高一数学《变化率问题》课堂点评

“1.1.1变化率问题”评课稿

本节课王老师课前精心准备，课堂运用多媒体教学手段，创设了富有生活气息的教学情境，设计了生活化的学生活动，成功地解决生活化的问题。王老师的课堂明确新课程的教学理念，彰显个人的教学特色。

1.采取适当重新组织教材内容，使之更符合学生对变化率学习的实际。实例一、例题1通过师生互动帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，变化率富于不同的实际意义。

2.将学生必须掌握的平均变化率概念的结构性分析置于核心地位，选择、运用与变化率知识紧密相关的典型材料恰当，教学的重点突出，对难点考虑如何突破并实现了突破。实例二、例题2的设计使学生对发现的规律进行理性的分析，通过自我探索和互相交流的过程，提高学生的逻辑思维和自学能力，有助于学生对逼近思想的理解。数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。

3.本节课充分反映了学生学习平均变化率、瞬时变化率等知识的本质、地位，与相关知识之间内在的逻辑关系十分清晰。实例三帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。学生熟悉符号，在亲自计算的过程中感受逼近的趋势。

4.能围绕变化率知识的本质及逻辑关系，有计划地设置问题系列，使学生具备从特殊到一般的数学思想，具有一定归纳、概括、类比、抽象思维的能力训练。例题3在学生建立起平均变化率概念，明确用定义求平均变化率的方法, 渗透算法思想，加深对平均变化率、瞬时变化率概念的理解，强化对重点知识的巩固.

5.能根据教学的特点以及学生的需要恰当选择和运用教学媒体，有效整合教学资源，提示数学知识的发生、发展过程及其本质，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维。信息技术的使用遵循必要性、有效性、平衡性、合理性等原则。

高一数学《变化率问题》课堂点评

“1.1.1变化率问题”评课稿 本节课王老师课前精心准备，课堂运用多媒体教学手段，创设了富有生活气息的教学情境，设计了生活化的学生活动，成功地解决生活化的问题。王老师的课堂明确新课程的教学理念，彰显个人的教学特色。 1.采取适当重新组织教材内容，使之更符合学生对变化率学习的实际。实例一、例题1通过师生互动帮助学生看到知识点之间的联系，有助于知识的重组和迁移,寻找不同实际背景下的数学共性，即对于不同实际问题，变化率富于不同的实际意义。 2.将学生必须掌握的平均变化率概念的结构性分析置于核心地位，选择、运用与变化率知识紧密相关的典型材料恰当，教学的重点突出，对难点考虑如何突破并实现了突破。实例二、例题2的设计使学生对发现的规律进行理性的分析，通过自我探索和互相交流的过程，提高学生的逻辑思维和自学能力，有助于学生对逼近思想的理解。数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。 3.本节课充分反映了学生学习平均变化率、瞬时变化率等知识的本质、地位，与相关知识之间内在的逻辑关系十分清晰。实例三帮助学生体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。学生熟悉符号，在亲自计算的过程中感受逼近的趋势。 4.能围绕变化率知识的本质及逻辑关系，有计划地设置问题系列，使学生具备从特殊到一般的数学思想，具有一定归纳、概括、类比、抽象思维的能力训练。例题3在学生建立起平均变化率概念，明确用定义求平均变化率的方法, 渗透算法思想，加深对平均变化率、瞬时变化率概念的理解，强化对重点知识的巩固.

5.能根据教学的特点以及学生的需要恰当选择和运用教学媒体，有效整合教学资源，提示数学知识的发生、发展过程及其本质，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维。信息技术的使用遵循必要性、有效性、平衡性、合理性等原则。

5.1.1 变化率问题 教案-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 教学设计 一、教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 二、教学重难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 三、教学过程 1、新课导入 在之前的学习中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道了对数增长是越来越慢的，指数爆炸比直线上升快得多，那么能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？这节课我们就来研究一下这个问题. 2、探索新知 一、平均速度 问题1 高台跳水运动员的速度 探究 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0) 2.35(m/s)0.50 h h v -==-； 在12t ≤≤这段时间里，(2)(1) 9.9(m/s)21 h h v -= =--. 一般地，在21t t t ≤≤这段时间里，211221 ()() 4.9( 4.8)h t h t v t t t t -==-++-. 思考：计算运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 运动员在48 049 t ≤≤ 这段时间里的平均速度为0. 显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.

