5.1.1 变化率问题 教案-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题

教学设计

一、教学目标

1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.

2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.

3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 二、教学重难点 1、教学重点

瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 三、教学过程 1、新课导入

在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 2、探索新知

一、平均速度

问题1 高台跳水运动员的速度

探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)

2.35(m/s)0.50

h h v -==-；

在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)

9.9(m/s)21

h h v -=

=--.

一般地，在21t t t ≤≤这段时间里，211221

()()

4.9( 4.8)h t h t v t t t t -==-++-.

思考：计算运动员在48

049

t ≤≤

这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

运动员在48

049

t ≤≤

这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.

二、瞬时速度

1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

2.求运动员在1t =s 时刻的瞬时速度

设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度.

为了求运动员在1t =时的瞬时速度，在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0. 当0t ∆>时，1t +∆在1之后；当0t ∆<时，1t +∆在1之前. 当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度.当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理.为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.

思考：给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值.当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？

当t ∆无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 都无限趋近于5-.

事实上，由(1Δ)(1)

4.9Δ5(1Δ)1

h t h v t t +-=

=--+-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9Δt -也

无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-，这与前面得到的结论一致. 数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δh t h v t +-=

的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)

lim 5Δt h t h t

→+-=-.

从物理的角度看，当时间间隔||t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度. 因此，运动员在1t =s 时的瞬时速度(1)5m/s v =-.

三、割线与切线的斜率 问题2 抛物线的切线的斜率 1.割线与切线的定义

为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点

2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.

当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0

PT 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线. 2.割线与切线的斜率 （1）割线的斜率

抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0

PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ,(1Δ))x x ++.

于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1

Δ21(1Δ)1

f x f x k x x x -+-===+-+-.

（2）切线的斜率

我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0

PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.

时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.

事实上，由(1Δ)(1)

Δ2Δf x f k x x

+-=

=+可以直接看出，

当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2. 我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)

Δf x f k x

+-=的极限”，记为

Δ0(1Δ)(1)

lim

2Δx f x f x →+-=.

从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0

PT 的斜率

0k .因此，切线0PT 的斜率02k =. 3、课堂练习

1.某物体沿水平方向运动，其前进距离s （米）与时间t （秒）的关系为2()52s t t t =+，则该物体在运动前2秒的平均速度（单位：米/秒）为( ) A.18 B.13 C.9 D.

13

2

答案：C

解析：2()52s t t t =+，∴该物体在运动前2秒的平均速度为(2)(0)18

922

s s -==（米/秒）.故选C.

2.若质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为( ) A.6 B.18

C.54

D.81

答案：B

解析：由题可得222

0003(3)33183()lim lim lim(183)18t t t t t t t t t

∆→∆→∆→+∆-⨯∆+∆==+∆=∆∆.故选B.

3.一物体的运动方程为27138s t t =-+，且在0t t =时的瞬时速率为1，则0t =___________. 答案：1 解析：()()2

2

2000007138713814137()s t t t t t t t t t t ∆=+∆-+∆+-+-=⋅∆-∆+∆，

()0000

lim

lim 1413714131t t s

t t t t ∆→∆→∆∴=-+∆=-=∆，可得01t =. 4、小结作业

小结：本节课学习了平均速度、瞬时速度的概念及求法以及曲线割线与切线斜率的求法. 作业：完成本节课课后习题. 四、板书设计

5.1.1 变化率问题

1.瞬时速度的概念：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.

2.割线与切线的定义：为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线.

