高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.1变化率问题

要点一 平均速度与瞬时速度

1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1

.

2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt

的极限，记为

lim Δt →

h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．

【重点小结】

在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．

当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率

抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0

f (1＋Δx )－f (1)

Δx

.

【重点小结】

当Δx 无限趋近于0时，

k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx

的极限，记为

lim Δx →

f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )

(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )

(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )

(4)一物体的运动方程是S ＝1

2

at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )

【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A

【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3

＝1.890.3＝6.3，故选A.

3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81

【答案】B

【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32

Δt ＝18＋3Δt ，

s ′＝li m Δt →0

Δs

Δt ＝li m Δt →

(18＋3Δt )＝18，故选B.

4．抛物线f (x )＝x 2

在点(－1,1)处切线的斜率为________．

【答案】－2

【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)

(－1＋Δx )－(－1)

＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1

(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0

(Δx －2)＝－2.

题型一 求平均速度

【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量

Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)

＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .

物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4Δt

Δt

＝4＋Δt .

【方法归纳】

求平均速度的一般步骤

(1)作差，计算Δs ；

(2)作商：计算Δs

Δt

.

【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s

【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－0

2＝1 (m/s)．

题型二 求瞬时速度

【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．

【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0

Δs

Δt ＝li m Δt →

(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0

Δs

Δt

【方法归纳】

(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤

①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．

②求平均速度v ＝Δs

Δt

.

③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．

(2)求

Δy

Δx

(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．

②求出Δy

Δx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．

【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．

【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，

Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt

＝3－Δt ， li m Δt →0

＝Δs

Δt ＝li m Δt →

(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.

(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2

Δt

＝－1－Δt ， li m Δt →0

Δs

Δt ＝li m Δt →

(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程

【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx

＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

(2Δx ＋16)＝16.

∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)

即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】

求在某点处的切线方程

(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

.

(3)取极限：k ＝lim Δx →0

Δy Δx

. (4)由点斜式写出切线方程．

【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴Δy

Δx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →

(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.

一、单选题

1．函数()2f x x =，()2

g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）

A ．12m m =

B ．12m m >

C ．21m m >

D ．1m ，2m 的大小无法确定

【答案】A 【分析】

根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】

12220220m ⨯-⨯==-，22

220220

m -==-，故12m m =.

故选：A.

2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】

巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以0100

0.185m/s 960

v -=

≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以2

200001000

0606010.288m/s 960

a ⨯-⨯=

≈-⨯. 故选：D.

3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1

C ．0.3

D ．3

【答案】B 【分析】

由平均速度的定义求解即可 【解析】

2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，

故选：B

4．函数()2

21y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率

y

x

∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆

C ．()2

42x +∆

D ．4x

【答案】B 【分析】

由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】

因函数()2

21y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：

()()()()()22

112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有

42y

x x

∆=+∆∆， 所以所求平均变化率y

x

∆∆等于42x +∆. 故选：B

5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆

B ．()0f x x +∆

C ．()0f x x ⋅∆

D ．()()00f x x f x +∆-

【答案】D 【分析】

根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】

由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.

6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-

【答案】D 【分析】

根据定义求解即可. 【解析】

解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x

--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-

【答案】D 【分析】

由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】

解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，

()()

1112f f x x

--∆→-∆，

所以()()

()()

11(1)lim

l 11222im

x x f f x f f x x

x

f ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，

所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()1

2f x x

=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．1

2

C ．14

D ．18

-

【答案】D 【分析】

利用导数的定义即可求出结果. 【解析】

()()()()000011

222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-

∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭

，所以函数()f x 在2x =处的导数为1

8

-.

故选：D.

二、多选题

9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3

m ）

与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()3

11010V t H t ⎛

⎫ ⎪⎝

⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，

3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）

A ．1v v <

B ．2v v >

C ．30v v +>

D ．40v v +<

【答案】AD 【分析】

平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】

平均融化速度为()()

10001000

V V v -=

-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2

t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.