变化率问题教案

三：新课引入一、导入新课： 为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数 学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微 积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 理解微积分的 背景 多媒体展示四 类问题，激发 学生的好奇心 四：新课讲授（一）新知识导学引例 生活中变化快慢的量 （1）两分公司半年销售额折线图 （2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化 观看引例中的 这些图，自由发 表自己的看法 多媒体展示 引导学生观察 变化量 （二）：新知识讲解与分析（一）问题提出 实例一：气温变化温度 气温变化的快慢不同 问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？ 实例二：气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数 关系是 假设将半径r表示为体积V的函数，那么 3 3 () 4 V r V π = 问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率 是多少？ 思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是 多少? 实例三：高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗 观看四个实例， 相互交流讨论， 思考PPT展示的 问题。 交流讨论之后 自己动手操作， 计算并化简思 考题的问题。 展示实例，首 先让学生观 看，然后引导 学生总结，最 后提问并点评 学生的回答。 要充分的调动 学生的积极 性，让更多的 学生参与到课 堂当中。 3 4 () 3 V r r π =

略地描绘其运动状态? 思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？ 假定山路是 平直的. （二）平均变化率概念： 平均变化率为 = ∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 通过实例，尝试 的总结平均变 化率的概念，举 手回答。 通过思考，尝试着完成例题。 进一步的分析实例，引导学生总结平均变化率的问题，并点评学生的回答，最后展示并板书平均变化率的概念。 展例如题，引导学生分析例题，最后和学生一起完成。 （三）： 新知识思维的提升与规律总结

高中数学_1.1变化率与导数教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计表格

课前复习（情景再现）一、创设问 题情境， 引入课 题： 我们生活在 瞬息万变的 世界中，有些 如风驰电掣， 而有些如蜗 牛行步。那么 我们如何用 数学的方法 来描述这些 变化呢？播 放ppt中跳水 运动员的跳 水过程。 让同学们观看完视频后，思考解决问 题： 人们发现在高台跳水运动中,运动 员相对于水面的高度h(单位：米)与起 跳后的时间t（单位：秒）存在函数关 系h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动 员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态? 让学生自由发言，教师不急于下结 论，而是继续引导学生：欲知结论怎样， 让我们一起来观察、研探。 运用多媒 体创设情 境，让学生 感受生活 中处处有 数学，为课 题的引入 作铺垫。

引入新课 平均变化率二、新知探 究： 探究1 高台 跳水 在高台跳 水运动中,运 动员相对于 水面的高度 h(单位：米) 与起跳后的 时间t（单位： 秒）存在函数 关 系 h(t)=- 4.9t2+6.5t+1 0. 如何用运 动员在某些 时间段内的 平均速度粗 略地描述其 给同学们思考一下，然后提问：（请计 算） 学生举手回答 解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 学生觉得 问题有价 值，具有挑 战性，迫切 想知道解 决问题的 方法。 让学生亲 身感受知 识与实际 应用的联 系。

探究2 气球膨胀率 很多人都吹过气球，回忆一下吹气 球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是 如果将半学生分析并得到解析： 当V从0增加到1时,气球半径增加 了 气球的平均膨胀率为 （1）当V从1增加到2时,气球半 径增加了 气球的平均膨胀率为 0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大， 它的平均膨胀率逐渐变小了． 【思考】当空气容量从V1增加到V2 时,气球的平均膨胀率是多少? 对应的知 识点以问 题形式出 现，再现中 和反应的 实质，引导 学生将所 学知识应 用于生产、 生活实际。 两个问 题由易到 难，让学生 一步一个 台阶。为引 入变化率 的概念以