2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)

第一章导数及其应用 §1.1变化率与导数 §1.1.1变化率问题 §1.1.2导数的概念 §1.1.3导数的几何意义 §1.2导数的计算 §1.2.1几个常用函数的导数 §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3导数在研究函数中的应用 §1.3.1函数的单调性与导数 §1.3.2函数的极值与导数 §1.3.3函数的最大(小)值与导数 §1.4生活中的优化问题举例 §1.5定积分的概念 §1.5.1曲边梯形的面积 §1.5.2汽车行驶的路程 §1.5.3定积分的概念 §1.6微积分基本定理 §1.7定积分的简单应用 §1.7.1定积分在几何中的应用 §1.7.2定积分在物理中的应用 章末整合提升

章末达标测试 第二章推理与证明 §2.1合情推理与演绎推理 §2.1.1合情推理 §2.1.2演绎推理 §2.2直接证明与间接证明 §2.2.1综合法和分析法 §2.2.2反证法 §2.3数学归纳法 章末整合提升 章末达标测试 第三章数系的扩充与复数的引入 §3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.2复数的几何意义 §3.2复数代数形式的四则运算 §3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义§3.2.2复数代数形式的乘除运算 章末整合提升 章末达标测试 模块综合检测

§1.1 变化率与导数 §1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念 [课标要求] 1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 一、函数平均变化率 如果函数关系用y ＝f (x )表示，那么变化率可用式子f （x 2）－f （x 1） x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x ) 从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是平均变化率可以表示为 Δy Δx ． 二、导数的有关概念 1．瞬时变化率 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx ＝ Δy Δx ． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作，即f ′(x 0) ＝ Δy Δx ＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx ．

5.1.1 变化率问题 教案-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 教学设计 一、教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 二、教学重难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 三、教学过程 1、新课导入 在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 2、探索新知 一、平均速度 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0) 2.35(m/s)0.50 h h v -==-； 在12t ≤≤这段时间里，(2)(1) 9.9(m/s)21 h h v -= =--. 一般地，在21t t t ≤≤这段时间里，211221 ()() 4.9( 4.8)h t h t v t t t t -==-++-. 思考：计算运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.

3.1.1 变化率问题 3.1.2导数的概念 教案(人教A版选修1-1)

3．1 变化率与导数 3．1.1变化率问题 3．1.2导数的概念 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 2．过程与方法 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法． 3．情感、态度与价值观 学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识． ●重点、难点 重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵． 难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵． 通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点． (教师用书独具)

●教学建议 学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f (x )在x ＝x 0处的导数反映了函数f (x )在x ＝x 0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？ ?引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.?通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.?通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率. ?通过例2及其变式训练，使学生掌握求瞬时速度的方法，为求导数打下基础.?通过例3及其变式训练，学会求函数在某点处的导数的步骤与方法.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识. ? 完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正. (对应学生用书第45页)

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24

1.1.2导数的概念 （一）教材分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时. 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. （二）教学目标 （1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （3）会求函数在某点的导数及简单应用. （三）教学重点与难点 重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念. （四）教学过程 1. 复习引入 （1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式； （2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式. 2. 合作探究 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度. 探究一：瞬时速度的求解 从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能 反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？ 设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度. 以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2 6.5t 10. 探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？ 设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法. 我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：

新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册

课时跟踪检测(十一) 变化率问题 1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2 ,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4 D ．－2d －4 解析：选D 平均速度为5－21＋d 2 －5＋2×1 2 1＋d －1 ＝－4－2d .故选D. 2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( ) A.2 5 kg/m B ．3 5 kg/m C.3 4 kg/m D ．1 2 kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4 9－4 ＝ 39－49－4 ＝3 5 (kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2 ,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( ) A ．－1 m/s B ．1 m/s C ．2 m/s D ．6 m/s 解析：选A ∵Δs Δt ＝ 5t ＋Δt －t ＋Δt 2 －5t －t 2 Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体 在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2 在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1 解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx 2 －a Δx ＝2a . 又∵切线的斜率为2,∴a ＝1. 5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13 t 3 ,则该物体在时间间隔 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1，32内的平均加速度为________．

高中数学选修1-1《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74 t (d) 20 303421020 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃)210 教材分析 本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。 二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学 模型提供丰富的背景。 2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述 和刻画现实世界的过程。 3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研