故选：AD

10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．

()()00f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】

由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】

A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；

B 中，

()()00f x x f x y x x

+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD

11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()2

1s t t t =++表示，则（ ）

A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/s

B ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s

C ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时

D ．物体从0到1的平均速度为2m/s

【答案】BC 【分析】

由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】

对于A ：()()()()()()2

200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t

∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，

即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．

对于B ：()()()()()2

000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，

又()()

()000000lim

lim 21219t t s t t s t t t t t

∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，

所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()

()103m /s 10

s s v -==-，D 错误．

故选：BC

第II 卷（非选择题）

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三、填空题

12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()321

8243

f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.

【答案】0 【分析】

根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】

由题意可知温度的瞬间变化率为()()()

()()32322

0111lim

lim

88233x x f x x f x f x x x x x x x x x x

x ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦

'∆()()2

1124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.

故答案为：0.

13．下面说法正确的是______（填序号）.

①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；

③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】

根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.

对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，

例如：函数()13

f x x =，可得()2

313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；

对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，

例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；

对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；

对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，

可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③

14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．

【答案】相等

【分析】

由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.

【解析】 因为平均速度为

()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t t

t ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．

故答案为：相等

四、解答题

15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．

（1）求此物体的初速度；

（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；

（3）求0t =到2t =时的平均速度．

（1）3m/s

（2）1m/s -

（3）1m/s

【分析】

（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；

（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.

（1）

运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2

000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，

即物体的初速度为3m/s ．

（2）

根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()2

00lim lim 1t t t t t t

∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）

()()206401(m/s)202

s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；

（2）估计出0.5=t 时物体的位移.

【答案】

（1）15.6(m/s)

（2）3.5m

【分析】

根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，

上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.

（1） 所求的平均速度为：

()5.060.3815.6m /s 0.60.3

-=- （2）

将x 在[0.30.6]，

上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.

2022年高中数学选择性必修第二册第五章 变化率问题和导数的概念

2022年高中数学选择性必修第二册 §5.1 导数的概念及其意义 第1课时 变化率问题和导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义 (1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． (2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近 于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0) Δt . 知识点二 函数的平均变化率 对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即Δy Δx ＝ f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 知识点三 函数在某点处的导数 如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝ x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )

变化率问题教案

三：新课引入一、导入新课： 为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数 学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微 积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 理解微积分的 背景 多媒体展示四 类问题，激发 学生的好奇心 四：新课讲授（一）新知识导学引例 生活中变化快慢的量 （1）两分公司半年销售额折线图 （2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化 观看引例中的 这些图，自由发 表自己的看法 多媒体展示 引导学生观察 变化量 （二）：新知识讲解与分析（一）问题提出 实例一：气温变化温度 气温变化的快慢不同 问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？ 实例二：气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数 关系是 假设将半径r表示为体积V的函数，那么 3 3 () 4 V r V π = 问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率 是多少？ 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是 多少? 实例三：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗 观看四个实例， 相互交流讨论， 思考PPT展示的 问题。 交流讨论之后 自己动手操作， 计算并化简思 考题的问题。 展示实例，首 先让学生观 看，然后引导 学生总结，最 后提问并点评 学生的回答。 要充分的调动 学生的积极 性，让更多的 学生参与到课 堂当中。 3 4 () 3 V r r π =

略地描绘其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？ 假定山路是 平直的. （二）平均变化率概念： 平均变化率为 = ∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 通过实例，尝试 的总结平均变 化率的概念，举 手回答。 通过思考，尝试着完成例题。 进一步的分析实例，引导学生总结平均变化率的问题，并点评学生的回答，最后展示并板书平均变化率的概念。 展例如题，引导学生分析例题，最后和学生一起完成。 （三）： 新知识思维的提升与规律总结

