数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析

十二变化率问题

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( )

A.(5+Δt)(m/s)

B.[5+(Δt)2](m/s)

C.[5(Δt)2+Δt](m/s)

D.5(Δt)2(m/s)

【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s).

2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( )

A. B. C.1 D.2

【解析】选B.Δs=2+Δt+-2-

=Δt-,=1-,

所以t=2时的瞬时速度为

==.

3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( )

A.-9

B.-3

C.9

D.15

【解析】选C.=

=3+3Δx+(Δx)2,

则曲线在点P(1,12)处的切线斜率

k=[3+3Δx+(Δx)2]=3,

故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.

4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为

( )

A.y=9x

B.y=9x-26

C.y=9x+26

D.y=9x+6或y=9x-26

【解析】选D.设P(x0,y0),=

=

=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.

所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,

因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).

又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________.

【解析】===-1.

答案:-1

6.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.

【解析】==2,

故切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.

答案:2x-y+1=0

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.一物体的运动方程为y=f(x)=x2+3,在其图象上取一点P(1,4)及附近一点(1+Δx,4+Δy).

求:(1).

(2)在x=1处的瞬时速度.

【解析】(1)=

==2+Δx.

(2)=(2+Δx)=2.

8.已知s(t)=gt2,其中g=10 m/s2.

(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度.

(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.

(3)求t=3秒时的瞬时速度.

【解析】(1)Δt=3.1-3=0.1(s),

Δs=s(3.1)-s(3)=·g·3.12-·g·32=3.05(m), 则===30.5(m/s).

(2)Δt=3.01-3=0.01(s),

Δs=s(3.01)-s(3)=·g·3.012-·g·32

=0.300 5(m),

则==

=30.05(m/s).

(3)由瞬时速度的定义,可知

Δs=s(3+Δt)-s(3)=g(3+Δt)2-g·32

=3gΔt+g(Δt)2,=3g+g·Δt,

则v瞬时==3g=30(m/s).

(15分钟·30分)

1.(5分)(2020·开封高二检测)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为 ( )

A.2

B.4

C.2c

D.4c

【解析】选B.根据题意,f(x)=x2+2c,

则有==4.

2.(5分)已知曲线y=-x2-2上一点P,则点P处的切线的倾斜角为 ( )

A.30°

B.45°

C.135°

D.165°

【解析】选C.因为点P在曲线y=f(x)=-x2-2上,则点P处的切线斜率为

k=

===-1.

所以点P处的切线的倾斜角为135°.

3.(5分)已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=________时的速度为7.

【解析】令s=f(t),由题意知

=

=(12t+6Δt-5)=12t-5=7,

所以t=1.

答案:1

4.(5分)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线斜率的取值范围是[0,1],则点P横坐标的取值范围为__________.

【解析】设点P(x0,y0),则

=

=

=(2x 0+2+Δx)=2x0+2.

又切线斜率的取值范围为[0,1],

所以0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.

答案:

5.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.

【解析】==2x+Δx,

则=(2x+Δx)=2x,

设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=2x0,由点斜式可得,所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,

所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,所以Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是{a|a<2}.

1.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,则a的值为________.

【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),

因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δx)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,

所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.

=3+2ax0-9=3--9,

当x0=-时,取最小值--9,

因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,

所以该切线斜率为-12.所以--9=-12,

解得a=±3.又a<0,所以a=-3.

答案:-3

2.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,其运动方程为s=at2.如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为t0=1.6×10-3 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.

【解析】因为Δs=a(t0+Δt)2-a

=at0Δt+a(Δt)2,

所以=at0+aΔt,所以瞬时速度v==at0.

由题意知a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,

故v=at0=8×102=800(m/s).

