变化率问题教案

变化率问题教案

教案标题：变化率问题教案

教案概述：

本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。

教学目标：

1. 理解变化率的概念和意义；

2. 能够计算和解释变化率；

3. 能够应用变化率解决实际问题。

教学准备：

1. 教师准备：

- 准备一些实际生活中的变化率问题的例子；

- 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源；

- 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。

2. 学生准备：

- 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。

教学过程：

引入（5分钟）：

1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？

2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。

讲解变化率概念（10分钟）：

1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。

2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。

3. 强调变化率的单位和意义。

计算和解释变化率（15分钟）：

1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。

2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。

应用变化率（15分钟）：

1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。

2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。

3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。

练习和巩固（10分钟）：

1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。

2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。

总结（5分钟）：

1. 总结本节课所学的内容和重点。

2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。

拓展活动：

1. 鼓励学生应用变化率的概念和计算方法解决更复杂的变化率问题。

2. 提供更多实际生活中的变化率问题供学生练习。

教学评估：

1. 观察学生在课堂上的参与度和理解程度；

2. 检查学生在练习题中的表现；

3. 对学生的解答进行评估，检查他们是否能正确计算和解释变化率。教学延伸：

1. 引导学生进一步探索变化率的应用领域，例如经济学、物理学等；

2. 鼓励学生自主学习和研究变化率相关的更高级概念和方法。

教学反思：

1. 教师应根据学生的理解程度和学习进展，调整教学方法和节奏；

2. 教师应及时给予学生反馈，鼓励他们的学习兴趣和积极性；

3. 教师应根据学生的学习情况对教案进行调整和改进。

变化率问题教案

变化率问题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课 题 变化率问题 【导学过程】 课内探究学案 一、学习目标 知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在 指定区间上的平均变化率。 二、学习过程 学习探究 探究任务一： 问题1 课本气温图曲线 新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为 y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x ??，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 【达标检测】 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

变化率问题教案

变化率问题教案 教案标题：变化率问题教案 教案概述： 本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。 教学目标： 1. 理解变化率的概念和意义； 2. 能够计算和解释变化率； 3. 能够应用变化率解决实际问题。 教学准备： 1. 教师准备： - 准备一些实际生活中的变化率问题的例子； - 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源； - 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。 2. 学生准备： - 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。 教学过程： 引入（5分钟）： 1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？

2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。 讲解变化率概念（10分钟）： 1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。 2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。 3. 强调变化率的单位和意义。 计算和解释变化率（15分钟）： 1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。 2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。 应用变化率（15分钟）： 1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。 2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。 3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。 练习和巩固（10分钟）： 1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。 2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。 总结（5分钟）： 1. 总结本节课所学的内容和重点。 2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。 拓展活动：

变化率问题教案

三：新课引入一、导入新课： 为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数 学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微 积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 理解微积分的 背景 多媒体展示四 类问题，激发 学生的好奇心 四：新课讲授（一）新知识导学引例 生活中变化快慢的量 （1）两分公司半年销售额折线图 （2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化 观看引例中的 这些图，自由发 表自己的看法 多媒体展示 引导学生观察 变化量 （二）：新知识讲解与分析（一）问题提出 实例一：气温变化温度 气温变化的快慢不同 问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？ 实例二：气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数 关系是 假设将半径r表示为体积V的函数，那么 3 3 () 4 V r V π = 问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率 是多少？ 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是 多少? 实例三：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗 观看四个实例， 相互交流讨论， 思考PPT展示的 问题。 交流讨论之后 自己动手操作， 计算并化简思 考题的问题。 展示实例，首 先让学生观 看，然后引导 学生总结，最 后提问并点评 学生的回答。 要充分的调动 学生的积极 性，让更多的 学生参与到课 堂当中。 3 4 () 3 V r r π =

略地描绘其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？ 假定山路是 平直的. （二）平均变化率概念： 平均变化率为 = ∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 通过实例，尝试 的总结平均变 化率的概念，举 手回答。 通过思考，尝试着完成例题。 进一步的分析实例，引导学生总结平均变化率的问题，并点评学生的回答，最后展示并板书平均变化率的概念。 展例如题，引导学生分析例题，最后和学生一起完成。 （三）： 新知识思维的提升与规律总结

变化率问题教案

第三章 导数及其应用 3.1.1变化率问题 教师：何永江 三维目标： 知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学过程设计： 一．创设情境 产生的背景及其作用 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授 （1）问题提出： 【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。 问题一 气温平均变化率 【学生探索】 问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？” 问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。） 问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？ 问题5：若函数关系为y=f (x) , 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？ 【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1 212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。 习惯上用1212x x x x x x -=?-?，即表示, )()(12x f x f f -=?