新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册

课时跟踪检测(十一) 变化率问题 1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2 ,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4 D ．－2d －4 解析：选D 平均速度为5－21＋d 2 －5＋2×1 2 1＋d －1 ＝－4－2d .故选D. 2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( ) A.2 5 kg/m B ．3 5 kg/m C.3 4 kg/m D ．1 2 kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4 9－4 ＝ 39－49－4 ＝3 5 (kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2 ,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( ) A ．－1 m/s B ．1 m/s C ．2 m/s D ．6 m/s 解析：选A ∵Δs Δt ＝ 5t ＋Δt －t ＋Δt 2 －5t －t 2 Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体 在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2 在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1 解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx 2 －a Δx ＝2a . 又∵切线的斜率为2,∴a ＝1. 5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13 t 3 ,则该物体在时间间隔 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1，32内的平均加速度为________．

【高中数学】第5章 5.1.1 变化率问题

一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 素养目标 学科素养 1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点) 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点) 1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算 情境导学 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈． 当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 1．平均速度与瞬时速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )． (1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度． (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度． (3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是

正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)Δx与Δy的值均可取0.() ×提示：Δy可为0，但Δx不能为0. (2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．() ×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度． (3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√) 2．抛物线的切线的斜率 当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0. 1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为() A．3 B．4 C．5 D．7 B解析：lim Δx→0＝ s(2＋Δt)－s(2) Δt＝4. 2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4 C．3 D．2 B解析：k＝lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2) Δx＝4. 3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.1变化率问题 要点一 平均速度与瞬时速度 1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1 . 2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt 的极限，记为 lim Δt → h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度． 【重点小结】 在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前． 当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率 抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) Δx . 【重点小结】 当Δx 无限趋近于0时， k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx 的极限，记为 lim Δx → f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( ) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( ) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( ) (4)一物体的运动方程是S ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( ) 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A 【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3 ＝1.890.3＝6.3，故选A. 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81

高中数学选择性必修二 5 1 2导数的概念及其几何意义(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)

5.1.2导数的概念及其几何意义 要点一 导数的概念 1．平均变化率：对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，则把Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率． 2．导数：如果Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即Δy Δx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可 导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝ ，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 【重点小结】 (1)当Δx ≠0时，比值Δy Δx 的极限存在，则f(x)在x ＝x 0处可导；若Δy Δx 的极限不存在，则f(x)在x ＝x 0处不可导 或无导数． (2)在x ＝x 0处的导数的定义可变形为 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx 或f ′(x 0)＝lim x →x 0 f (x )－f (x 0) x －x 0. 要点二 导数的几何意义 对于曲线y ＝f (x )上的点P 0(x 0，f (x 0))和P (x ，f (x ))，当 点P 0趋近于点P 时，割线P 0P 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线P 0T 称为点P 0处的切线．割线P 0P 的斜率是k ＝f (x )－f (x 0) x －x 0．当点P 无限趋近于点P 0时， k 无限趋近于切线P 0T 的斜率．因此，函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线P 0T 的斜率k ，即k ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 【重点总结】 (1)曲线的切线与割线 ①曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线． ②曲线的切线就是割线趋近于某一确定位置的直线，体现了无限趋近的思想． (2)曲线的切线与导数 ①函数f(x)在x ＝x 0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率． ②函数f(x)表示的曲线在点(x 0，f(x 0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3 x 在x ＝0处有切线，但不可导． 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线． 要点三 导函数 对于 函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们

数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析

十二变化率问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( ) A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s) C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s) 【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s). 2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.Δs=2+Δt+-2- =Δt-,=1-, 所以t=2时的瞬时速度为 ==. 3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

【解析】选C.= =3+3Δx+(Δx)2, 则曲线在点P(1,12)处的切线斜率 k=[3+3Δx+(Δx)2]=3, 故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( ) A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26 【解析】选D.设P(x0,y0),= = =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0. 所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1, 因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(导学案)

5.1.1变化率问题 导学案 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx

3．曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0 x－x0＝ f x0＋Δx－f x0 Δx为割线P0P的_____． (2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y ＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝. 斜率；切线；lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx；lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成 k＝lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx． 2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为() A．f (x0＋Δx)B．f (x0)＋Δx C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0) 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是() A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 一、学习导引 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。