高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计

《变化率问题》教学设计 教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”， 一、教学内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。 平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。 从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。 基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。 二、学生情况分析 （一）、学生已有的认知基础 1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。 2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难 1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。 2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。 基于上述分析，我将本节课的教学难点确定为：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。； 三、教学目标设计 《课程标准》对本节课的要求是： 1、通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会导数的思想及其内涵。 2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 然而，课程教学目标不完全等同于课堂教学目标，课堂教学目标应该具体化，具有“可操作性”和“可检测性”，通过对《课程标准》的解读，我将本节课的课堂教学目标确定为： 1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义； 2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义； 3.体会数形结合的思想方法； 四、教学策略分析 1、为了有效的突破教学难点，突出平均变化率的概念本质，借用苏教版《变化率问题》

5.1.1变化率问题教学设计

5.1.1变化率问题教学设计 【教学内容】 平均速度的极限，瞬时速度 【教学目标】 1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想. 2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系. 【教学重难点】 重点：瞬时速度和微分思想. 难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想. 【教学过程设计】 视频展示微积分产生的背景 引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。 一.创设情境提出问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度 ，与起跳后的时间存在函数关系：2 =-++. () 4.9 2.811 h t t t 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。 在00.2t ≤≤这段时间里： (1.5)(1) 1.51 h h v -= -9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1) 11 h m h h m h v m m +-+-= = +- 追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121 ()()h t h t v t t -= -124.9() 2.8. t t =-++ 设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。 二.联想激活 寻求方法 计算运动员在407 t ≤≤这段时间里的平均速度.4()(0)70/407 h h v m s -==- 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度概念：我们把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

变化率问题教案

变化率问题教案 人教a版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节变化率与导数 1.1.1变化率 冯敏（监利一中）教学目标知识目标 1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。 2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 3.通过函数平均变化率的几何意义教学，让学生体验数形结合的理念。 4.通过实例分析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。能力目标：1.通过动手计算，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。情感目标：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。教学重点 1.引入平均变化率的概念； 2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 3.感受数学模型在描绘客观世界中的作用，进一步理解变量数学的思想，提高分析和解决问题的能力。 教学难点：平均变化率的理解与转化教学方法 通过从特殊到一般的思维方法，引导学生获得平均变化率的概念；通过积极探索和讨论，引导学生逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。基础教学过程历史背景知识过程现象分析有效建构类比归纳法 实例探究习题释疑归纳小结教学过程设计： 一、创造情境 为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意 当时的速度和加速度；反之亦然（2）求出曲线的切线；（3）求已知函数的最大值和最小值；（4）找出长度、面积、体积和重心。导数是微积分的核心概念之一。【设计

高中数学“平均变化率”的教学反思

“平均变化率”的教学反思 在本次课题组的研讨会中我承担了“变化率问题”的教学任务，会前根据“中学数学核心概念、思想方法教学设计框架结构（试行稿）”进行了教学设计，并在高二年级进行教学实践，课题组以教学设计及实施过程为载体，分析和评价教学过程，尤其是对核心概念与数学思想方法的教学进行了深入的讨论，提出了许多指导性意见。 经过课题组的点评与讨论后，对本堂课教学设计中的某些环节有了更深入的理解，下面结合教学实践，对教学过程各环节进行反思。 1.对教学设计的反思 （1）对“平均变化率”概念在整章中的地位的认识 在教学设计时，我把“平均变化率”当成本节课的核心概念。经过课后研讨，综合课题组成员的点评意见，经过自己的不断反思，发现“平均变化率”仅仅是个辅助性概念，它是为“导数”这个核心概念作铺垫的，当然这其中过渡性概念是“瞬时变化率”。课堂教学中忽视了“平均变化率”与“导数”的联系，定位不准确导致这一概念的教学目的不明确。为此，修改教学设计时必须突出“从平均变化率到瞬时变化率”的过程，引入“瞬时变化率”概念，同时指出“瞬时变化率”就是本章研究的“导数”。 （2）问题1的科学性 在教学设计时，我设计了如下问题作为整节课的引入： 问题1：甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 设计意图是：这是学生熟悉的问题，能较快地解决，同时也有利于引出本节课的核心概念“平均变化率”。从上课效果看也确实达到了我预想的目标，但课后点评后才发现，这一问题缺乏科学性，有待修改。经反复思考，觉得改为：“甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元,假设资本在单位时间的扩张速度保持不变，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?”可能效果会更好。 （3）问题2与问题3的教学顺序 在教学设计时，按照课本的顺序，把“气球膨胀率问题”和“高台跳水问题”分别作为问题2和问题3。当时觉得问题2（即气球膨胀率）的背景是学生比较熟悉的，有生活体验，从此处入手更加贴近生活，况且教材也是这样安排的。但从教学实践看，问题2并没有起到应有的效果。经过研讨和反思，觉得“高台跳水”是运动问题，函数模型是二次函数，比问题2的幂函数模型更简单、熟悉。因此将问题2与问题3教学顺序交换后，教学效果会更好。 2.对教学过程的反思 （1）对学生认知基础的关注问题