变化率问题 精品教案

变化率问题 （第一课时） 一、教学目标： 1．了解曲线的切线的概念． 2．在了解瞬时速度的基础上，抽象出变化率的概念． 3．掌握切线的斜率、瞬时速度，它们都是一种特殊的极限，为学习导数的定义奠定基础． 二、教学重点：切线的概念和瞬时速度的概念． 教学难点：在了解曲线的切线和瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念． 三、教学用具：多媒体 四、教学过程： 1．曲线的切线 如图，设曲线C 是函数)(x f y =的图像，点),(00y x P 是曲线C 上一点，点),(00y y x x Q ∆+∆+是曲线C 上与点P 邻近的任一点．作割线PQ ，当点Q 沿着曲线C 无限地趋近于点P ，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT ．我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线． 问：怎样确定曲线C 在点P 处的切线呢？因为P 是给定的，根据解析几何中直线的点斜式方程的知识，只要求出切线的斜率就够了．设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PT 的斜率αtan ，即.)()(lim lim tan 0000x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆α 例题 求曲线12+=x y 在点P （1，2）处的切线的斜率k ． 解：x x x f x f x f x x f y ∆+∆=+-+∆+=-∆+=-∆+=∆2)11(1)1()1()1()()(2200 222+∆=∆∆+∆=∆∆x x x x x y ∴2)2(lim lim 0 0=+∆=∆∆=→∆→∆x x y k x x ，即2=k ． 2．瞬时速度

5.1.1变化率问题教学设计

5.1.1变化率问题教学设计 【教学内容】 平均速度的极限，瞬时速度 【教学目标】 1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想. 2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系. 【教学重难点】 重点：瞬时速度和微分思想. 难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想. 【教学过程设计】 视频展示微积分产生的背景 引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。 一.创设情境提出问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度 ，与起跳后的时间存在函数关系：2 =-++. () 4.9 2.811 h t t t 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。 在00.2t ≤≤这段时间里： (1.5)(1) 1.51 h h v -= -9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1) 11 h m h h m h v m m +-+-= = +- 追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121 ()()h t h t v t t -= -124.9() 2.8. t t =-++ 设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。 二.联想激活 寻求方法 计算运动员在407 t ≤≤这段时间里的平均速度.4()(0)70/407 h h v m s -==- 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度概念：我们把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

变化率问题2教案

变化率问题2教案 教案标题：变化率问题2教案 教案目标： 1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。 2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。 3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。 教学重点： 1. 变化率的概念和计算方法。 2. 变化率在实际问题中的应用。 3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。 教学准备： 1. 教学投影仪和电脑。 2. 学生练习纸和铅笔。 3. 实际问题的案例和练习题。 教学过程： 引入： 1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。请问他的平均速度是多少？ 2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。 讲解： 1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。 2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。

3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。 实践： 1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。 2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。 拓展： 1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。 2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。 总结： 1. 回顾变化率的概念和计算方法。 2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。 3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。 扩展活动： 1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。 2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。 评估： 1. 观察学生在课堂上对变化率概念和计算方法的理解和应用情况。 2. 收集学生完成的练习纸和扩展活动的结果，评估他们对变化率的掌握程度。

变化率问题精品教案

3.1.1 变化率问题 学习目标 1.理解平均变化率的概念.2.了解平均变化率的几何意义.3.会求函数在某点处附近的平均变化率. 知识点一 函数的平均变化率 观察图形，回答下列问题： 思考1 函数f (x )在区间[x 1，x 2]上平均变化率的大小与曲线在区间上的陡峭程度有何关系？ 答案 (1)y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 思考2 平均变化率的几何意义、物理意义分别是什么？ 答案 (1)平均变化率的几何意义就是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))所在直线的斜率. (2)平均变化率的物理意义是把位移s 看成时间t 的函数s ＝s (t )，在时间段[t 1，t 2]上的平均速度，即v ＝s (t 2)－s (t 1)t 2－t 1 . 思考3 怎样理解自变量的增量、函数值的增量？ 答案 (1)自变量的增量：用Δx 表示，即Δx ＝x 2－x 1，表示自变量相对于x 1的“增加量”. (2)函数值的增量：用Δy 表示，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，也表示为f (x 1＋Δx )－f (x 1)，表示函数值在x 1的“增加量”. (3)增量并不一定都是正值，也可以是负值，函数值的增量还可以是0，比如常数函数，其函数值的增量就是0. 知识点二 函数y ＝f (x )从x 2到x 1的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的增量与自变量增量之比.