变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多． （5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？

高中数学5-1-1变化率问题课后提能训练新人教A版选择性必修第二册

第五章 5.1 5.1.1 A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2 ＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于( ) A ．4Δt ＋(Δt )2 B ．4＋Δt ＋2 Δt C ．2Δt ＋(Δt )2 D ．2＋Δt 【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2 ＋1－(22 ＋1)＝4Δt ＋(Δ t )2. 2．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 【答案】A 3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12 gt 2，g ＝9.8m/s 2 ，若 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5m/s ，则24.5m/s 是该物体( ) A ．从0s 到1s 这段时间的平均速度 B ．从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度 C ．在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度 D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5 m/s ，可知有物体从t ＝1 s 到(1 ＋Δt )s 这段时间的平均速度为24.5 m/s. 4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s (米)与时间t (秒)的关系为s (t )＝5t ＋2t 2 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为( ) A ．18米/秒 B ．13米/秒 C ．9米/秒 D ．13 2 米/秒 【答案】C 【解析】∵s (t )＝5t ＋2t 2 ，该物体在运行前2秒的平均速度为s (2)－s (0) 2 ＝18 2 ＝9(米/秒)．

高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题-练习

第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 课后篇巩固提升 基础达标练 1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为() A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 (3)=12,S(3.3)=13.89, ∴平均速度v=S(3.3)-S(3) 3.3-3=1.89 0.3 =6.3,故应选A. 2.(2018全国高二单元测试)lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示() A.曲线y=x2切线的斜率 B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 C.曲线y=-x2切线的斜率 D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率 lim →0(1+Δx)2-1 Δx =lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx , 可知lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.

3.(2020海南中学高二期末)两个学校W 1、W 2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W 1(t )、W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有 ( ) A .W 1比W 2节能效果好 B .W 1的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大 C .两学校节能效果一样好 D .W 1与W 2自节能以来用电量总是一样大 ,对任意的t 1∈(0,t 0),曲线W=W 1(t )在t=t 1处的切线比曲线W=W 2(t )在t=t 1处的切线要“陡”,所以,W 1比W 2节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知, W 1(t 0)-W 1(0) t 0 < W 2(t 0)-W 2(0) t 0 ,则W 1的用电 量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线W=W 1(t )和曲线W=W 2(t )不重合,D 选项错误.故选A . 4.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=1 2gt 2,当Δt 无限趋于0时,s (1+Δt )-s (1) Δt 无限趋于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( ) A .9.8 m/s 是在0~1 s 这一段时间内的平均速度 B .9.8 m/s 是在1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度 D .9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 Δt 趋于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1) Δt 趋于该时刻的瞬时速度.选ABD.

高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1 变化率问题同步练习及解析答案

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化 率问题 一、选择题 1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0) h 的结果( ) A ．与x 0，h 均无关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 均有关 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－ 3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/s D ．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/s B ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反 C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/s D ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s

高中数学选择性必修二 精讲精炼 5 1 导的概念及其意义(精练)(无答案)

5.1 导数的概念及其意义(精练) 【题组一 平均变化率】 1．(2021·全国高二课时练习)一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′(5)＝42(m/s)，其实际意义是( ) A ．物体5 s 内共走过42 m B ．物体每5 s 运动42 m C ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/s D ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m 2．(2021·全国)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图所示，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为123,,v v v ，则三者的大小关系为( ) A ．123v v v >> B ．321v v v >> C ．213v v v >> D ．231v v v >> 3．(2021·全国)函数f (x )=2x 2+5在x =1附近的平均变化率________在x =3附近的平均变化率(填“大于”“小于”或“等于”)． 4．(2021·全国高一课时练习)函数2y x 在区间[1,2]上的平均变化率为___________. 5．(2021·全国高二课时练习)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h ＝2t 2＋2t ，则： (1)前3 s 内球的平均速度为________m/s ； (2)在t ∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s. 6．(2021·全国高二课时练习)一物体做直线运动，其路程与时间t 的关系是S ＝3t －t 2.