数学人教版九年级上册平均变化率问题(教学设计)

21.3 实际问题与一元二次方程（2） 平均变化率问题 广东省汕头市潮阳区后溪中学黄聪 教学任务分析

教学过程设计 一．课前准备 播放PPT 1 让学生较对《预习案》“课前准备”答案，为新课做好知识铺垫． 【师生活动设计】 学生：仔细较对答案，错误之处用红笔更正，疑惑之处用笔标注． 教师：1、默点名，若有学生没来上课则询问组长具体情况； 2、调查反馈：请第3题解方程两小题都对的同学举一下手． 二．学习目标 播放PPT 3 让学生明确本节课的学习目标，确定学习方向． 【师生活动设计】 学生：集体朗读．教师：引导强调． 三．复习回顾 播放PPT 4 通过上节课的学习，我们已经初步知道了如何用一元二次方程解实际问题，那么：1．一元二次方程的解法有几种？分别是？ 2．列方程解实际问题的一般步骤？ 【师生活动设计】 学生：集体回答．教师：引导点评． 四．质疑探究 （一）探究活动1——基础知识探究 播放PPT 5（完成下表，列式表示，无需计算） 1．某产品产量的年平均增长率为10%，今年的年产量为100台，则 2．某产品产量的年平均增长率为x，今年的年产量为100台，则 3．某产品产量的年平均增长率为x，今年的年产量为a台，则

【师生活动设计】 学生：分组探讨，集体回答（第一大组回答第1题，第二大组回答第2题，第三大组回答第3题）．教师：巡视指导． 播放PPT 6（归纳小结） （1）平均增长率问题 设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 二次增长后的值为 依此类推，n次增长后的值为 （2）平均下降率问题 设基数为a，平均下降率为x，则一次下降后的值为 二次下降后的值为 依此类推，n次下降后的值为 【师生活动设计】 学生：两生回答． 教师：引导指正． （二）探究活动2——平均变化率问题 播放PPT 7（课本第19页探究2，数据有所更改） （1）审题析题 问题1：设甲种药品成本的年平均下降率为x，请完成下表： 问题2：设乙种药品成本的年平均下降率为y，请完成下表： 【师生活动设计】 学生：分组探讨，一生回答． 教师：巡视指导．

《平均变化率与瞬时变化率》示范公开课教案【高中数学北师大】

第二章导数及其应用 2.1 平均变化率与瞬时变化率 1. 从实例分析中理解平均变化率和瞬时变化率的意义，会求简单函数在某一区间的平 均变化率和在某一点处的瞬时变化率； 2. 领会从平均变化率到瞬时变化率的逼近过程，使学生体会、理解平均变化率与瞬时变化率的联系． 重点：函数在某一点处的瞬时变化率． 难点：从平均变化率到瞬时变化率的逼近． 一、新课导入 问题1：某病人吃完退烧药，他的体温变化如图： 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 答案：①根据图象可以看出在这两段时间下降的体温一样多；②这两段时间的长度不一样，因此在20 min到30 min这段时间内，体温变化较快． 我们可以用单位时间内的变化情况来刻画快慢；如，在0 min到20 min这段时间内，单位时间体温变化为：38.5−39 20−0 =−0.5 20 =−0.025(℃/min)，在20 min到30 min这段时间内，单位时间 体温变化为：38−38.5 30−20 =−0.5 10 =−0.05(℃/min)，单位时间里，20 min到30 min这段时间内提问变化量大，这段时间内的体温变化就快． 二、新知探究 平均变化率： 对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为 f(x2)，它在 ◆教学目标 ◆教学过程 ◆教学重难点 ◆

