高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念(教师用书)教

3.1 变化率与导数

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

学 习 目 标

核 心 素 养

1.了解导数概念的实际背景．(难点)

2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

1．通过学习导数概念，培养学生数学

抽象的素养.

2.借助导数的定义求函数在某点的导

数，培养数学运算的素养.

1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．

(4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，那么平均变化率

Δy

Δx ＝

f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

表示割线P 1P 2的斜率．

思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示]Δx ≠0，Δy ∈R .

2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim

Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim

Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .

1．以下说法错误的选项是( ) A ．函数的平均变化率可以大于零 B ．函数的平均变化率可以小于零 C ．函数的平均变化率可以等于零 D ．函数的平均变化率不能等于零

D [函数的平均变化率为Δy

Δx ，显然其值是可正、可负、可为零的，应选D ．]

2．函数f (x )＝x 2＋1，那么在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )

B [Δy ＝f (2＋Δx )－f 2－4＝0.41.]

3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，那么在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( ) A ．0.41 B ．3

D [Δs

Δt

＝错误!＝4.1.]

求函数的平均变化率

[例1] (1)假设函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，那么Δy

Δx ＝

( )

A ．4

B ．4x

C ．4＋2Δx

D ．4＋2(Δx )2

(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如下图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，那么三者的大小关系为__________．

(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．

(1)C (2)v 1

3π[(1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1)

＝2(Δx )2＋4Δx

∴

Δy

Δx

＝2Δx ＋4，应选C ． (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC ． 根据图象知v 1

3π.

∴

ΔV Δr ＝283

π.]

1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1.

2．求平均变化率的一个关注点

求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

的形式．

[跟进训练]

1．函数f (x )＝x ＋1

x ，分别计算f (x )在[1,2]和[3,5]上的平均变化率，并比较两个区间上变化

的快慢．

[解]自变量x 从1变化到2时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (2)－f (1)2－1＝1

2.

自变量x 从3变化到5时，函数f (x )的平均变化率为Δy Δx ＝f (5)－f (3)5－3＝1415.由于12<14

15，

所以函数f (x )＝x ＋1

x

在[3,5]的平均变化比在[1,2]的平均变化快．

求瞬时速度

(1)求此物体的初速度；

(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．

[解](1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs ＝s (Δt )－s (0) ＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2.

∴Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2

Δt

＝3－Δt ， lim

Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →

(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)

＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，

Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt

＝－1－Δt ， lim

Δt →0

Δs

Δt ＝lim Δt →

(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1.

1．求运动物体瞬时速度的三个步骤

(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝Δs Δt

.

(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt

无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．

2．求Δy

Δx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法

(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．

(2)求出Δy

Δx

的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．

[跟进训练]

2．一质点按规律s (t )＝at 2＋2t ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，假设该质点在t ＝1 s 时的瞬时速度为4 m/s ，求常数a 的值．

[解]∵Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)

＝[a (1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋1]－(a ＋3) ＝a ·(Δt )2＋(2a ＋2)·Δt ，∴Δs

Δt ＝a ·Δt ＋2a ＋2.

在t ＝1 s 时，瞬时速度为lim

Δt →0

Δs

Δt

＝2a ＋2， 即2a ＋2＝4，∴a ＝1.

求函数在某点处的导数

1．等式lim

Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →

f (x 0)－f (x 0＋Δx )

－Δx 成立吗？

提示：成立． 2．假设lim

Δx →0

f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝3，那么lim Δx →

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

2Δx 等于多少？

提示：lim Δx →0

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ＝lim Δx →

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx ＝3.

[例3] (1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．

(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值Δy

Δt ；

②求t 1＝4时的导数．

[思路点拨](1)求Δy →求

Δy Δx →求lim Δx →

Δy Δx (2)①Δy ＝f ()－f (4)→

Δy Δt

②求Δy →求

Δy Δt →求lim Δx →

Δy Δt (1)1

2[Δy ＝1＋Δx －1，

Δy Δx

＝1＋Δx －1

Δx

＝

1

1＋Δx ＋1，lim

Δx →0

1

1＋Δx ＋1

＝12

， 所以y ′|x ＝1＝1

2

.]

