可以用同样的方法来刻画一下身高的变化率呢？ 计算：在[13，16]这个年龄段里，身高的变化率： 17.013 1661.112.2=--=年龄的差值身高的差值（米/年） 那么这个年龄段的最陡，比值算出来是0.17（米/年），其他两端稍微平缓一些，也请同学们计算一下 [4,13]这个年龄段里，比值是 09.04 -138.0-61.1=（米/年） [16,22]这个年龄段里，比值是023.061-22.122-.262≈（米/年） 从三个比值可以看出，13—16岁这个年龄段比值最大，从图形上看这个是最陡的，所以我们从形和数两个方面都予以了刻画，形上，这个年龄段最陡；数上，这个年龄段比值最大。所以说，数和形是两相依，在这里，我们也能感受到。 （过渡：在我们的现实生活中了，有许多和变化率有关的例子，下面我们一起来看下面这个问题） 2、问题2 气球膨胀率 （课件展示）我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 我们都吹过气球，现在我请两位同学上来重温一下那段快乐的时光。 为了使每次打进去的空气尽量相等呢，我选择了用打气筒打气，这样相对于用口吹起均匀一些，好，现在我们让他打2下 请你们量一下此时气球的大致直径是多少？那么半径是多少，此时气球内空气的容量能不能算出来，是不是可以近似的把气球看成一个球啊？我把这个体积记为a 。 现在，我们再来打一次，这次我们让他打4下，那么气球体积大约是多少？2a 再量一下此时气球的大约直径是多少？ 当v=0升时，气球的半径是0dm ；v 从0增加到 a 时，半径从0增加到 dm ，当v 从a 增加到2a 时，半径增加到 dm 。所以从这里我们可以初步感受到，当气球内空气容量增加时，半径也在增加，但是半径增加的速度怎样啊？具体的计算留给大家课后进行。 关于这个现象了，课本上给了具体的计算，我们一起来看一下。 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π=

变化率问题教案

变化率问题教案 教案标题：变化率问题教案 教案概述： 本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。 教学目标： 1. 理解变化率的概念和意义； 2. 能够计算和解释变化率； 3. 能够应用变化率解决实际问题。 教学准备： 1. 教师准备： - 准备一些实际生活中的变化率问题的例子； - 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源； - 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。 2. 学生准备： - 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。 教学过程： 引入（5分钟）： 1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？

2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。 讲解变化率概念（10分钟）： 1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。 2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。 3. 强调变化率的单位和意义。 计算和解释变化率（15分钟）： 1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。 2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。 应用变化率（15分钟）： 1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。 2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。 3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。 练习和巩固（10分钟）： 1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。 2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。 总结（5分钟）： 1. 总结本节课所学的内容和重点。 2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。 拓展活动：

高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计表格

课前复习（情景再现）一、创设问 题情境， 引入课 题： 我们生活在 瞬息万变的 世界中，有些 如风驰电掣， 而有些如蜗 牛行步。那么 我们如何用 数学的方法 来描述这些 变化呢？播 放ppt中跳水 运动员的跳 水过程。 让同学们观看完视频后，思考解决问 题： 人们发现在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在函数关 系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动 员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结 论，而是继续引导学生：欲知结论怎样， 让我们一起来观察、研探。 运用多媒 体创设情 境，让学生 感受生活 中处处有 数学，为课 题的引入 作铺垫。

引入新课 平均变化率二、新知探 究： 探究1 高台 跳水 在高台跳 水运动中,运 动员相对于 水面的高度 h(单位：米) 与起跳后的 时间t（单位： 秒）存在函数 关 系 h(t)=- 4.9t2+6.5t+1 0. 如何用运 动员在某些 时间段内的 平均速度粗 略地描述其 给同学们思考一下，然后提问：（请计 算） 学生举手回答 解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 学生觉得 问题有价 值，具有挑 战性，迫切 想知道解 决问题的 方法。 让学生亲 身感受知 识与实际 应用的联 系。

探究2 气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气 球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半学生分析并得到解析： 当V从0增加到1时,气球半径增加 了 气球的平均膨胀率为 （1）当V从1增加到2时,气球半 径增加了 气球的平均膨胀率为 0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大， 它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 对应的知 识点以问 题形式出 现，再现中 和反应的 实质，引导 学生将所 学知识应 用于生产、 生活实际。 两个问 题由易到 难，让学生 一步一个 台阶。为引 入变化率 的概念以

变化率问题教案

第三章 导数及其应用 3.1.1变化率问题 教师：何永江 三维目标： 知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学过程设计： 一．创设情境 产生的背景及其作用 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授 （1）问题提出： 【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。 问题一 气温平均变化率 【学生探索】 问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？” 问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。） 问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？ 问题5：若函数关系为y=f (x) , 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？ 【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1 212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。 习惯上用1212x x x x x x -=?-?，即表示, )()(12x f x f f -=?