即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

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2022年高中数学选择性必修第二册第五章 变化率问题和导数的概念

2022年高中数学选择性必修第二册 §5.1 导数的概念及其意义 第1课时 变化率问题和导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近 于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt . 知识点二 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 知识点三 函数在某点处的导数 如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝ x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )

新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册

课时跟踪检测(十一) 变化率问题 1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2 ,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4 D ．－2d －4 解析：选D 平均速度为5－21＋d 2 －5＋2×1 2 1＋d －1 ＝－4－2d .故选D. 2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( ) A.2 5 kg/m B ．3 5 kg/m C.3 4 kg/m D ．1 2 kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4 9－4 ＝ 39－49－4 ＝3 5 (kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2 ,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( ) A ．－1 m/s B ．1 m/s C ．2 m/s D ．6 m/s 解析：选A ∵Δs Δt ＝ 5t ＋Δt －t ＋Δt 2 －5t －t 2 Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体 在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2 在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1 解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx 2 －a Δx ＝2a . 又∵切线的斜率为2,∴a ＝1. 5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13 t 3 ,则该物体在时间间隔 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1，32内的平均加速度为________．

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.1变化率问题 要点一 平均速度与瞬时速度 1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1 . 2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt 的极限，记为 lim Δt → h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度． 【重点小结】 在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前． 当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率 抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) Δx . 【重点小结】 当Δx 无限趋近于0时， k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx 的极限，记为 lim Δx → f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( ) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( ) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( ) (4)一物体的运动方程是S ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( ) 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A 【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3 ＝1.890.3＝6.3，故选A. 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81

数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析

十二变化率问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( ) A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s) C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s) 【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s). 2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.Δs=2+Δt+-2- =Δt-,=1-, 所以t=2时的瞬时速度为 ==. 3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

【解析】选C.= =3+3Δx+(Δx)2, 则曲线在点P(1,12)处的切线斜率 k=[3+3Δx+(Δx)2]=3, 故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( ) A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26 【解析】选D.设P(x0,y0),= = =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0. 所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1, 因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(导学案)

5.1.1变化率问题 导学案 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx

3．曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0 x－x0＝ f x0＋Δx－f x0 Δx为割线P0P的_____． (2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y ＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝. 斜率；切线；lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx；lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成 k＝lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx． 2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为() A．f (x0＋Δx)B．f (x0)＋Δx C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0) 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是() A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 一、学习导引 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 《5.1.1变化率问题》教学设计 第2课时 ◆教学目标 1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法 教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． （1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题． （2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：什么叫直线与圆相切？ 师生活动：学生回顾并回答． 预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．

【探究新知】 知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究． 问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解． 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近 任取一点2()P x x ， ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况. 如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率 抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2 (1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1 Δ21(1Δ)1 f x f x k x x x -+-===+-+-. 我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格. 0x ∆< 0x ∆> x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01- 1.99 0.01 2.01 0.001- 1.999 0.001 2.001 0.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001- 1.999999 0.000001 2.000001 …… …… 当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.

新教材同步辅导2023年高中数学课时评价作业十二变化率问题及导数的概念新人教A版选择性必修第二册

课时评价作业（十二）变化率问题及导数的概念 A级基础巩固 1.已知一质点的位移s与时间t之间的关系为s(t)=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是() A.-3 B.3 C.6 D.-6 解析:由平均速度和瞬时速度的关系, 可知v=s'(1)=lim Δt→0 (-3Δt-6)=-6. 答案:D 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则Δy Δx =() A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 解析:因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2, 所以Δy Δx =4Δx+2(Δx) 2 Δx =4+2Δx. 答案:C 3.设函数f(x)在点x0附近可导,若有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则() A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 解析:因为f'(x0)=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 aΔx+b(Δx)2 Δx =lim Δx→0 (a+bΔx)=a,所以选C. 答案:C 4.若f'(x0)=1,则lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 . 解析:lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 lim k→0 f(x0-k)-f(x0) -k =-1 2 f'(x0)=-1 2 . B级能力提升 5.设函数y=f(x)在x=x0处可导,若lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =1,则f'(x0)=() A.1 B.-1 C.-1 3D.1 3 解析:因为lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 [f(x0−3Δx)−f(x0) −3Δx ×(−3)]=-3f'(x0)=1,所以 f'(x0)=-1 3 . 答案:C 6.某辆汽车的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.若在时间段 [t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系是v3>v2>v1.