区间[x1，x2]的平均变化率=f(x 2 )−f(x 1 ) x 2 −x 1 ． 通常我们把自变量的变化x2−x1称作自变量x的改变量，记作Δx，函数值的变化f(x2)−f(x1)称作函数值y的改变量，记作Δy．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 Δy Δx = f(x2)−f(x1) x2−x1 用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢． 问题2：函数平均变化率有怎样的几何意义？ 答案：函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过P(x1，f(x1))， Q (x2，f(x2))两点的直线的斜率(如图)，即 k PQ=Δy Δx =f(x2)−f(x1) x 2 −x 1 ． 设计意图：通过学生熟悉的生活体验，提炼出数学模型，归纳出函数平均变化率的概念，让学生体会“数学来源于生活”，感知如何探讨问题的本质，学会用数学语言和数学观点分析问题. 如果一块岩石突然松动，从峭壁顶上垂直下落，请估算岩石在时刻t=5s时的速度．问题３：用数学语言表达岩石下落过程中的平均速度 答案：下落的岩石是自由落体，由物理学知识可得ℎ=1 2 gt2，其中ℎ是下落高度，t是时间． 于是，取一小段时间由t1到t2，可得这一小段时间内的平均速度Δℎ Δt =ℎ(t2)−ℎ(t1) t 2 −t 1 ． 追问：你能计算某一时刻的速度吗？ 答案：我们可以用平均速度逼近某一时刻的速度． 若想求t1时刻的速度，当Δt＝t2−t1很小时，t1时刻的速度就可以用[t1，t2]内的平均速度来表示，取t1=5，再取越来越小的Δt，观察一下对应的平均速度的情况，列表如下 t2/s t1/s时间t的改变量 (Δt=t2−5)/s 高度的改变量(Δℎ=1 2 g(t 2 2− 52)/m 平均速度 (Δℎ Δt )/(m/s) 4.95−0.1−0.485148.51 4.995−0.01−0.4895148.95 4.99 9 5−0.001−0.048995148.9951

高中数学_变化率问题教学设计学情分析教材分析课后反思

变化率问题教学设计 一.内容和内容解析；内容：平均变化率的概念及其求法；内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导；教学重点：函数平均变化率的概念；二.目标和目标解析；新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化；目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率；1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变； §1.1.1 变化率问题 一. 内容和内容解析 内容：平均变化率的概念及其求法。 内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 教学重点：函数平均变化率的概念。 二.目标和目标解析 新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。 目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。目标解析：

1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 三.教学问题诊断分析 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。 教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，准备计算机、多媒体课件等。 1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。 2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有 认知基础上获取知识，提高思维能力，保持高水平的思维活动，符合学生的认知规律。 五.教学过程设计 1.问题情景 从生活述语和学生比较熟悉的刘翔引入课题。

【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用 《5.1.1变化率问题》教学设计 第2课时 ◆教学目标 1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． ◆教学重难点 ◆ 教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法 教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 ◆课前准备 PPT课件． ◆教学过程 【新课导入】 问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题： （1）本节将要探究哪类问题？ （2）本节探究的起点是什么？目标是什么？ 师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题． （1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题． （2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升． 设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架． 问题2：什么叫直线与圆相切？ 师生活动：学生回顾并回答． 预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？ 设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．

【探究新知】 知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究． 问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解． 与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近 任取一点2()P x x ， ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况. 如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率 抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2 (1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1 Δ21(1Δ)1 f x f x k x x x -+-===+-+-. 我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格. 0x ∆< 0x ∆> x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01- 1.99 0.01 2.01 0.001- 1.999 0.001 2.001 0.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001- 1.999999 0.000001 2.000001 …… …… 当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.