(2)[解]①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1

＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，Δy

Δt

＝48.120 1.

②lim

Δt →0

Δy Δt ＝lim Δt →

[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48， 故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48.

求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤

简称：一差、二比、三极限．

提醒：当对Δy Δx 取极限时，一定要把Δy

Δx

变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．

[跟进训练]

3．(1)函数f (x )＝1

2＋3x 在x ＝1处的导数为________．

(2)函数f (x )在x ＝x 0处的导数为4， 那么lim

Δx →0

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

Δx

＝________.

(1)－325 (2)8[(1)因为Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx

＝1

2＋3(1＋Δx )－

1

2＋3×1Δx ＝－3Δx

5(5＋3Δx )Δx ＝－35(5＋3Δx )，

所以f ′(1)＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

－35(5＋3Δx )

＝－3

25.

(2)lim Δx →

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

Δx

＝lim Δx →0

⎣⎢

⎡⎦⎥⎤

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx ×2

＝2lim Δx →

f (x 0＋2Δx )－f (x 0)

2Δx ＝2f ′(x 0)＝2×4＝8.]

1．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)

x 2－x 1

表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的

“数量化〞．

(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

的形式．

(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确表达函数的变化情况．

2．利用导数定义求导数时要特别注意：

(1)取极限前，要注意化简Δy

Δx

，保证使Δx →0时分母不为0.

(2)函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关．

1．判断正误

(1)平均变化率等于0时，说明函数没有发生变化．

( ) (2)函数f (x )在x 0处的导数实质就是函数f (x )在x 0处的瞬时变化率． ( ) (3)函数f (x )在x 0处的导数与Δx 无关，只与x 0有关． ( )

[答案] (1)× (2)√ (3)√

2．函数f (x )在x 0处可导，那么lim h →

f (x 0＋h )－f (x 0)

h ( )

A ．与x 0，h 都有关

B ．仅与x 0有关，而与h 无关

C ．仅与h 有关，而与x 0无关

D ．与x 0，h 均无关 [答案]B

3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，那么在t ＝2时的瞬时速度为__________． 8[s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )2－2×22 ＝2(Δt )2＋8Δt .

∴lim Δt →0

s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →0

2(Δt )2＋8Δt

Δt ＝lim Δt →

(2Δt ＋8)＝8.]

4．求函数y ＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．

[解] Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝2(Δx )2＋16Δx ，

∴Δy Δx ＝2(Δx )2

＋16Δx Δx

＝2Δx ＋16. y ′|x ＝3＝lim

Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →

(2Δx ＋16)＝16.

高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . [基础自测] 1．思考辨析 (1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零． ( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量． ( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．已知函数f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )

高中数学新人教A版选修2-1 第三章 导数导学案

§3.1.1 变化率问题 学习目标 1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程. 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习过程 一、课前准备 （预习教材P 78~ P 80，找出疑惑之处） 复习1：曲线 2 2 125 9 x y + =与曲线 2 2 1(9)259x y k k k + =<--的（ ） A ．长、短轴长相等 B ．焦距相等 C ．离心率相等 D ．准线相同 复习2：当α从0 到180 变化时，方程22cos 1x y α+=表示的曲线的形状怎样变化？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一： 问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率 吹气球时，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如何描述这种现象? 问题 2：高台跳水，求平均速度 新知：平均变化率： 2121 ()() f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量 或增量记为y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x ??，则上式就表示为 ，此比值 就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.

※ 典型例题 例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +?+?作曲线的割线，求出当0.1x ?=时割线的斜率. 变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+?-+?，则y x ??= 例2 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001] 小结： ※ 动手试试 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021

（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1的全部内容。

3.1。2 瞬时变化率—导数 学习目标：1。理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点) [自主预习·探新知］ 1．曲线上一点处的切线 设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度 运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）． 3．瞬时加速度 运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)． 4．导数 设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x 处的导数,记作f′（x0）． 5．导函数 若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率． [基础自测］ 1．判断正误： (1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（) (2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( ) （3）在导数的定义中，错误!＞0.( ） 【解析】(1）√。Δx是自变量的增量,可正可负，函数f（x)在x＝x0处的导数与它的正负无关． （2）×。Δy可以为0，如常数函数．