新教材人教A版选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 作业

课时作业(十二) 变化率问题 [练基础] 1．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为 ( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt 2．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (单位： m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木 块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14 3．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ， 则li m Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度 4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，直线AB 的斜率是________． 5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则该物体在t ＝________时的瞬时速度为1. 6．求抛物线y ＝x 2＋2x ＋3在点(1,6)处的切线方程． [提能力] 7．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说

法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m B ．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m C ．前3 s 内球的平均速度为8 m/s D ．在时间[2,3]内球的平均速度为12 m/s 8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0 m/s 的时刻是________s. 9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. (1)求它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． [战疑难] 10．若一物体运动方程如下： s ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3， 其中位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

高中数学5-1-1变化率问题课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第五章 5.1 5.1.1 A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2 ＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于( ) A ．4Δt ＋(Δt )2 B ．4＋Δt ＋2 Δt C ．2Δt ＋(Δt )2 D ．2＋Δt 【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2 ＋1－(22 ＋1)＝4Δt ＋(Δ t )2. 2．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 【答案】A 3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12 gt 2，g ＝9.8m/s 2 ，若 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5m/s ，则24.5m/s 是该物体( ) A ．从0s 到1s 这段时间的平均速度 B ．从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度 C ．在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度 D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5 m/s ，可知有物体从t ＝1 s 到(1 ＋Δt )s 这段时间的平均速度为24.5 m/s. 4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s (米)与时间t (秒)的关系为s (t )＝5t ＋2t 2 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为( ) A ．18米/秒 B ．13米/秒 C ．9米/秒 D ．13 2 米/秒 【答案】C 【解析】∵s (t )＝5t ＋2t 2 ，该物体在运行前2秒的平均速度为s (2)－s (0) 2 ＝18 2 ＝9(米/秒)．

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题-练习

第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 课后篇巩固提升 基础达标练 1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为() A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 (3)=12,S(3.3)=13.89, ∴平均速度v=S(3.3)-S(3) 3.3-3=1.89 0.3 =6.3,故应选A. 2.(2018全国高二单元测试)lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示() A.曲线y=x2切线的斜率 B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 C.曲线y=-x2切线的斜率 D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率 lim →0(1+Δx)2-1 Δx =lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx , 可知lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.

3.(2020海南中学高二期末)两个学校W 1、W 2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W 1(t )、W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有 ( ) A .W 1比W 2节能效果好 B .W 1的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大 C .两学校节能效果一样好 D .W 1与W 2自节能以来用电量总是一样大 ,对任意的t 1∈(0,t 0),曲线W=W 1(t )在t=t 1处的切线比曲线W=W 2(t )在t=t 1处的切线要“陡”,所以,W 1比W 2节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知, W 1(t 0)-W 1(0) t 0 < W 2(t 0)-W 2(0) t 0 ,则W 1的用电 量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线W=W 1(t )和曲线W=W 2(t )不重合,D 选项错误.故选A . 4.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=1 2gt 2,当Δt 无限趋于0时,s (1+Δt )-s (1) Δt 无限趋于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( ) A .9.8 m/s 是在0~1 s 这一段时间内的平均速度 B .9.8 m/s 是在1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度 D .9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 Δt 趋于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1) Δt 趋于该时刻的瞬时速度.选ABD.

高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1 变化率问题同步练习及解析答案

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化 率问题 一、选择题 1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0) h 的结果( ) A ．与x 0，h 均无关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 均有关 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－ 3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/s D ．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/s B ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反 C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/s D ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s

5.1.1 变化率问题(同步检测)(附答案)—高二下学期数学选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（同步检测） 一、选择题 1.函数y ＝x 2从x 0到x 0＋Δx(Δx ＞0)的平均变化率为k 1，从x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( ) A.k 1＞k 2 B.k 1＜k 2 C.k 1＝k 2 D.k 1与k 2的大小关系不确定 2.已知函数 f(x)＝ax 2＋b 的图象开口向下，lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a ) Δx ＝4，则a ＝( ) A.2 B.－ 2 C.2 D.－2 3.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝1 3t 3＋1，设其在时间段[1,2]内的 平均速度为v 1 m/s ，在t ＝2时的瞬时速度为v 2 m/s ，则v 1 v 2＝( ) A.13 B.712 C.56 D.23 4.如图，函数y ＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为( ) A.12 B.－1 2 C.2 D.－2 5.质点的运动规律为s ＝t 2＋3(t 表示时间，s 表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9Δt C.3＋Δt D.9＋Δt 6.函数f(x)＝x 在区间[0,1]上的平均变化率为( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 7.若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 8.已知函数f(x)＝x 2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

2020-2021学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册第五章一元函数导数及其应用

5．1.1 变化率问题 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．教学重点：瞬时速度的求法． 教学难点：求瞬时速度的极限方法. 对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)Δt是时间的改变量，Δt趋近于0是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负，但不能为0.( ) (2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量．( ) (3)高台跳水运动员的平均速度可正可负．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若h＝－3t2＋2，当t由2变为1时，h的变化量为________. (2)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s ＝5t2，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. (3)抛物线y＝x2在x＝2处的切线斜率为________. (4)在高台跳水运动中，t s时相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________.

