5.1.1变化率问题教学设计

5.1.1变化率问题教学设计

【教学内容】

平均速度的极限，瞬时速度

【教学目标】

1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想.

2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.

3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系.

【教学重难点】

重点：瞬时速度和微分思想.

难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想.

【教学过程设计】

视频展示微积分产生的背景

引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。

一.创设情境提出问题

问题1 高台跳水运动员的速度

在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度

，与起跳后的时间存在函数关系：2

=-++.

() 4.9 2.811

h t t t

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。

在00.2t ≤≤这段时间里：

(1.5)(1)

1.51

h h v -=

-9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1)

11

h m h h m h v m m +-+-=

=

+-

追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121

()()h t h t v t t -=

-124.9() 2.8.

t t =-++

设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。 二.联想激活 寻求方法

计算运动员在407

t ≤≤这段时间里的平均速度.4()(0)70/407

h h v m s -==- 思考：

(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?

(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

瞬时速度概念：我们把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

师生活动：教师引导学生得出，在这段时间内，运动员的平均速度是0，但运动员几乎一直处于运动状态。从而引起学生的认知冲突，进而引入瞬时速度的概念。

设计意图：继续用归纳得出的一般方法求给定区间的平均速度，一方面是承接前面知识点，是对一般方法的再应用，另一方面通过思考两个问题，引导学生深入思考，在最近发展区内引发学生认知冲突，从而引导学生认识到平均速度并不能准确地描述运动员的运动状态，为了更准确地描述运动员的运动状态，从而在原有基础上进一步提出新的概念，也就是瞬时速度。这样，就很好的介绍了引入新概念的必要性。 探究

瞬时速度与平均速度有什么区别和联系?你能利用这种关系求运动员在

1t s =时的瞬时速度吗?

师生活动：教师首先引导学生认识瞬时速度与平均速度之间的关系：PPT 展示图象，引导学生从图象入手，直观感受二者之间的关系，通过互问互答的方式，有效引导学生思考当0t ∆→时平均速度的变化情况。 数学实践

当0t ∆<时，在时间段[]1,1t +∆内

当0t ∆>时，在时间段[]1,1t +∆内

时间段

t ∆

4.97v t =-∆-

时间段

t ∆

4.97v t =-∆-

[]0.99,1 0.01- 6.951- []1,1.01 0.01 7.049- []0.999,1 0.001-

6.9951- []1,1.001 0.001

7.0049- []0.9999,1 0.0001- 6.99951-

[]1,1.0001 0.0001

7.00049-

[]0.99999,1

0.00001- 6.999951- []1,1.00001

0.00001 7.000049- []0.999999,1 0.000001- 6.9999951-

[]1,1.000001

0.000001 7.0000049-

师生活动：学生自己动手，完成表格，过程中教师提醒，先化简平均速度的一般形式，再代数求解具体数值，帮助学生体会公式化简的好处。

观察：你有什么发现？当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？

师生活动：表格完成后留一分钟先让学生独立观察思考，再留三分钟小组内交流讨论，最后由小组代表发言，其他小组做补充。教师点评后总结出结论：随着时间间隔的不断变小，平均速度越来越接近于7-。

设计意图：平均速度和瞬时速度的联系是重点也是这节课的难点，如何有效引导是关键。首先，选择区间段()()()1,11,1t t +∆+∆或，通过PPT 展示图象，直观感受当0t ∆→时，平均速度和瞬时速度的联系，从图象入手，定性分析。为了数学的严谨性，引导学生定量分析，让学生自己动手，完成学案上提供的表

格，通过亲身的参与，学生的认识程度加深，更有利于学生理解和记忆。

追问：你认为通过上述列表计算瞬时速度的过程可靠吗？

师生活动：教师提出问题后让学生思考讨论，选若干学生发言。教师点评，启发学生认识到，通过前面计算的平均速度的值，尽管我们发现“随着时间间隔的不断变小，平均速度越来越接近于7-”，但这种计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特性。因此需要从理性的角度加以“说明”。

()()0

(1)(1)(1)(1)

4.97.

11

(1)(1)

4.977.

lim

lim t t h t h h t h v t t t h t h t t ∆→∆→+∆-+∆-=

==-∆-+∆-∆+∆-∴=-∆-=-∆

设计意图：让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，并由此体会极限思想。 学习目标1

能够理解平均速度和瞬时速度的概

念，能够认识到瞬时速度的本质是平均速度的极限，并能由此体会极限思想.

能基本理解瞬时速度的本质就是平均速度的极限. 能基本了解瞬时速度的求法.

评价等级 A B C

思考：

（1）求运动员在0.5t s =时的瞬时速度.