人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24

1.1.2导数的概念 （一）教材分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时. 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. （二）教学目标 （1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （3）会求函数在某点的导数及简单应用. （三）教学重点与难点 重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念. （四）教学过程 1. 复习引入 （1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式； （2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式. 2. 合作探究 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度. 探究一：瞬时速度的求解 从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能 反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？ 设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度. 以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2 6.5t 10. 探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？ 设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法. 我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_11

《3.1.1变化率问题》说课稿 一、内容和内容解析 （1）内容：本节主要包括两方面的内容：变化率和导数的概念。从平均变化率开始，用平均变化率探求瞬时变化率，并从数学上给予各种不同变化率在数量上的精确描述，即导数。 （2）内容解析：通过实例，让学生切身体会平均变化率；再经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。导数的概念是微积分的核心概念之一，是即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的基础。导数是研究事物变化快慢，研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化问题的有力工具。本节内容课堂教学的主线是渗透其中蕴涵的逼近思想，教学重点是导数的概念。 二、目标和目标解析 （1）目标 ①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，经历运用数学描述刻画现实的过程； ②理解变化率的概念，体验由平均变化率到瞬时变化率的过程； ③掌握导数的概念，探究运用形象直观的“逼近”方法定义导数的过程。 （2）目标解析 ①了解微积分的概貌及其在数学中的位置，让学生接受数学文化的熏陶，体会数学的价值。有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的面积（建筑物的上顶）、求速度的问题（高台跳水）等，会引发学生的求知欲，而经历运用数学描述刻画现实的过称可以通过气球膨胀率作为平均变化率的应用实现。 ②理解平均变化率和瞬时变化率的概念，这一点可以用高台跳水的例子实现。 ③导数的定义是在反思瞬时速度建立过程的基础上，总结思想和计算方法，有特殊到一般形成的，通过探究导数的定义，掌握利用导数定义来解决实际问题。 三、教学问题诊断分析 1．微积分是有文化底蕴的数学内容，了解微积分的发展史能够激发学生的求知欲，但如果介绍过于简单，学生可能下课后就会没有任何印象；如果介绍过于详细，便会占用大量时间，影响本节课内容的完成； 2.气球膨胀是学生非常熟悉的生活现象，但是从直观的生活感知（气球越来越难吹）到它的数学描述，对于学生来讲是比较困难的。

高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1

高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 知识梳理 1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 . 2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf Δx ， 称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ． 4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在 t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程 1.平均变化率 [例1] 求函数y ＝x 3 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12 时平均变 化率的值． [分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率． 应用变式1 某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 2.瞬时变化率 [例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12 gt 2 ，求物体在 时刻t 0处的瞬时速度． 应用变式2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 3.利用定义求函数某点处的导数 [例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2 ＋1x ＋5在x ＝2处的导数． 应用变式3

高中数学选修1-1第三章课后习题解答

新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答 第三章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P76） 在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P78） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P79） 函数()r V = (05)V ≤≤的图象为 根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈. 说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题3.1 A 组（P79） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()() W t W t t W t W t t t t --?--?≥ -?-?. 所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t ?+?-==-?-??，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数. (5)(5)10s s t s t t t ?+?-==?+??，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能21 3101502 k E =??= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.

高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案

第三章导数及其应用知识点最新考纲 变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义． 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数). 导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间． 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或 y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化] 1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .

人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》优质课教案_7

导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程

高中数学 第3章 导数及其应用 第1课时 平均变化率教案

第三章导数及其应用 第1课时平均变化率 教学目标： 1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程， 体会数学的博大精深以及学习数学的意义； 2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 教学重点： 平均变化率的实际意义与数学意义 教学难点： 对生活现象作出数学解释 教学过程： Ⅰ.问题情境 （1）情境 某人走路的第1秒到第34秒的位移时间图象如图所示： （2）问题1：“从A到B的位移是多少？从B到C的位移是多少？” 问题2：“AB段与BC段哪一段速度较快？” Ⅱ.建构数学 平均变化率: Ⅲ.数学应用 例1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示(见书本),试分别计算从出生到第3 个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.