题型一 求平均速度与瞬时速度 例1 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求t ＝0到t ＝2时的平均速度； (2)求此物体的初速度； (3)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． [跟踪训练1] 若一物体的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系 为s ＝f (t )＝⎩⎨⎧ 3t 2 ＋2，t ≥3， 29＋3t －32 ，0≤t ＜3， 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 题型二 求抛物线在某一点处切线的斜率 例2 已知函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧ x 2 ＋x ，0≤x <2， 2x －12 ，x ≥2.求抛物线在x ＝1和 x ＝4 处的切线斜率． [跟踪训练2] 求抛物线y ＝－x 2＋3x 在x ＝2处的切线斜率． 1．已知抛物线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的 一点，则点Q 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1＋Δx ， 14Δx 2 B ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ Δx ， 14Δx 2 C ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1＋Δx ， 141＋Δx 2 D ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫Δx ， 141＋Δx 2 2．一质点做直线运动，其位移s 与时间t 之间的关系为s ＝3－2t 2，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )

新人教A版高二选择性必修二5-1-1变化率问题

新人教A版高二5.1.1 变化率问题 学校:______姓名:______班级:______考号:______ 一、单选题(共8小题) 1.若质点P的运动规律为s=2t2＋5，则在时间段(3,3＋Δt)内，质点P的平均速度等于( ) C.12＋2Δt D.12 A.6＋Δt B.12＋Δt＋9 Δt 2.做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s=3t−t2，则它的初速度是( ) A.0 B.3 C.−2 D.3−2t 3.若函数f(x)=x2−1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.4 4.函数f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率是( ) A.1 B.−1 C.2 D.−2 5.给半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增量ΔV等于( ) πR2ΔR A.4 3 π(ΔR)3 B.4πR2ΔR+4πR(ΔR)2+4 3 C.4πR2 D.4πRΔR 6.若质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的瞬时速度为( ) A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t02

7.某物体做直线运动，其运动规律是s =t 2+3 t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( ) A.123 16米／秒 B.125 16米／秒 C.8米／秒 D.67 4米／秒 8.函数f(x)=x 2从x 0到x 0+Δx 的平均变化率为k 1，从x 0−Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1,k 2的大小关系是( ) A.k 1k 2 C.k 1=k 2 D.无法确定 二、填空题(共5小题) 9.某物体的运动方程是s =t 2−4t +5，若此物体在t =t 0时的瞬时速度为0，则t 0= . 10.已知某质点的运动规律为s =3t 2+2t +1，则该质点从t =2到t = 2＋Δt 的平均速度是 . 11.某汽车启动阶段的路程s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数关系式为s =2t 3−5t 2，则t =2s 时，汽车的瞬时速度是 . 12.过曲线y =x 2+1上两点P(1，2)和Q(1+Δx ，2+Δy)作曲线的割线，当 Δx =0.1时，割线的斜率k = ，当Δx =0.001时，割线的斜率k = . 13.做直线运动的质点M 的运动方程为s =4t 2+1(位移单位：cm ，时间单位：s)，则质点M 在t =2 s 时的瞬时速度是 cm/s . 三、解答题(共3小题) 14.在自行车比赛中，运动员的位移s 与比赛时间t 的函数关系式是 s(t)=10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s) . (1)求当t =20 s,Δt =0.1 s 时,∆s 与Δs Δt 的值； (2)求t =20 s 时的瞬时速度.