究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以及勇于探究、积极思考的学习精神。 三、重点与难点分析: 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率概念的理解和运用 四、学情分析 1、有利因素： 高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素： 学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计 （一）创设情景、激发热情 [情境1]： 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s 。 平均速度的数学意义是什么 ? 【设计意图】 数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保证。一个引人入胜的开头，会拓宽学生思路，尊重学生的生命活动，激发兴趣，大大提高教学效率。 （二）感知过程、建构概念 [情境2]：广州市2009年1月18日到2月18日的日最高气温变化曲线: )(C T 20 30 B (32, 18.6) C (34, 33.4)

高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1

高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 知识梳理 1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 . 2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf Δx ， 称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ． 4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在 t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程 1.平均变化率 [例1] 求函数y ＝x 3 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12 时平均变 化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率． 应用变式1 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 2.瞬时变化率 [例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2 ，求物体在 时刻t 0处的瞬时速度． 应用变式2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 3.利用定义求函数某点处的导数 [例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2 ＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 应用变式3

数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析

十二变化率问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( ) A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s) C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s) 【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s). 2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.Δs=2+Δt+-2- =Δt-,=1-, 所以t=2时的瞬时速度为 ==. 3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15

【解析】选C.= =3+3Δx+(Δx)2, 则曲线在点P(1,12)处的切线斜率 k=[3+3Δx+(Δx)2]=3, 故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( ) A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26 【解析】选D.设P(x0,y0),= = =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0. 所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1, 因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.

5.1.2 导数的概念及其几何意义教案2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 教学设计 一、教学目标 1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景. 2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程. 二、教学重难点 1、教学重点 平均变化率的概念及求法、利用导数概念求导数、导数的几何意义及其应用. 2、教学难点 导数概念及其几何意义的理解和应用. 三、教学过程 1、新课导入 在上节课的学习中，我们研究了平均速度和瞬时速度的物理问题，以及割线斜率和切线斜率的几何问题，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，这节课我们就来探究一下平均变化率、导数的概念及其几何意义. 2、探索新知 一、平均变化率的概念 对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0x x +∆，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(Δ)f x x +. 这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为00Δ(Δ)()y f x x f x =+-. 我们把比值ΔΔy x ，即00(Δ)()ΔΔΔf x x f x y x x +-=叫做函数()y f x =从0x 到0x x +∆的平均变化率. 二、瞬时变化率（导数）的概念 如果当Δ0x →时，平均变化率 ΔΔy x 无限趋近于一个确定的值，即ΔΔy x 有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时 变化率），记作0()f x '或0 x x y ='，即000Δ0Δ0Δ()Δ()lim lim ()ΔΔx x f x x f x y f x x x →→+-=='. 三、求函数在0x x =处的导数（瞬时变化率） 例1 设1 ()f x x = ，求(1)f '. 解：Δ0Δ0Δ01 1 (1Δ)(1)11Δ(1)lim lim lim 1ΔΔ1Δx x x f x f x f x x x →→→-+-⎛⎫+===-=- ⎪+⎝⎭ '. 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已

5.1.1 变化率问题(同步检测)(附答案)—高二下学期数学选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（同步检测） 一、选择题 1.函数y ＝x 2从x 0到x 0＋Δx(Δx ＞0)的平均变化率为k 1，从x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( ) A.k 1＞k 2 B.k 1＜k 2 C.k 1＝k 2 D.k 1与k 2的大小关系不确定 2.已知函数 f(x)＝ax 2＋b 的图象开口向下，lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a ) Δx ＝4，则a ＝( ) A.2 B.－ 2 C.2 D.－2 3.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝1 3t 3＋1，设其在时间段[1,2]内的 平均速度为v 1 m/s ，在t ＝2时的瞬时速度为v 2 m/s ，则v 1 v 2＝( ) A.13 B.712 C.56 D.23 4.如图，函数y ＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为( ) A.12 B.－1 2 C.2 D.－2 5.质点的运动规律为s ＝t 2＋3(t 表示时间，s 表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9Δt C.3＋Δt D.9＋Δt 6.函数f(x)＝x 在区间[0,1]上的平均变化率为( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 7.若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 8.已知函数f(x)＝x 2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )

人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2素材 1.1《《变化率与导数》教材分析

《变化率与导数》教材分析 一、教材分析：导数是本章的主要研究对象，导数与科研、生产以及人类的生活有着密切的关系，导数是变化率的一种特殊的情况，在以前我们已经学习了有关变化率的知识，对变化率有了更深的认识，因而在本章中把导数作为一个整体来研究.我们将从它的定义，几何意义来讨论，导数作为一个新增的知识内容，是教学的重点，涉及的要领是全新的，因此要通过直观的才具演示来探究，使学生理解并明确概念. 二、设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法． 学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟. 三、教学准备 1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料； 2.向有经验的同事请教； 3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 四、教学设想

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版2-2第一章-

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数 学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章1 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 一、基础过关 1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t2，则在一小段时刻[2,2.1]内相应的平均速度为 ( ) A ．0.41 B ．3 C ．4 D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 3． 设函数f(x)可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx 等于 ( ) A ．f ′(1) B ．3f ′(1) C.13f ′(1) D ．f ′(3) 4． 一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t ＝1时的瞬时速度为 ( ) A ．4 B ．6 C ．24 D ．48 5． 函数y ＝3x2在x ＝1处的导数为 ( ) A ．12 B ．6 C ．3 D ．2 6． 甲、乙两厂污水的排放量W 与时刻t 的关系如图 所示，治污成效较 好的是 ( ) A ．甲 B ．乙

C ．相同 D ．不确定 7． 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______． 二、能力提升 8． 过曲线y ＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________. 9． 函数f(x)＝1x2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝__________. 10．求函数y ＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率． 11．求函数y ＝f(x)＝2x2＋4x 在x ＝3处的导数． 12．若函数f(x)＝ax2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 三、探究与拓展 13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时刻单位：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t2＋2 t ≥3 ①29＋3t －32 0≤t<3 ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．

新教材同步辅导2023年高中数学课时评价作业十二变化率问题及导数的概念新人教A版选择性必修第二册

课时评价作业（十二）变化率问题及导数的概念 A级基础巩固 1.已知一质点的位移s与时间t之间的关系为s(t)=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是() A.-3 B.3 C.6 D.-6 解析:由平均速度和瞬时速度的关系, 可知v=s'(1)=lim Δt→0 (-3Δt-6)=-6. 答案:D 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则Δy Δx =() A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 解析:因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2, 所以Δy Δx =4Δx+2(Δx) 2 Δx =4+2Δx. 答案:C 3.设函数f(x)在点x0附近可导,若有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则() A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 解析:因为f'(x0)=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 aΔx+b(Δx)2 Δx =lim Δx→0 (a+bΔx)=a,所以选C. 答案:C 4.若f'(x0)=1,则lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 . 解析:lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 lim k→0 f(x0-k)-f(x0) -k =-1 2 f'(x0)=-1 2 . B级能力提升 5.设函数y=f(x)在x=x0处可导,若lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =1,则f'(x0)=() A.1 B.-1 C.-1 3D.1 3 解析:因为lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 [f(x0−3Δx)−f(x0) −3Δx ×(−3)]=-3f'(x0)=1,所以 f'(x0)=-1 3 . 答案:C 6.某辆汽车的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.若在时间段 [t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系是v3>v2>v1.