变式练习：水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙, t s 后容器甲中水的体积()0.15t V t e -= (单位3 cm ),计算第一个10s 内V 的平均变化率. 例2：已知函数()2x x f =,分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率: (1)[]3,1 (2)[]2,1 (3)[]1.1,1 (4)[]001.1,1 变式练习：已知函数()12+=x x f ,()x x g 2-=,分别计算在区间[]1,3--,[]5,0上 ()x f 及()x g 的平均变化率. Ⅳ.课时小结: Ⅴ.课堂检测 Ⅵ.课后作业 书本P 59 习题2，3，4

1.甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，已用5个月 时间挣到2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？ 2. 已知函数()x x x f +=2 ,分别计算()x f 在下列区间上的平均变化率: (1)[]3,1 (2)[]2,1 (3)[]1.1,1 (4)[]001.1,1

人教版高中数学选修(1-1)-3.1典型例题：变化率问题

3.1.1变化率问题 【例1】已知质点M 按规律s=2t 2+3作直线运动(位移单位：cm,时间单位：s), (1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆; (2)当t =2，Δt =0.001时，求t s ∆∆; (3)求质点M 在t =2时的瞬时速度 【例2】某一物体的运动规律为s=t 3-t 2+2t +5(其中s 表示位移，t 表示时间，单位：s).则物体在2s 时的瞬时速度为_____________.

参考 例1： 【分析】利用平均变化率的求解步骤来解决问题. 【解】：∵t t s t t s t s ∆-∆+=∆∆)()( t t t t ∆+-+∆+=)32(3)(222 =4t +2Δt , ∴(1)当t =2，Δt =0.01时， t s ∆∆=4×2+2×0.01=8.02 (cm/s). (2)当t =2，Δt =0.001时， t s ∆∆=4×2+2×0.001=8.002(cm/s). (3) 0 0lim lim →∆→∆=∆∆=x x t s v (4t +2Δt )=4t =4×2=8(cm/s). 【点拨】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即平均速度，当Δt 越小，求出的t s ∆∆越接近某时刻的速度. 例2： 【分析】Δs 即位移的改变量，Δt 即时间的改变量，t s ∆∆即瞬时平均速度 【解】t t t t t t t t t s ∆∆⋅+∆+∆=∆-++∆+∆+-∆+=∆∆10)(5)(135)2(2)2()2(2323 =(Δt )2+5·Δt +10. ∴当Δt →0时， 00lim lim →∆→∆=∆∆x x t s (Δt 2+5·Δt +10) =10,即为t =2时的瞬时速度. 【点拨】解题时要注意式子的整体代入，不要有所遗漏.

高考数学大复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 苏教版(2021年最新

（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版的全部内容。

3.1 导数的概念及运算 1。导数与导函数的概念 （1）设函数y＝f（x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a,b)，若Δx无限趋近于0时,比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative),记作f′(x0)。 （2)如果函数y＝f（x）在开区间(a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数。记作f′（x）或y′。 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x）在点P(x0,f(x0））处的切线的斜率k，即k＝f′(x0）。 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x）＝C(C为常数）f′（x)＝0 f（x）＝xα（α为常数）f′（x）＝αxα－1 f(x)＝sin x f′（x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x）＝－sin x f（x）＝e x f′（x)＝e x f(x）＝a x（a>0，a≠1）f′(x)＝a x ln a f（x）＝ln x f′(x）＝错误! f（x）＝log a x（a>0，a≠1)f′（x)＝错误!