精品数学 选择性必修二练习题5.1.1变化率问题 -A基础练(学生版)

5.1.1变化率问题 -A 基础练 一、选择题 1．（2021·全国高二课时练习）一质点的运动方程是253s t =-，则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- 2．（2021·邵武市四中高二期中）函数2()21f x x =-在区间(2,2)x +∆上的平均变化率y x ∆∆等于（ ） A ．84x +∆ B ．82x +∆ C ．242()x +∆ D ．8 3．（2020·全国高二课时练）甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ） A ．甲厂 B ．乙厂 C ．两厂一样 D ．不确定 4．（2020·安徽蚌埠二中高二月考）已知函数()2 24f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点 ()1,2x y +∆-+∆，则 y x ∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．()2 42x +∆ 5．（2020·安徽省肥东县第二中学高二期中）若函数()2 f x x c =-在区间[] 1 m ，上的平均变化率为4，则m 等于（ ） A B ．3 C ．5 D ．16 6．（多选题）（2020·青海师范大学附属第二中学高二月考）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.

现有下列四种说法正确的有（ ） A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变. 二、填空题 7．（2020·扶风县法门高中高二月考）函数y ＝x+ 1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率 y x ∆=∆_____. 8．（2020·河南洛阳市高二期中）函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是_____. 9．（2021·全国高二专题练）一质点M 按运动方程2 ()1s t at +=做直线运动（位移单位：m ，时间单 位：s ）．若质点M 在 2 s t =时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a 的值为________________． 10．（2020·全国高专二题练）已知函数sin y x =在区间π [0,]6， ππ[,]32 上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______. 三、解答题 11．（2021·全国高二课时练习）航天飞机升空后一段时间内，第 s t 时的高度为 32()530454h t t t t =+++，其中h 的单位为m ，t 的单位为s. （1）(0),(1),(2)h h h 分别表示什么？ （2）求第2s 内的平均速度； （3）求第2s 末的瞬时速度. 12．（2021·全国高二课时练习）已知函数2 ()f x x x =-+图象上两点(2,(2))A f 、 (2,(2))(0)B x f x x +∆+∆∆>. （1）若割线AB 的斜率不大于1-，求x ∆的范围； （2）求函数2 ()f x x x =-+的图象在点(2,(2))A f 处切线的斜率.

人教版高中数学选择性必修第二册 变化率问题 同步作业(含解析)

人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题同步作业（原卷版） 1．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s(t)＝2t 2＋2，则在一小段时间[2，2＋Δt]上的平均速度为( ) A ．8＋2Δt B ．4＋2Δt C ．7＋2Δt D ．－8＋2Δt 2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝1 8t 2， 则t ＝2秒时，此木块在水平方向的瞬时速度为( ) A.14 B.12 C ．1 D ．2 3．某质点沿直线运动的方程为y ＝－2t 2＋1，则该质点从t ＝1到t ＝2这段时间内的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 4．已知函数f(x)＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( ) A ．2 B ．2.3 C ．2.09 D ．2.1 5．抛物线f(x)＝x 2＋x ，则y ＝f(x)在点(1，2)处切线的斜率为( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．4 6．如果某物体做运动方程为s ＝2(1－t 2)的直线运动(s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A ．－4.8 m/s B ．－0.88 m/s C ．0.88 m/s D ．4.8 m/s 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1，1＋Δt]上相应的平均速度v － 与Δt 满足的关系式为________． 8.甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s ＝s 1(t)，s ＝s 2(t)，图象如图所示，则在时间段[0，t 0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)． 9．某物体运动规律是S ＝t 2－4t ＋5，问什么时候此物体的瞬时速度为0. 10．某质点的运动方程满足s ＝3＋2t 2，求该质点在时间段[2，3]上的平均速度． 11．设f(x)＝x 2，求此抛物线在(x 0，y 0)，(－1，1)，(2，4)处切线的斜率．

高中数学人教A版(新)选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用教学设计-变化率问题

5.1.1 变化率问题 一、教学目标 1. 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程； 2. 体会曲线割线与切线的斜率； 二、教学重难点 1. 教学重点 平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法. 2. 教学难点 平均速度与瞬时速度、曲线割线与切线斜率的概念以及两者之间的关系. 三、教学过程 （一）新课导入 问题：在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ （二）探索新知 运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态. 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0) 2.35(m/s)0.50 h h v -==-； 在12t ≤≤这段时间里，(2)(1) 9.9(m/s)21 h h v -= =--. 一般地，在21t t t ≤≤这段时间里，211221 ()() 4.9( 4.8)h t h t v t t t t -==-++-. 思考：计算运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ （学生思考，举手回答，教师讲解） 我们发现，运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度