变化率问题教案

变化率问题教案 教案: 变化率问题 I. 引言 A. 引入变化率的概念 B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑 C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题 II. 学习目标与能力要求 A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题 B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念 III. 预习活动 A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解 B. 学生为预习问题解决方案做准备 IV. 暖身活动 A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识 B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程 V. 教学过程 A. 引导学生理解变化率

1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义 2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义 3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法 B. 应用变化率解决实际问题 1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决 2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解 3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力 C. 深入理解变化率 1. 引导学生思考变化率的特性和性质 2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决 3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案 VI. 巩固练习 A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展 B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案 C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论 D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导 VII. 总结与反思

A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用 B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得 C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣 VIII. 作业布置 A. 提供一些练习题作为课后作业 B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应 用 IX. 扩展学习 A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例 B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域 X. 复习与检测 A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用 B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导 本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。通过引 导学生理解变化率的定义并掌握计算方法，应用变化率解决实际问题，以及深入讨论变化率的特性和性质，提高学生的数学思维和问题解决 能力。通过巩固练习、总结与反思，并布置作业，促进学生对变化率 概念的掌握和扩展学习。最后，教案提供了复习与检测的建议，帮助 教师评估学生的学习情况并进行个别指导。

变化率与导数教学设计(共7篇)

变化率与导数教学设计（共7篇） 第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具 多媒体 4. 标签 变化率与导数 教学过程 课堂小结 课后习题 第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 （1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念 （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程

一、创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【板演/PPT】 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 【设计意图】自然进入课题内容。 二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【板演/PPT】【活动】【分析】 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水 【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算） 【板演/PPT】【生】学生举手回答 【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案 教案：函数的平均变化率 一、教学目标 1.了解函数的平均变化率的概念和意义。 2.掌握计算函数在给定区间内的平均变化率的方法。 3.掌握函数的平均变化率在实际问题中的应用。 二、教学准备 1.准备一些能够让学生实际体验函数的平均变化率的例子。 2.准备一些函数图像，以帮助学生理解平均变化率的概念。 3.检查计算函数平均变化率的方法和公式。 三、教学过程 第一部分：引入概念 1.导入问题：首先，向学生提出以下问题：如果我们关注一些物体的运动，我们如何描述它的平均速度？请学生回答。引导学生思考速度的概念：速度是距离关于时间的变化率，即速度等于位移与时间的比值。 3.定义平均变化率：引导学生思考平均变化率的定义：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数在这个区间的平均变化率为： 平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a) 解释上述定义的含义。引导学生通过举例来解释平均变化率的意义和计算方法。

第二部分：计算平均变化率 1.案例讲解：通过一个实际问题来计算平均变化率。例如，一辆汽车 在段时间内的行驶距离。假设汽车在0到5秒之间的行驶距离由函数 f(t)=2t^2表示。按照平均变化率的定义，可以计算出从0到5秒的平均 变化率为： 平均变化率=(f(5)-f(0))/(5-0) 2.练习训练：让学生计算以下函数在给定区间内的平均变化率： a)f(x)=3x-1,在区间[1,5]上的平均变化率。 b)g(t)=t^2+2,在区间[-2,3]上的平均变化率。 第三部分：平均变化率的应用 1.实际问题应用：给学生提供一些实际问题的例子，并要求他们计算 相应的平均变化率。例如：一个婴儿的身高和年龄的关系由函数 h(t)=0.05t^2+0.5t表示（其中t表示年龄，单位为岁，h(t)表示身高， 单位为米）。学生需要计算出从1到5岁之间身高的平均变化率。 2.探究问题：让学生思考平均变化率的物理和经济含义，并展示一些 相关问题的实际应用。例如，学生可以考虑一张成绩单上各门功课的平均 变化率，或者市场上其中一种商品的价格随时间的变化率。 四、课堂小结 1.总结回顾：通过与学生的交流，对本节课的重点内容进行总结回顾。再次强调平均变化率的定义和计算方法。