【教案】二项分布+说课稿-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

二项分布说课稿 一、教材分析： 1．教材的地位和作用 本节内容是新教材选择性必修三第七章«随机变量及其分布»的第四节«二项与超几何分布»。通过前面的学习，学生差不多学习把握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、以及离散型随机变量分布列有关内容。二项分布是一应用广泛的概率模型。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也专门重要。 2．教学目标： 知识目标： 高中数学新课标明确指出本节课需达到的知识目标：在了解条件概率，离散型随机变量分布列概念的前提下，明白得n重伯努利试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。同时，渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观看、分析、类比、归纳的数学思想方法。 能力目标： 培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 德育目标： 培养学生对新知识的科学态度，勇于探究和敢于创新的精神。让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。 情感目标： 通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探究的乐趣与成功的欢乐，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。 3．教学重点、难点： 数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际咨询题的过程，是数学学习的一种新的方式，它为学生提供自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际咨询题中的价值和作用。教学重点:独立重复试验、二项分布的明白得及应用二项分布模型解决一些简单的实际咨询题。 教学难点:二项分布模型的构建。 重难点的突破将在教学程序分析中详述。 二、教法探讨： 我在课堂教学中做到以学生的自主学习为中心，给学生提供尽可能多的摸索、探究、发觉、想象、创新的时刻和空间。另一方面，从学生的认知结构，预备知识的把握情形由此，本节课要紧采取〝自主探究式〞的教学方法：即学生在老师引导下，观看发觉、自主探究、合作交流、由专门到一样、由感性到理性主动建构新知识。启发引导学生积极的思维，对学生的思维进行调控，关心学生优化思维过程。 三. 学法指导: 学是中心,学会是目的.本节课要紧让学生体会观看、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习方法.交给学生摸索咨询题的方法,使学生真正成为教学的主体. 四、教学程序： 本节课我设计为五个环节: 1.创设情形激发求知 2.自主探究合作学习 3.信息交流揭示规律 4.运用规律解决问题 5.提炼方法反思小结 (一).创设情形激发求知 1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。

高中数学第5章-5.1.1-变化率问题

一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 素养目标 学科素养 1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点) 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点) 1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算 情境导学 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈． 当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 1．平均速度与瞬时速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )． (1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度． (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度． (3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是

正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)Δx与Δy的值均可取0.() ×提示：Δy可为0，但Δx不能为0. (2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．() ×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度． (3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√) 2．抛物线的切线的斜率 当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0. 1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为() A．3 B．4 C．5 D．7 B解析：lim Δx→0＝ s(2＋Δt)－s(2) Δt＝4. 2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4 C．3 D．2 B解析：k＝lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2) Δx＝4. 3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．

高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1-变化率问题同步练习及解析答案

高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化 率问题 一、选择题 1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0) h 的结果( ) A ．与x 0，h 均无关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 均有关 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－ 3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/s D ．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/s B ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反 C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/s D ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s

2022-2023学年人教A版选择性必修第二册 5

第五章 5.1 5.1.1 变化率问题 A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于( ) A ．4Δt ＋(Δt )2 B ．4＋Δt ＋2 Δt C ．2Δt ＋(Δt )2 D ．2＋Δt 【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2＋1－(22＋1)＝4Δt ＋(Δt )2. 2．一物体的运动方程是s ＝1 2at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 【答案】A 3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝1 2gt 2，g ＝9.8m/s 2，若 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5m/s ，则24.5m/s 是该物体( ) A ．从0s 到1s 这段时间的平均速度 B ．从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度 C ．在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度 D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5 m/s ，可知有物体从t ＝1 s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度为24.5 m/s. 4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s (米)与时间t (秒)的关系为s (t )＝5t ＋2t 2，则该物体在运行前2秒的平均速度为( ) A ．18米/秒 B ．13米/秒 C ．9米/秒 D ．13 2米/秒 【答案】C 【解析】∵s (t )＝5t ＋2t 2，该物体在运行前2秒的平均速度为s (2)－s (0)2＝ 18 2＝9(米/秒)．

2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：全册课堂导学全文 Word版含答案

1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念 [学习目标] 1．了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． [知识链接] 很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？ 答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝33V 4π， (1)当V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了r (1)－r (0)≈0.62 (dm)， 气球的平均膨胀率为 r (1)－r (0) 1－0 ≈0.62(dm/L)． (2)当V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)， 气球的平均膨胀率为r (2)－r (1) 2－1 ≈0.16(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． [预习导引] 1．函数的变化率 0函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 要点一 求平均变化率 例1 已知函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10. (1)计算从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根据(1)中的计算，当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1)＝－4.9 (Δx )2－3.3Δx ，∴Δy Δx ＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，Δy Δx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；