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3.1.1 变化率问题 一、教学目标 重点: 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；函数平均变化率的概念. 难点：如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”函数平均变化率的概念理解. 知识点：平均变化率的概念及其求法. 能力点：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力. 教育点：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。并养成学生探究—总结型的学习习惯. 自主探究点：平均速度和瞬时速度的区别和联系. 考试点：平均变化率的概念及其求法. 易错易混点：函数值的增量的理解和计算. 拓展点：瞬时速度和瞬时变化率． 二、复习引入 创设情境： 我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 【设计意图】通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景. 设计说明：老师准备两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？ 【设计意图】让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．对一种生活现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的. 三、探究新知 学生演示吹气球过程，谈感受，老师点评． 得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢． 探究一： “随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？ 【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望. 说明：(1)组织学生讨论问题，阐述想法； (2)引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法； (3)师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r之间的关系() r V= 当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的 增大，比值半径的增加量 体积的增加量 越来越小”．③比值 半径的增加量 体积的增加量 就是气球的平均膨胀率． 提出问题： 请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率.

说课课题：变化率问题

说课课题：变化率问题 教材：普通高中课程标准实验教科书（选修2-2） （人民教育出版社A版） 各位专家、评委，大家下午好！我是杭师大附属中学的景芳，今天我要说课的题目是《变化率问题》。具体将从六个方面展开： 一．教学内容解读；二．教学目标确定；三．教学问题诊断；四．教法学法选择； 五．教学过程分析；六. 教学设计说明。 一．教学内容解读 本节课是高中数学（人教A版选修2-2）第一章中《导数及其应用》的第一节《变化率与导数》的第一课时《变化率问题》。是导数部分的开篇。本节课的目的是为导数的引出、学习作必要的知识、技能和思想方法的铺垫，是导数概念形成的奠基石，在导数教学中起着承上启下的作用。 函数平均变化率的的概念、实际意义、几何意义是本节课的核心内容。 主要渗透数形结合，数学建模，具体到抽象，特殊到一般，“逼近”等数学思想方法。 本节课的教学重点为：函数平均变化率概念的构建和理解。 二．教学目标确定 根据教学内容、结合课程标准，围绕知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三维教学目标观。本节课的教学目标确定为： （1）感知、分析降温情境，了解平均变化率的实际意义、几何意义; （2）经历气球膨胀率问题的建模和探究，建构和理解平均变化率的概念，体会由特殊到一般，由具体到抽象的数学思想方法； （3）经历数学应用掌握求函数在指定区间上平均变化率的一般步骤，体验“数形结合”； （4）分析高台跳水的探究问题，初步体验“以直代曲”、“逼近”的数学思想方法。 三．教学问题诊断 本节课的教学对象为高二年级学生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，而学生又具备了一定的函数知识与解几知识，所以学生已有一定的知识基础.但平均变化率是实践性很强的内容，学生只能通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。教材中以同学熟悉的吹气球作为背景，这个背景可以有效地利用学生原有的知识经验，但对于怎样建立数学模型，用什么数学方法解释变化快慢、怎样归纳与抽象为函数平均变化率，函数平均变化率的意义和内涵是什么？这些都需要学生具有丰富的经验结累和高度的概括能力和深刻的思维习惯，对学生是一次挑战。 因此，用数学模型来解释实际问题，函数平均变化率概念的抽象与理解是本节课的难点。 四．教法学法选择 为有效落实教学目标，突出重点突破难点，我选择探究式教学，旨在使学生在探究活动中实现概念的再创造。我通过创设情境、启发思考、组织探究、协作交流、总结提高五环节，实现学生的直观感知、实践探究、交流与合作、意义建构、巩固和反思。 五．教学过程分析 教学过程之创设情境