高中数学选修11《变化率问题》教案

人教版选修1-1第三章导数及其应用P72—74 t (d) 20 303421020 30 A (1, 3.5) B (32, 18.6) C (34, 33.4) T (℃)210

教材分析 本节课是导数的起始课，教材从变化率问题开始，引入平均变化率的概念，并用平均变化率探求瞬时变化率，然后，从数学上给予变化率在数量上的精确描述，即导数。这样处理符合学生的认知规律，使学生的导数学习有了生长点，因此函数平均变化率教学的成败，直接决定导数概念的学习与理解。 二、教学目标分析 1、知识与技能：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学 模型提供丰富的背景。 2、过程与方法：感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述 和刻画现实世界的过程。 3、情感态度与价值观：体会平均变化率的思想及内涵，使学生逐渐掌握数学研 究的基本思考方式和方法，培养学生互相合作的风格以 及勇于探究、积极思考的学习精神。 三、重点与难点分析: 根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下： 重点：平均变化率的实际意义和数学意义 难点：平均变化率概念的理解和运用 四、学情分析 1、有利因素： 高二学生个性活泼、思维活跃、积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的意志与能力。 2、不利因素： 学生两极分化开始形成，学生个体差异比较明显。 五、教法学法 根据对教材、重难点、目标及学生情况的分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定以下教法、学法： 探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学。遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 六、教学过程设计 （一）创设情景、激发热情 [情境1]： 法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52m/s。 平均速度的数学意义是什么? 【设计意图】 数学学习过程中的兴趣是主体性学习的内在动力，也是学好数学的基本保

关于两堂“变化率问题”课的思考

关于两堂“变化率问题”课的思考 关于两堂“变化率问题”课的思考 人民教育出版社中学数学室王嵘 本次课题研讨会中安排的两节“变化率问题”课的教学设计差别很大，出现的问题也不少，因此引发了很多争论。下面，就三个方面谈谈对本课的思考。 1．教学内容的安排 在教科书中，“3.1 变化率与导数”划分为两部分“3.1.1 变化率问题”和“3.1.2导数的概念”，建议4课时。教师甲的教学内容就是“3.1.1变化率问题”，即平均变化率及其几何意义；教师乙的教学内容是“3.1.1变化率问题”和“3.1.2导数的概念”中的瞬时变化率。研讨的时候，大多数老师认为，教师乙的教学内容安排比较好，一是内容比较丰满，二是展现了从平均变化率到瞬时变化率的完整过程。如果教学设计做得好，那么从平均变化率到瞬时变化率会是一堂非常精彩的课。因为，这个知识本身的内涵就很丰富，而且教学设计的变化点也很多。相比之下，如果一堂课只是讲平均变化率及其几何意义，似乎就会单薄、逊色很多，特别是公开课的时候。但是，如果放大这两节课的一个共同点，即使只有平均变化率及其几何意义这个知识点，这堂课也能收到满意的效果。这个共同点，就是两位老师不约而同都提到的微积分的发展史，只是，他们对微积分发展史的介绍过于简单和粗糙，上完课，学生可能对此一点印象都没有留下。 我们总是说，要让学生接受数学文化的熏陶、体会数学的价值，但是在课堂上，却做得很少。像微积分这样有文化底蕴的数学内容，为什么不抓住这绝好的时机介绍它的发展史呢，更何况是在引入微积分的时候。在这里，发展史的介绍不仅仅是文化上的熏陶，还有更多的作用，比如了解微积分的概貌及其在数学中的位置；相关数学家的工作，既能让学生看到智慧之光，又能让学生从两千年的艰辛历程中明白即使在学习中有些困惑疑难也并不奇怪，坚持思考是通向成功之门的钥匙；有关微积分起源的具体例子的列举，像计算抛物线弓形的