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 《5.1.1变化率问题》教学设计 第2课时 ◆教学目标 1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法 教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． （1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题． （2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：什么叫直线与圆相切？ 师生活动：学生回顾并回答． 预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．

【探究新知】 知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究． 问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解． 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近 任取一点2()P x x ， ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况. 如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率 抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2 (1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1 Δ21(1Δ)1 f x f x k x x x -+-===+-+-. 我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格. 0x ∆< 0x ∆> x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01- 1.99 0.01 2.01 0.001- 1.999 0.001 2.001 0.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001- 1.999999 0.000001 2.000001 …… …… 当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.

新人教A版高二选择性必修二5-1-1变化率问题

新人教A版高二5.1.1 变化率问题 学校:______姓名:______班级:______考号:______ 一、单选题(共8小题) 1.若质点P的运动规律为s=2t2＋5，则在时间段(3,3＋Δt)内，质点P的平均速度等于( ) C.12＋2Δt D.12 A.6＋Δt B.12＋Δt＋9 Δt 2.做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s=3t−t2，则它的初速度是( ) A.0 B.3 C.−2 D.3−2t 3.若函数f(x)=x2−1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.4 4.函数f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率是( ) A.1 B.−1 C.2 D.−2 5.给半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增量ΔV等于( ) πR2ΔR A.4 3 π(ΔR)3 B.4πR2ΔR+4πR(ΔR)2+4 3 C.4πR2 D.4πRΔR 6.若质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的瞬时速度为( ) A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t02

7.某物体做直线运动，其运动规律是s =t 2+3 t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( ) A.123 16米／秒 B.125 16米／秒 C.8米／秒 D.67 4米／秒 8.函数f(x)=x 2从x 0到x 0+Δx 的平均变化率为k 1，从x 0−Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1,k 2的大小关系是( ) A.k 1k 2 C.k 1=k 2 D.无法确定 二、填空题(共5小题) 9.某物体的运动方程是s =t 2−4t +5，若此物体在t =t 0时的瞬时速度为0，则t 0= . 10.已知某质点的运动规律为s =3t 2+2t +1，则该质点从t =2到t = 2＋Δt 的平均速度是 . 11.某汽车启动阶段的路程s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数关系式为s =2t 3−5t 2，则t =2s 时，汽车的瞬时速度是 . 12.过曲线y =x 2+1上两点P(1，2)和Q(1+Δx ，2+Δy)作曲线的割线，当 Δx =0.1时，割线的斜率k = ，当Δx =0.001时，割线的斜率k = . 13.做直线运动的质点M 的运动方程为s =4t 2+1(位移单位：cm ，时间单位：s)，则质点M 在t =2 s 时的瞬时速度是 cm/s . 三、解答题(共3小题) 14.在自行车比赛中，运动员的位移s 与比赛时间t 的函数关系式是 s(t)=10t ＋5t 2(s 的单位是m ，t 的单位是s) . (1)求当t =20 s,Δt =0.1 s 时,∆s 与Δs Δt 的值； (2)求t =20 s 时的瞬时速度.

2021-2021学年高中数学 1.1.1变化率问题练习 新人教A版选修2-2

2021-2021学年高中数学 1.1.1变化率问题练习新人教A版选修 2-2 2021-2021学年高中数学 1.1.1变化率问题练习新人教A版选修 2-2 一、选择题 1．在表达式fx0＋Δx－fx0 中，Δx的值不可能( ) ΔxB．小于0 D．大于0或小于0 A．大于0 C．等于0 [答案] C [解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选C. 2．函数y＝f(x)当自变量x由x0变化到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为( ) A．f(x0＋Δx) C．f(x0)・Δx [答案] D [解析] 由定义，函数值的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故应选D. 3．已知函数f(x)＝－x＋x，则f(x)从－1到－0.9的平均变化率为( ) A．3 C．2.09 [答案] D [解析] f(－1)＝－(－1)＋(－1)＝－2. 22 B．f(x0)＋Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0) B．0.29 D．2.9 f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. ∴平均变化率为 f－ 2 －f－ －0.9－－－1.71－－＝0.1 ＝2.9，故应选D. 4．已知函数f(x)＝x＋4上两点A、B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为( ) A．2 C．2.09 [答案] B