变化率问题教案

人教A 版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 教学目标 知识目标 1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。 2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点 1.平均变化率的概念的归纳得出； 2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。 教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法 引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探 一．创设情境 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。导数是微积分的核心概念之一。 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对二．新课讲授 （1） .问题提出： 问题3 气球膨胀率 【学生探索1】吹气球的过程中，气球发生了什么变化？ 现象总结：在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢. 【学生探索2】从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 如果体积增量不是1L,而是2L 或是3L,显然用半径的变化量不足以刻画半径增加的快慢， 因此还要计算半径的变化率。 此题中的气球半径的变化率就叫做气球的平均膨胀率。 V 从0增加到1L 气球平均膨胀率为 V 从1L 增加到2L 气球平均膨胀率为 V 从2L 增加到3L 气球平均膨胀率为 【设计意图】对一种生活现象的数学解析，层层深入，激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是可以服务于生活实际的. 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1 212) ()(V V V r V r -- 【归纳总结】平均膨胀率用来刻画气球半径变化快慢的量。 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存 在函数关系h (t )= -4.9t 2 +6.5t +10. 思考，我们可以用什么物理量来描述运动员在某段时间内的运动快慢情况?（平均速度）， 动手计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度， 在5.00≤≤t 这段时间里，(0.5)(0) 4.05(/)0.50 h h v m s -==-； 在21≤≤t 这段时间里，(2)(1) 8.2(/)21 h h v m s -= =-- 思考：当时间从t 1增加到t 2时,高台跳水运动员的平 均速度是多少? 1 212)()(t t t h t h v --=

变化率问题2教案

变化率问题2教案 教案标题：变化率问题2教案 教案目标： 1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。 2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。 3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。 教学重点： 1. 变化率的概念和计算方法。 2. 变化率在实际问题中的应用。 3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。 教学准备： 1. 教学投影仪和电脑。 2. 学生练习纸和铅笔。 3. 实际问题的案例和练习题。 教学过程： 引入： 1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。请问他的平均速度是多少？ 2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。 讲解： 1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。 2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。

3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。 实践： 1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。 2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。 拓展： 1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。 2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。 总结： 1. 回顾变化率的概念和计算方法。 2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。 3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。 扩展活动： 1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。 2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。 评估： 1. 观察学生在课堂上对变化率概念和计算方法的理解和应用情况。 2. 收集学生完成的练习纸和扩展活动的结果，评估他们对变化率的掌握程度。

变化率问题教案

变化率问题教案 教案: 变化率问题 I. 引言 A. 引入变化率的概念 B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑 C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题 II. 学习目标与能力要求 A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题 B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念 III. 预习活动 A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解 B. 学生为预习问题解决方案做准备 IV. 暖身活动 A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识 B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程 V. 教学过程 A. 引导学生理解变化率

1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义 2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义 3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法 B. 应用变化率解决实际问题 1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决 2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解 3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力 C. 深入理解变化率 1. 引导学生思考变化率的特性和性质 2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决 3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案 VI. 巩固练习 A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展 B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案 C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论 D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导 VII. 总结与反思

A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用 B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得 C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣 VIII. 作业布置 A. 提供一些练习题作为课后作业 B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应 用 IX. 扩展学习 A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例 B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域 X. 复习与检测 A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用 B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导 本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。通过引 导学生理解变化率的定义并掌握计算方法，应用变化率解决实际问题，以及深入讨论变化率的特性和性质，提高学生的数学思维和问题解决 能力。通过巩固练习、总结与反思，并布置作业，促进学生对变化率 概念的掌握和扩展学习。最后，教案提供了复习与检测的建议，帮助 教师评估学生的学习情况并进行个别指导。