高中数学 3.1.1瞬时变化率 导数(一)同步练习(含解析)苏教版高二选修1-1数学试题

3.1.2 瞬时变化率——导数(一) 课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数． 1．瞬时速度的概念 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________． 用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时， 函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f t 0＋Δt －f t 0 Δt 趋近于常数，我们 这个常数称为______________． 2．导数的概念 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值 Δy Δx ＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f′(x 0)． 3．函数的导数 若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________. 一、填空题 1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2 ，则物体的初速度是________． 2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f x 0－Δx －f x 0 Δx 的值为 ________． 3．一物体的运动方程是s ＝12 at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________． 4．已知f(x)＝－x 2 ＋10，则f(x)在x ＝32 处的瞬时变化率是________． 5．函数y ＝x ＋1 x 在x ＝1处的导数是________． 6．设函数f(x)＝ax 3 ＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________． 8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2 ＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题 9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1 x 在x ＝1处的导数．

高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理

第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算 考纲要求 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2 ， y ＝x 3 ，y ＝1x ，y ＝x 的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 1．导数的概念 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0 |x x y =. 2．导函数 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′. 3．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． 4 5 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；

(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ f (x ) g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________. 1．若函数f (x )＝2x 2 －1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋ Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 3．曲线y ＝x 3 在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2 ＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 5．若曲线y ＝x 4 的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数 【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3 x －2＋1的值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念课时作业(含解析)新人教A版

课时作业22 一、选择题 1．在f ′(x 0)＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 中，Δx 不可能( ) A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 大于0或小于0 解析：由导数定义知Δx 只是无限趋近于0，故选C. 答案：C 2．设f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx 等于( ) A ．－f ′(x 0) B ．f ′(－x 0) C ．f ′(x 0) D ．2f ′(x 0) 解析：lim Δx →0 f x 0－Δx －f x 0 Δx ＝lim Δx →0 －f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－lim Δx →0 f x 0－f x 0－Δx Δx ＝－f ′(x 0)． 答案：A 3．设函数f (x )在点x 0处附近有定义，且f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2 (a ，b 为常数)，则( ) A. f ′(x 0)＝－a B. f ′(x 0)＝－b C. f ′(x 0)＝a D. f ′(x 0)＝b 解析：∵f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2 ， ∴ f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝a ＋b ·Δx . ∴lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx ＝lim Δx →0 (a ＋b ·Δx )． ∴f ′(x 0)＝a .故选C. 答案：C 4．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0

2020-2021高中数学第一册学案：第3章 3.1 3.1.2 第2课时函数的平均变化率含解析

2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第一册学案：第3章3.1 3.1.2 第2课时函数的平 均变化率含解析 第2课时函数的平均变化率 学习目标核心素养 1.理解斜率的含义及平均变化率的概念．（重点） 2．掌握判断函数单调性的充要条件．(重点、难点)通过利用函数f（x）的平均变化证明f(x)在I上的单调性，提升数学运算和培养逻辑推理素养． 科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考查，如图是某天气温随时间的变化曲线．请根据曲线图思考下列问题: 问题（1）在区间［6,17]对应的曲线上任取不同两点A(x1， y1），B(x2,y2）,Δy Δx＝y2－y1 x2－x1一定大于零吗？ (2）如果在区间［2，10]对应的曲线上任取不同两点C（x3，

y3）,D（x4，y4)，错误!＝错误!一定大于零吗? 1．直线的斜率 （1)定义:给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1）,B(x2，y2）,当x1≠x2时，称错误!为直线AB的斜率;(若记Δx＝x2－x1,相应 的Δy＝y2－y1，当Δx≠0时,斜率记为Δy Δx )，当x1＝x2时，称直线 AB的斜率不存在． （2)作用：直线AB的斜率反映了直线相对于x轴的倾斜程度．2．平均变化率与函数单调性 若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1），y2＝f（x2)，错误!＝错误!错误!，则： （1）y＝f（x）在I上是增函数的充要条件是错误!＞0在I上恒成立； (2）y＝f(x）在I上是减函数的充要条件是错误!＜0在I上恒成立． 当x1≠x2时，称Δf Δx＝错误!为函数y＝f（x）在区间［x1 ，x2]（x1 ＜x2时)或[x2，x1]（x1＞x2时）上的平均变化率．通常称Δx为自变量的改变量，Δy为因变量的改变量． [拓展]（1）注意自变量与函数值的对应关系，公式中，若Δx ＝x2－x1，则Δy＝f(x2）－f(x1）;若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1）－f （x2）。 (2）平均变化率可正可负,也可为零．但是，若函数在某区间上