0(0.5)(0.5)

(0.5)lim

t h t h v t ∆→+∆-=∆0lim( 4.9 2.1) 2.1t t ∆→-∆-=-

（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻o t 的瞬时速度？

t t h t t h t v t ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(0000)8.48.9()]8.48.9(9.4[lim 000--=--∆-→∆t t t t

师生活动：两分钟学生独立完成，借助投影展示成果。

设计意图：此处设计了两个思考题，第一个小问题帮助学生及时巩固前面得到的结论，第二个小问题则是通过前面两个问题的解答，进一步归纳求瞬时速度的一般方法，是思维能力的再提升。 三.具体问题 具体分析

例：火箭发射ts 后，其高度（单位：m )为()20.9h t t =.求： （1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度.

师生活动：两分钟学生独立完成，小组内统一第一问答案，小组代表投影展示第二问答题过程。

设计意图：通过例题，完成对本节课知识点的及时巩固和提升。 学习目标2

能够熟练掌握瞬时速度的一般求法，并能进一步体会极限思想.

会求具体时刻的瞬时速度. 能直接代公式求瞬时速度.

评价等级

A

B C

四．反思凝练 感悟升华 1.我们收获了哪些知识？ 2.我们是怎样获得这些知识的？

3.我们在获得这些知识的过程中用到了哪些思想、方法？

4.你还有哪些疑惑？

五．达标检测 学以致用

1.一个小球从5m 的高处自由下落，其位移()y m 单位：与时间()t s 单位：之间的关系为()24.9y t t =-.求1t s =时小球的瞬时速度.

2.圆的面积

()

2S cm 单位：与半径()R cm 单位：的关系为2

S R π=.求5R cm =时面积关

于半径的瞬时变化率.

3.已知车轮旋转的角度()rad θ单位：与时间()t s 单位：之间的关系为()2

258

t t πθ=.求车轮转动开始后第3.2s 时的瞬时角速度.

高中数学变化率问题教案

§1.1.1变化率问题 教学目标 1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义； 3．会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 教学难点：平均变化率的概念． 教学过程： 一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 二．新课讲授 （一）问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少 ?

变化率问题教案

变化率问题教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

课 题 变化率问题 【导学过程】 课内探究学案 一、学习目标 知道平均变化率的定义。会用公式来计算函数在 指定区间上的平均变化率。 二、学习过程 学习探究 探究任务一： 问题1 课本气温图曲线 新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x -?=-? 试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ?，即 x ?= 或者2x = ，x ?就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为 y ?，即y ?= ；如果它们的比值y x ??，则上式就表示为 ，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值. 典型例题 练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率. 练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率. 【达标检测】 1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +?时，函数的改变量y ?为（ ） A ．0()f x x +? B ．0()f x x +? C ．0()f x x ? D ．00()()f x x f x +?- 3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +?中，相应的平均速度为（ ） A ．6t +? B ．96t t +?+? T(月) W(kg) 6 3 9 12 3.5 6.5 8.6 11

变化率问题教案

第三章 导数及其应用 3.1.1变化率问题 教师：何永江 三维目标： 知识目标：1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力； 2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。 情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。 教学重点：1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率； 教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法：引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。 教学过程设计： 一．创设情境 产生的背景及其作用 【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对所学内容有更深刻的理解乃至欣赏，并领悟到问题的本质. 二．新课讲授 （1）问题提出： 【设计意图情况，让学生得出平均变化率的概念。 问题一 气温平均变化率 【学生探索】 问题1：A 到B 和B 到C 问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？” 问题3从图中观察出各时间段内的温度变化情况,怎样用数学知识表示这种现象？（先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。） 问题4：如果把气温C 看作时间t 的函数，即C=f(t),则t 1至t 2这段时间内气温的平均变化率如何表示？ 问题5：若函数关系为y=f (x) , 当x 从x 1增加到x 2时，则它的平均变化率如何表示？ 【获取新知】平均变化率概念: 平均变化率：式子1 212)()(x x x f x f -- ，称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率。 习惯上用1212x x x x x x -=?-?，即表示, )()(12x f x f f -=?