变化率问题教案

人教版选修2-2第一章导数及其应用 变化率问题 授课教师：王天禹授课班级：高二（10）班 一、教学目标 知识与技能： (1)掌握平均变化率的概念及其计算步骤； (2)能用平均变化率解释生活中的一些实际问题； 过程与方法： (1)通过一些实例感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率。 (2)创设问题情境→引导学生探究→师生互动交流→形成概念并升华 情感态度价值观： 感受数学模型刻画现实生活，理性认识客观世界，提升学习数学的兴趣， 二、教学重难点 重点：平均变化率的现实意义和数学意义 难点：平均变化率的理解和应用 三、教学过程 （一）产生背景 为了描述现实世界中运动、变化的现象，在数学中引入了函数，随着研究函数的不断深入，产生了一个新的概念——微积分，定积分是一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。 （播放PPT1牛顿莱布尼茨的照片） 大家认识这两个老外吗？左边这位是大名鼎鼎的牛顿，英国数学家，物理学家，天文学家，大家都很熟悉，右边这位呢，叫莱布尼茨，德国数学家，哲学家。牛顿呢，就是那位不幸被苹果砸中脑袋的倒霉蛋，却因此发现了万有引力而被家喻户晓的幸运儿。莱布尼茨呢，大家可能不甚了解，他和中国有一段很深的渊源，话说，莱布尼茨有一位朋友来到中国，对周易八卦很感兴趣，于是回国时候就带了这张周易八卦图，莱布尼茨看到之后，也产生了兴趣，中国文化博大精深啊，莱布尼茨靠这张周易八卦，最后发明了二进制，最终成了二进制的鼻祖人物。这两位大哥最终联手，在17世纪发明了微积分这么一个东西，是全世界公认的微积分创始人。 那么到底什么是微积分呢？大家都微积分了解多少呢？ （播放PPT2） 微积分是一种数学思想，无限细分，谓之为微，无限求和，谓之为积，一个微分，一个积分，化解了千百年来，很多大家难以解决的难题。恩格斯评价说：微积分的创立，是人类精神文明的最高胜利。 微积分如此重要，而学好微积分，我们必须从万物的变化开始，因此这节课，我们先来学习《变化率问题》书写板书：本节标题

高中数学选修11《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74 t (d) 20 303421020 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃)210

教材分析 本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。 二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学 模型提供丰富的背景。 2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述 和刻画现实世界的过程。 3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研 究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以 及勇于探究、积极思考的学习精神。 三、重点与难点分析: 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率概念的理解和运用 四、学情分析 1、有利因素： 高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素： 学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计 （一）创设情景、激发热情 [情境1]： 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。 平均速度的数学意义是什么? 【设计意图】 数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保

【公开课教案】“变化率问题与导数的概念”教学设计

“变化率问题与导数的概念”教学设计 一、教材分析 本节内容选自课标实验教材人教A版，是导数的起始课，主要内容有变化率问题和导数的概念。导数是微积分中的核心概念，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。在本章的学习中，学生将学习导数的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受其在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。大纲教材中导数概念学习的起点是极限，这种建立概念的方式具有严密的逻辑性和系统性，但学生很难理解极限的形式化定义，因此也影响了对导数本质理解。教材通过列表计算、直观地把握函数变化趋势（蕴涵着极限的描述性定义），这种直观形象的方法中蕴含了逼近的思想，这样定义导数的优点是：1．使学生将更多精力放在导数本质的理解上； 2．学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解，有利于在大学的初级阶段学习严格的极限定义。 基于上述分析，本节课的教学重点是：丰富学生的感性经验，运用逼近的思想方法引导学生探索理解导数的思想及内涵。 二、教学设计 课题：变化率问题与导数的概念 教学目标：1．通过分析实例，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率 就是导数，体会导数的思想及其内涵； 2．通过动手计算培养学生观察、分析、比较和抽象概括的

能力，体会逼近的思想方法； 3．经历从生活中的变化率问题抽象概括出平均变化率的过程，体会数学知识来源于生活，又服务于生活。通过概 念的形成过程体会从特殊到一般的数学思想方法。 教学重点：了解瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。教学难点：从平均变化率向瞬时变化率的过渡。 教学过程： 1．创设情境、引入新课 教师介绍：微积分的创立是数学发展的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要方法和手段。在本章中，学生将通过大量的实例，经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，那么，我们先来研究变化率的问题，引出新课。 设计意图：充分挖掘章引言的教学价值，它说明了三方面的问题：首先，简明的指出了函数和微积分的关系；其次，概述了微积分的创立史及它的地位；第三，概述本章的学习内容。 2．实例探索，引出概念 问题1：大家可能有过吹气球的经验。在吹气球的过程中，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢。这个过程中的自变量和函数值分别是谁？试建立它们之间的函数关系，从数学角度如何描述上述变化过程呢？

变化率问题 公开课教学设计

§变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= ++10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态 ?