2018_2019高中数学第3章导数及其应用3.1.1平均变化率学案苏教版

3.1.1 平均变化率 学习目标 1.通过实例，了解平均变化率的概念，并会求具体函数的平均变化率.2.了解平均变化率概念的形成过程，会在具体的环境中，说明平均变化率的实际意义.3.了解平均变化率的正负. 知识点一 函数的平均变化率 在吹气球时，气球的半径r (单位：dm)与气球空气容量(体积)V (单位：L)之间的函数关系是 r (V )＝ 3 3V 4π . 思考1 当空气容量V 从0增加到1L 时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为 r (1)－r (0)1－0 ≈ 0.62 1 ＝0.62 (dm/L). 思考2 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？ 答案 平均膨胀率为 r (V 2)－r (V 1) V 2－V 1 . 梳理 函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 ，其中Δy ＝f (x 2)－ f (x 1)是函数值的改变量. 知识点二 平均变化率的意义 思考 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 答案 如图，表示A ，B 之间的曲线和B ，C 之间的曲线的陡峭程度，可以近似地用直线的斜率来量化. 如用比值 y C －y B x C －x B 近似量化B ，C 这一段曲线的陡峭程度，并称该比值是曲线在[x B ，x C ]上的平均变化率. 梳理 平均变化率的几何意义：设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1) Δx 为割线AB 的斜率.

高中数学-变化率问题 导数的概念

3．1.1 变化率问题 3．1.2 导数的概念 (教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数． 2．过程与方法 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法． 3．情感、态度与价值观 学生在从平均变化率到瞬时变化率的探索过程中，通过动手算、动脑思和集体合作讨论，发展思维能力，树立敢于战胜困难的信息，养成主动获取知识和敢于探索求知的习惯，激发求知欲，增强合作交流意识． ●重点、难点 重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵． 难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．

通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点． (教师用书独具) ●教学建议 学生对平均变化率已有了很好的认识，同时在物理课程中已学习过瞬时速度，因此，学生已经具备了一定的认知基础，于是，在教学设计中，宜采用相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，本着为学生发展的原则，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学以致用．在学生的认知基础上，为了让学生明确导数就是瞬时变化率，函数f(x)在x＝x0处的导数反映了函数f(x)在x＝x0处附近变化的快慢，从而更好地理解导数的概念．在学法指导上，应回避了学生较难理解的极限思想，而是通过让学生体验逼近的思想，让他们通过自主探究，发现导数的内涵．使学生在学习过程中探究能力，分析问题、解决问题的能力都得到了不同程度的提升． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：如何刻画物体运动的快慢？⇒引导学生结合物理知识，分析、比较，引出平均变化率与瞬时变化率的概念.⇒通过引导学生回答所提问题理解瞬时变化率，得出导数的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何计算平均变化率.⇒

高中数学第三章3.1变化率与导数3.1.1_3.1.2变化率问题、导数的概念学案(含解析)新人教A版选修1_1

3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 知识点一 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示． 自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)． 思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为x 2－x 1，记作Δx ，函数值的改变量为y 2－y 1，记作Δy . 思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？AB 与BC 哪一段更陡峭？ 答案 ①对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1 x 2－x 1 可近似地刻画其陡峭程度． ②BC 更陡峭． 梳理 (1)定义式：Δy Δx ＝ f x 2－f x 1 x 2－x 1 ，叫函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率． (2)实质：函数值的增量与自变量增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．

(4)平均变化率的几何意义： 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝f x 1＋Δx －f x 1 Δx 为割线AB 的斜率，如图所示． 特别提醒：Δx 是变量x 2在x 1处的改变量，且x 2是x 1附近的任意一点，即Δx ＝x 2－x 1≠0，但Δx 可以为正，也可以为负． 知识点二 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 定义式 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 特别提醒：“Δx 无限趋近于0”的含义 Δx 趋于0的距离要多近有多近，即|Δx －0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx ≠0. 知识点三 导数的概念 定义式 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0 Δx 记法 f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0 实质 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 1．函数在某一点的导数与Δx 值的正、负无关．( √ ) 2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．在导数的定义中，Δx ，Δy 都不可能为零．( × ) 类型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数y ＝2x 2 ＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝－12时该函 数的平均变化率．