高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计

《变化率问题》教学设计 教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”， 一、教学内容分析 导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。 平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。 从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。 基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。 二、学生情况分析 （一）、学生已有的认知基础 1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。并能从图像中看出函数变化的快与慢。 2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。

（二）可能存在的认知困难 1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。 2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。 基于上述分析，我将本节课的教学难点确定为：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。； 三、教学目标设计 《课程标准》对本节课的要求是： 1、通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会导数的思想及其内涵。 2、通过函数图象直观地理解导数的几何意义。 然而，课程教学目标不完全等同于课堂教学目标，课堂教学目标应该具体化，具有“可操作性”和“可检测性”，通过对《课程标准》的解读，我将本节课的课堂教学目标确定为： 1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义； 2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义； 3.体会数形结合的思想方法； 四、教学策略分析 1、为了有效的突破教学难点，突出平均变化率的概念本质，借用苏教版《变化率问题》

变化率问题 说课稿 教案 教学设计

变化率问题 学习目标 1. 知识与技能 平均变化率的概念;平均变化率的几何意义， 函数在某点处附近的平均变 化率 2. 过程与方法 理解平均变化率的概念; 会求函数在某点处附近的平均变化率 3. 情感态度与价值观 学习重点 平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率 学习难点 平均变化率的概念. 学习连接 学习过程 一、创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具. 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二、新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(πV V r = 分析: 343)(π V V r = (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.00 1)0()1(L dm r r ≈-- (2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01 2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考: 当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 1 212)()(V V V r V r --

5.1.1变化率问题教学设计

5.1.1变化率问题教学设计 【教学内容】 平均速度的极限，瞬时速度 【教学目标】 1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，认识瞬时速度的本质是平均速度的极限，初步体会极限思想. 2.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 3.能用数学解释“变化快慢”的生活现象，通过具体实例，体会数学与其他学科的联系. 【教学重难点】 重点：瞬时速度和微分思想. 难点：在瞬时速度的计算过程中体会极限思想. 【教学过程设计】 视频展示微积分产生的背景 引导语：为了解决视频中提到的四类问题，十七世纪中叶，牛顿和莱布尼茨分独别立地创立了微积分。导数是微积分的核心内容之一，借由视频最后提到的两类变化率问题，开启我们的导数之旅。 一.创设情境提出问题 问题1 高台跳水运动员的速度 在高台跳水运动中，假设全红婵在运动过程中的重心，相对于水面的高度 ，与起跳后的时间存在函数关系：2 =-++. () 4.9 2.811 h t t t 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

师生活动：给出问题后，教师启发学生可以用平均速度近似描述运动员的运动状态；复习平均速度的概念，计算对应时间段的平均速度，师生共同完成，此处可让学生投影展示化简过程，简述化简技巧。 在00.2t ≤≤这段时间里： (1.5)(1) 1.51 h h v -= -9.45(/)m s =- 在11t m ≤≤+这段时间里：()(1)(1)(1)(1) 11 h m h h m h v m m +-+-= = +- 追问：一般的，在12t t t ≤≤这段时间里：2121 ()()h t h t v t t -= -124.9() 2.8. t t =-++ 设计意图：此处设计了三个不同的时间段，第一个是常规的时间段，对接学生已学知识，帮助学生及时回顾平均速度的概念，第二个时间段换了一种表达方式，为引出()1,1t +∆做铺垫，第三个是归纳总结平均速度的一般求法，进而归纳求平均变化率的一般方法。 二.联想激活 寻求方法 计算运动员在407 t ≤≤这段时间里的平均速度.4()(0)70/407 h h v m s -==- 思考： (1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 瞬时速度概念：我们把物体在某一时刻的速度叫做瞬时速度。

高中数学第5章-5.1.1-变化率问题

一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义 5.1.1 变化率问题 素养目标 学科素养 1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点) 2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点) 1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算 情境导学 你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈． 当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 1．平均速度与瞬时速度 在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )． (1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度． (2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度． 设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度． (3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是

正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)Δx与Δy的值均可取0.() ×提示：Δy可为0，但Δx不能为0. (2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．() ×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度． (3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√) 2．抛物线的切线的斜率 当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0. 1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为() A．3 B．4 C．5 D．7 B解析：lim Δx→0＝ s(2＋Δt)－s(2) Δt＝4. 2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4 C．3 D．2 B解析：k＝lim Δx→0f(2＋Δx)－f(2) Δx＝4. 3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．

变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多． （5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？

5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)

5.1.1变化率问题教学设计 一、课时教学内容 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 二、课时教学目标 1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系. 2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题. 3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率. 三、教学重点、难点 1、教学重点 瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法. 2、教学难点 割线与切线的斜率. 四、教学过程设计 环节一创设情境，引入课题 为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑． 微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；

二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分． 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导 数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具． 在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义． 5.1导数的概念及其意义 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题． 5.1.1变化率问题 问题1高台跳水运动员的速度 探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系 2() 4.9 4.811h t t t =-++． 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ 直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里， (0.5)(0) 2.35(m /s)0.50 h h v -= =-； 在12t ≤≤这段时间里， (2)(1) 9.9(m /s)21 h h v -= =--