函数的平均变化率教案

函数的平均变化率教案 引入问题： 在学习函数的过程中，我们经常会遇到一个重要的概念，函数的平均变化率。那么，什么是函数的平均变化率呢？它又有什么重要意义呢？本节课我们将围绕这一主题展开讨论和学习。 一、基本概念 为了理解函数的平均变化率，我们首先需要了解函数的概念。函数可以简单地理解为一种特殊的关系，它将一个集合中的每一个元素，都对应到另一个集合中的一个元素。用数学符号表示，函数可以写成f(x)=y或y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。 平均变化率=(函数值在b处的值-函数值在a处的值)/(b-a) 二、计算方法 在计算函数的平均变化率时，我们可以按照以下步骤进行： 1.首先，我们需要找到区间[a,b]内的两个点：点A和点B。点A的坐标为(a,f(a))，点B的坐标为(b,f(b))。 2.接下来，我们需要根据公式计算函数在这个区间内的平均变化率。公式为： 平均变化率=(f(b)-f(a))/(b-a) 3.最后，我们将计算出的值进行整理和分析，可以得出函数在这个区间内的平均变化率是多少，以及这个平均变化率的意义和特点。 三、应用举例

理解平均变化率的概念后，我们可以通过一些具体的例子来加深对其应用的理解。 例子1：假设一辆汽车在一段时间内的速度变化如下所示： 时间（小时）：012345 速度（km/h）：0 20 40 60 80 100 我们可以选择一个区间[2,5]，然后计算这个区间内的平均速度变化率。按照前面的计算方法，我们可以得到： 平均速度变化率 = (80 - 40) / (5 - 2) = 40 / 3 ≈ 13.33 km/h 这个平均速度变化率的值告诉我们，这辆汽车在这个区间内平均每小时的速度增加了13.33公里。 例子2：假设一条直线的方程为y=2x+1、我们可以选择一个区间[1,3]，然后计算这个区间内的平均斜率变化率。按照前面的计算方法，我们可以得到： 平均斜率变化率=(2*3+1-2*1-1)/(3-1)=(7-2)/2=5/2=2.5 这个平均斜率变化率的值告诉我们，这条直线在区间[1,3]内的平均斜率变化率为2.5 四、总结和思考 通过本节课的学习，我们对函数的平均变化率有了初步的了解。函数的平均变化率对我们研究函数的性质、分析函数的变化趋势等具有很重要的意义。希望同学们能够掌握计算函数的平均变化率的方法，并能够应用到实际问题中。

变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多． （5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？

高三数学1.1.1变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ⏹ 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ⏹ 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?

5.1.1变化率问题(教学设计)-

5.1.1变化率问题 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题 本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 课程目标学科素养 A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率 2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系 3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率 4.数学建模：函数的变化率 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 多媒体

来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。 例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0 =2.35(m/s) 在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅= ℎ(2)−ℎ(1)2−1 =−9.9(m/s) 一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里， v̅= ℎ(t 2)−ℎ(t 1) t 2−t 1 =−4.9(t 1+t 2)+4.8 探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤48 49这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？ 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ .

5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1.1变化率问题教学设计 一、课时教学内容 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 二、课时教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 三、教学重点、难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 四、教学过程设计 环节一创设情境，引入课题 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；

二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分． 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导 数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 5.1导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 5.1.1变化率问题 问题1高台跳水运动员的速度 探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系 2() 4.9 4.811h t t t =-++． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里， (0.5)(0) 2.35(m /s)0.50 h h v -= =-； 在12t ≤≤这段时间里， (2)(1) 9.9(m /s)21 h h v -= =--

3.1.1变化率问题,教案

3.1.1变化率问题,教案 篇一：3.1.1变化率问题教案 3.1变化率与导数 3.1.1变化率问题 一、【创设情境】 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数, 随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出

问题1气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3 分析:r(V)?43?r33V4?3V4? (1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm) r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0 (2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm) r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 问题2高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段 内的平均速v度粗略地描述其运动状态? 思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v 在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0) ?4.05(m/s)0.5?0 在1?t?2这段时间里,v?