[解析] f(1)＝5，f(1.3)＝5.69. ∴kAB＝ B．2.3 D．2.1 f－f1.3－15.69－5＝＝2.3，故应选B. 0.3 2 5．一运动物体的运动路程S(x)与时间x的函数关系为S(x)＝－x＋2x，则S(x)从2到2＋Δx的平均速度为( ) A．2－Δx C．2＋Δx [答案] B B．－2－Δx D．(Δx)－2・Δx 2 [解析] ∵S(2)＝－2＋2×2＝0， ∴S(2＋Δx)＝－(2＋Δx)＋2(2＋Δx)＝－2Δx－(Δx)，∴ 2 2 2 S＋Δx－S2＋Δx－2 ＝－2－Δx，故应选B. Δy2 6．已知函数f(x)＝2x－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则 Δx＝( ) A．4 C．4＋2(Δx) [答案] B Δy22 [解析] Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－1－2＋1＝2・(Δx)＋4・Δx，所以 Δx＝2Δx＋4.

人教A版高二数学选修2-2 第一章 第一节 1.1.1变化率问题(同步教案)

§1.1.1变化率问题 教学目标： 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程设计 （一）、情景引入，激发兴趣。 【教师引入】：“生活中存在大量变化快慢的量，如我国国内生产总值在不同年内的增长、某一股票在某一时间内的价格、去年上海商品房在不同月内的价格（幻灯片展示）。如何从数学的角度解释量的变化快慢问题呢？这节课我们一起学习与变化率有关的问题。 板书课题《变化率问题》 【教师过渡】：“为解决这一问题，我们先研究一些生活中的具体实例” (二)、探究新知，揭示概念 实例一：气温的变化问题 现有南京市某年3月18日-4月20日每天气温最高温度统计图： （注：3月18日 为第一天） 1、你从图中获得了哪些信息？ 2 、在“4月18日到20日”，该地市民普遍感觉“气温骤增”，而在“3月18日到4月18日”却没有这样的感觉，这是什么原因呢? 3、怎样从数学的角度描述“气温变化的快慢程度”呢？

师生讨论，教师板书总结： 分析：这一问题中，存在两个变量“时间”和“气温”， 当时间从1到32，气温从3.5o C 增加到18.6o C ，气温平均变化 当时间从32到34，气温从18.6o C 增加到33.4o C ，气温平均变化 因为7.4>0.5, 所以，从32日到34日，气温变化的更快一些。 【教师过渡】:“ 18.6 3.50.5321 -≈- 表示时间从“3月18日到4月18日”时，气温的平均变化率。 提出问题：先说一说“平均”的含义，再说一说你对 “气温平均变化率”的理解。 实例二：气球的平均膨胀率问题。 【提出问题】：回忆吹气球的过程，随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的快慢相同吗? 学生思考回答。 假设每次吹入气球内的空气容量是相等的，如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？ 思考： 1、 这一问题与“气温的变化问题”有哪些相同的地方？你打算怎样做呢？ 2、如何从数学的角度解释“随着气球内空气容量的增加，气球半径增长的越来越慢”这一现象呢？先独立思考，再在小组内交流你的想法。 学生讨论，小组交流，教师巡视。 学生充分讨论后，指名不同学生上台演示交流。 【教师过渡】:“在小组交流中，同学们采用了不同的方法解决这一问题，一部分从图形的角度入手，另一部分通过计算进行具体的量化，下面我们借助Excel 的自动计算功能与插入图表功能来研究这一问题。” （1）、观察表格，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） （2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示） 18.6 3.50.5321-≈-33.418.67.43432-≈-