5.1.1 变化率问题

第五章一元函数的导数及其应用 [数学文化]——了解数学文化的发展与应用 (一)早期导数概念——特殊的形式 大约在1629年，法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法，1637年左右，他写了一篇手稿《求最大值与最小值的方法》.在作切线时，他构造了差分f(A＋E)－f(A)，发现的因子E就是我们现在所说的导数f′(A). (二)17世纪——广泛使用的“流数术” 17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，在前人创造性研究的基础上，大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分.牛顿的微积分理论被称为“流数术”，他称变量为流量，称变量的变化率为流数，相当于我们所说的导数. (三)19世纪导数——逐渐成熟的理论 1823年，柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数：如果函数y＝f(x)在变量x 的两个给定的界限之间保持连续，并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值，那么是使变量得到一个无穷小增量.19世纪60年代以后，魏尔斯特拉斯对微积分中出现的各种类型的极限重加表达，导数的定义也就获得了今天常见的形式. [读图探新]——发现现象背后的知识 1.我们从物理学中已经知道，物体运动的位移x、速度v、加速度a(均指大小，下同)之间具有紧密的联系.速度描述了位移变化的快慢，加速度描绘了速度变化的 快慢，即v＝Δx Δt，a＝ Δv Δt，

其中t表示时间，Δt表示时间的变化量. 特别地，当物体做的是初速度为v0的匀加速直线运动时，a是一个常数，此时 x＝v0t＋1 2at 2，v＝v0＋at. 2.我们知道，物体在做曲线运动时，速度的方向是与运动轨迹相切的.例如，如图所示的砂轮打磨下来的微粒，是沿着飞轮的切线飞出去的.这也就意味着，求切线是研究曲线运动时经常要做的事情. 我们在平面解析几何中已知知道怎样求圆锥曲线的切线.不过，可能会让你感到意外的是，那种求切线的方法并不适用于一般的曲线.然而，借助于导数来讨论曲线的切线更具有一般性. 问题1：物体运动的速度和位移有什么关系？加速度和速度又是什么关系呢？ 问题2：假设切点为(x0，y0)，如何求曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程呢？链接：(1)如果从本章我们要学习的导数知识来看的话，上述速度就是位移关于时间的导数，而加速度就是速度关于时间的导数，即v＝x′＝v0＋at，a＝v′， 其中x′与v′分别表示x与v对时间t的导数. (2)由导数的几何意义，切线的斜率为k＝f′(x0)，则曲线y＝f(x)在点(x0，y0)处切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).

变化率与导数教学设计(共7篇)

变化率与导数教学设计（共7篇） 第1篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.2. 教学重点/难点 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.3. 教学用具 多媒体 4. 标签 变化率与导数 教学过程 课堂小结 课后习题 第2篇：1.1变化率与导数教学设计教案 教学准备 1. 教学目标 （1）理解平均变化率的概念.（2）了解瞬时速度、瞬时变化率、的概念.（3）理解导数的概念 （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率.2. 教学重点/难点 教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成和理解教学难点：会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数 3. 教学用具 多媒体、板书 4. 标签 教学过程

一、创设情景、引入课题 【师】十七世纪，在欧洲资本主义发展初期，由于工场的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研究中取得了丰硕的成果―――微积分的产生。 【板演/PPT】 【师】人们发现在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 【板演/PPT】让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。 【设计意图】自然进入课题内容。 二、新知探究 [1]变化率问题【合作探究】探究1 气球膨胀率 【师】很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是如果将半径r表示为体积V的函数,那么 【板演/PPT】【活动】【分析】 当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为（1）当V从1增加到2时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为0.62>0.16 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．【思考】当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少? 解析：探究2 高台跳水 【师】在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? （请计算） 【板演/PPT】【生】学生举手回答 【活动】学生觉得问题有价值，具有挑战性，迫切想知道解决问题的方法。【师】解析：h(t)=-4.9t2+6.5t+10 【设计意图】两个问题由易到难，让学生一步一个台阶。为引入变化率的概念以及加深对变化率概念的理解服务。

5.1.1 平均变化率(配套教学设计)-苏教版高二数学选择性必修第一册

5.1.1平均变化率 教学目标： 1．通过对一些实例的直观感知，构建平均变化率的概念； 2．理解利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢的原理； 3．通过从实际生活背景中构建数学模型来引入平均变化率，领会以直代曲和数形结合的思想． 教学重点： 会利用平均变化率来刻画变量变化得快与慢． 教学难点： 对平均变化率概念的本质的理解． 教学过程： 一、情景设置 为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图所示的气温曲线图（以3月18日作为第一天）． 容易看出点B、C之间的曲线比点A、B之间的曲线更加“陡峭”．陡峭的程度反映了气温变化的快与慢． 问题：如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢？ 二、学生活动 从B到C位移“陡增”，这是我们从图象中的直观感觉，那么如何量化“陡峭”程度呢？ 1．探究1：由点B上升到C点必须考察y C－y B的大小，但仅注意到y C－y B 的大小能否精确量化BC段“陡峭”的程度？为什么？

2．探究2：还必须考察什么量？ 3．探究3：曲线上BC 之间的一段几乎成了直线，由此联想到如何量化直线的倾斜程度？ 三、数学建构 1．平均变化率． 函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为： 1 212)()(x x x f x f －－ 说明： （1）平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． （2）若设12x x x －＝∆，)()(12x f x f y －＝∆，则)(x f 在[x 1，x 2]平均变化率为x x f x x f x y x x x f x f ∆∆∆∆)()()()(111212－＋＝＝－－． （3）)(x f 在[x 1，x 2]平均变化率的几何意义即为区间两端点连线所在直线的斜率． 四、数学运用 例1 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图1所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率． 解：从出生到第3个月，该婴儿体重的平均变化率为 月），（＝－－/kg 10 35.35.6 从第6个月到第12个月，该婴儿体重的平均变化率为 月）．（＝＝－－/kg 4.06 4.26126.811

变化率问题教学设计

人教版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节变化率与导数 §1.1.1 变化率问题 长沙市雷锋学校（410217） 一.内容和内容解析 内容：平均变化率的概念及其求法。 内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析研究气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 教学重点：函数平均变化率的概念。 二.目标和目标解析 新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式，而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。 目标：理解平均变化率的概念及内涵，掌握求平均变化率的一般步骤。 目标解析： 1.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。 2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。 三.教学问题诊断分析 吹气球是很多人具有的生活经验，运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这两个实例的共同点是背景简单。从简单的背景出发，既可以利用学生原有的知识经验，又可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从具体实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。 教学难点：如何从两个具体的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，准备计算机、投影仪、多媒体课件等。 1.在信息技术环境下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发学生的学习兴趣，通过演示平均变化率的几何意义让学生更好地体会数形结合思想。 2.通过应用举例的教学，不断地提供给学生比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特殊到一般的思维过程，既关注了学生的认知基础，又促使学生在原有

学案2：5.1.1　变化率问题

5.1.1变化率问题 【课标要求】 课程标准：通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程． 学习重点：瞬时速度的求法． 学习难点：求瞬时速度的极限方法. 【新知拓展】 对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)Δt是时间的改变量，Δt趋近于0是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0. 【评价自测】 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负，但不能为0.() (2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量．() (3)高台跳水运动员的平均速度可正可负．() 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若h＝－3t2＋2，当t由2变为1时，h的变化量为________. (2)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s＝5t2，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. (3)抛物线y＝x2在x＝2处的切线斜率为________. (4)在高台跳水运动中，t s时相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________. 【题型探究】 题型一求平均速度与瞬时速度 例1一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2. (1)求t＝0到t＝2时的平均速度；

(2) 求此物体的初速度； (3) 求此物体在t ＝2时的瞬时速度． [金版点睛] 要计算物体的瞬时速度，只要给时间一个改变量Δt ，求出相应的位移的改变量Δs ，再求出 平均速度v －＝Δs Δt ，最后计算当Δt 趋近于0时，Δs Δt 趋近于的常数，就是物体在该时刻的瞬时速度． [跟踪训练1] 若一物体的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系为 s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t 2＋2，t ≥3，29＋3（t －3）2，0≤t ＜3， 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 题型二 求抛物线在某一点处切线的斜率 例2 已知函数y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x ，0≤x <2，2（x －1）2，x ≥2.求抛物线在x ＝1和 x ＝4处的切线斜率．

5.1.1变化率问题(教学设计)

5.1.1变化率问题 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题 本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 课程目标学科素养 A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬 时速度，体会求瞬时速度的一般方法. B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程， 体会求切线斜率的一般方法. C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的 概念． 1.数学抽象：函数的变化率 2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系 3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率 4.数学建模：函数的变化率 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 多媒体

来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。 例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0 =2.35(m/s) 在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅= ℎ(2)−ℎ(1)2−1 =−9.9(m/s) 一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里， v̅= ℎ(t 2)−ℎ(t 1) t 2−t 1 =−4.9(t 1+t 2)+4.8 探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤48 49这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。 探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？ 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ .