新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(十一) 变化率问题
1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2
,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4
D ．－2d －4
解析：选D 平均速度为5－21＋d 2
－5＋2×1
2
1＋d －1
＝－4－2d .故选D.
2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )
A.2
5 kg/m B ．3
5 kg/m C.3
4
kg/m D ．1
2
kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4
9－4
＝
39－49－4
＝3
5
(kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2
,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( )
A ．－1 m/s
B ．1 m/s
C ．2 m/s
D ．6 m/s
解析：选A ∵Δs Δt ＝
5t ＋Δt －t ＋Δt
2
－5t －t
2
Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体
在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0
Δs
Δt
＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2
在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12
D ．－1
解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx
2
－a
Δx
＝2a .
又∵切线的斜率为2,∴a ＝1.
5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13
t 3
,则该物体在时间间隔
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，32内的平均加速度为________．
解析：平均加速度Δv Δt ＝32＋13·⎝ ⎛⎭⎪⎫323－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1332－1＝31
12
.
答案：3112
6．过曲线y ＝x 2
上两点A (2,4)和B (2＋Δx,4＋Δy )作割线,当Δx ＝0.1时,割线AB 的斜率为________．
解析：因为k AB ＝Δy
Δx ＝
Δx ＋22－22Δx ＝Δx 2
＋4Δx
Δx
＝Δx ＋4,所以当Δx ＝0.1时,
割线AB 的斜率为4.1.
答案：4.1
7．曲线y ＝－3x 2＋2x ＋1在点(－2,－15)处的切线方程为________． 解析：由lim Δx →0
－3Δx －2
2
＋2Δx －2＋1－[－3×－2
2
－4＋1]
Δx
＝lim Δx →0(－3Δx ＋14)＝14,可得所求切线方程为y ＋15＝14(x ＋2),即14x －y ＋13＝0. 答案：14x －y ＋13＝0
8．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2
＋1做直线运动(s 表示位移大小,单位：m ；t 表示时间,单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度大小为8 m/s,则常数a 为________．
解析：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2
＋1－a ·22
－1＝4a Δt ＋a (Δt )2
,所以Δs Δt
＝4a ＋a Δt .当t ＝2时,瞬时速度大小为li m Δt →0 Δs Δt ＝4a ,可得4a ＝8,所以a ＝2. 答案：2
9．运动员从10 m 高台跳水时,从腾空到进入水面的过程中,不同时刻的速度是不同的．设起跳t s 后运动员相对水面的高度(单位：m)为H (t )＝－4.9t 2
＋6.5t ＋10,计算在2 s 时运动员的瞬时速度．
解：运动员在[2,2＋d ](或[2＋d,2])这个时间区间内的平均速度为H 2＋d －H 2
d
＝－4.9d 2
－13.1d d
＝－13.1－4.9d .
在平均速度表达式－13.1－4.9d 中,当d 趋近于0时,－13.1－4.9d 趋近于－13.1. 因此,在2 s 时运动员的瞬时速度是－13.1 m/s.
10．若一物体的运动方程如下：(位移s 的单位：m,时间t 的单位：s)s ＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
3t 2
＋2，t ≥3， ①29＋3t －32
，0≤t <3. ②
求：(1)物体在[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v 0；
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
解：(1)因为物体在[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2,物体在[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52
＋2－(3×32
＋2)＝3×(52
－32
)＝48,
所以物体在[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝48
2＝24 m/s.
(2)求物体的初速度v 0,即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为Δs Δt
＝
s 0＋Δt －s 0
Δt
＝
29＋3[0＋Δt －3]2
－29－3×0－3
2
Δt
＝3Δt －18,
所以物体在t ＝0处的瞬时速度为lim Δt →0Δs
Δt ＝lim Δt →0(3Δt －18)＝－18. 即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t ＝1时的瞬时速度,即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为Δs Δt
＝
s 1＋Δt －s 1
Δt
＝
29＋3[1＋Δt －3]2
－29－3×1－3
2
Δt
＝3Δt －12,
所以函数在t ＝1时的瞬时变化率为lim Δt →0
Δs
Δt ＝lim Δt →0
(3Δt －12)＝－12. 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
1．若曲线f (x )＝x 2
＋ax ＋b 在点(0,b )处的切线方程是x －y ＋1＝0,则( ) A ．a ＝1,b ＝1 B ．a ＝－1,b ＝1 C ．a ＝1,b ＝－1
D ．a ＝－1,b ＝－1
解析：选A 因为点(0,b )在切线x －y ＋1＝0上,所以b ＝1.又lim Δx →0
f 0＋Δx －f 0
Δx
＝lim Δx →0
Δx
2
＋a Δx
Δx
＝a ,由切线方程x －y ＋1＝0知斜率k ＝1,故a ＝1.
2．物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s),求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．
解：物体在[1,1＋Δt ]内的平均速度为
S 1＋Δt －S 1
1＋Δt －1
＝
1＋Δt ＋1－1＋1
Δt
＝2＋Δt －2
Δt
＝
2＋Δt －22＋Δt ＋2
Δt
2＋Δt ＋2
＝
1
2＋Δt ＋2
(m/s),
即物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度为
12＋Δt ＋ 2
m/s.
3．已知某化学物质在溶液中反应时的浓度随时间变化而变化(温度不变),下表记录了某温度下该化学物质在溶液中反应时不同时刻t 的浓度C (t ).
t 0 2 4 6 8
C (t )
0.080 0 0.057 0 0.040 8 0.029 5 0.021 0
(1)2≤t ≤6；(2)2≤t ≤4；(3)0≤t ≤2. 解：(1)v ＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪0.029 5－0.057 06－2＝0.006 875.
(2)v ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪0.040 8－0.057 04－2＝0.008 1. (3)v ＝⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪0.057 0－0.080 02－0＝0.011 5.
2020年高中数学课时跟踪检测含解析(全一册)新人教A版
2020年高中数学课时跟踪检测含解析 新人教A版 课时跟踪检测一变化率问题导数的概念 课时跟踪检测二导数的几何意义 课时跟踪检测三几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课时跟踪检测四复合函数求导及应用 课时跟踪检测五函数的单调性与导数 课时跟踪检测六函数的极值与导数 课时跟踪检测七函数的最大小值与导数 课时跟踪检测八生活中的优化问题举例 课时跟踪检测九定积分的概念 课时跟踪检测十微积分基本定理 课时跟踪检测十一定积分的简单应用 课时跟踪检测十二合情推理 课时跟踪检测十三演绎推理 课时跟踪检测十四综合法和分析法 课时跟踪检测十五反证法 课时跟踪检测十六数学归纳法 课时跟踪检测十七数系的扩充和复数的概念
课时跟踪检测十八 复数的几何意义 课时跟踪检测十九 复数代数形式的加减运算及其几何意义 课时跟踪检测二十 复数代数形式的乘除运算 课时跟踪检测（一） 变化率问题、导数的概念 一、题组对点训练 对点练一 函数的平均变化率 1．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3,则a ＝( ) A ．－3 B ．2 C ．3 D ．－2 解析：选C 根据平均变化率的定义,可知Δy Δx ＝(2a ＋b )－(a ＋b ) 2－1 ＝a ＝3. 2．若函数f (x )＝－x 2 ＋10的图象上一点? ????32，314及邻近一点? ????32＋Δx ，314＋Δy ,则 Δy Δx ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－3－(Δx )2 D ．－Δx －3 解析：选D ∵Δy ＝f ? ????32＋Δx －f ? ?? ??32＝－3Δx －(Δx )2 , ∴Δy Δx ＝－3Δx －(Δx ) 2 Δx ＝－3－Δx . 3．求函数y ＝f (x )＝ 1 x 在区间[1,1＋Δx ]内的平均变化率． 解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 11＋Δx －1 ＝ 1－1＋Δx 1＋Δx ＝1－(1＋Δx ) (1＋1＋Δx )1＋Δx ＝－Δx (1＋1＋Δx )1＋Δx , ∴ Δy Δx ＝－1(1＋1＋Δx )1＋Δx . 对点练二 求瞬时速度 4．某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 3 －2表示,
新教材高中数学课时跟踪检测十一变化率问题新人教A版选择性必修第二册
课时跟踪检测(十一) 变化率问题 1．某物体的运动方程为s ＝5－2t 2 ,则该物体在时间[1,1＋d ]上的平均速度为( ) A ．2d ＋4 B ．－2d ＋4 C ．2d －4 D ．－2d －4 解析：选D 平均速度为5－21＋d 2 －5＋2×1 2 1＋d －1 ＝－4－2d .故选D. 2．一根金属棒的质量y (单位：kg)关于长度x (单位：m)的函数关系式为f (x )＝3x ,则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( ) A.2 5 kg/m B ．3 5 kg/m C.3 4 kg/m D ．1 2 kg/m 解析：选B 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是f 9－f 4 9－4 ＝ 39－49－4 ＝3 5 (kg/m)． 3．一物体做直线运动,其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝5t －t 2 ,则该物体在t ＝3 s 时的瞬时速度是( ) A ．－1 m/s B ．1 m/s C ．2 m/s D ．6 m/s 解析：选A ∵Δs Δt ＝ 5t ＋Δt －t ＋Δt 2 －5t －t 2 Δt ＝5－2t －Δt ,∴该物体 在t ＝3 s 时的瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt ＝－1 m/s,故选A. 4．曲线y ＝ax 2 在点(1,a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行,则a 等于( ) A ．1 B ．12 C ．－12 D ．－1 解析：选A 切线的斜率为lim Δx →0a 1＋Δx 2 －a Δx ＝2a . 又∵切线的斜率为2,∴a ＝1. 5．已知某物体运动的速度与时间之间的关系式是v (t )＝t ＋13 t 3 ,则该物体在时间间隔 ⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤1，32内的平均加速度为________．
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.1变化率问题 要点一 平均速度与瞬时速度 1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1 . 2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt 的极限，记为 lim Δt → h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度． 【重点小结】 在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前． 当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率 抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1) Δx . 【重点小结】 当Δx 无限趋近于0时， k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx 的极限，记为 lim Δx → f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0. 【基础自测】 1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( ) (2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( ) (3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( ) (4)一物体的运动方程是S ＝1 2 at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( ) 【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A 【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3 ＝1.890.3＝6.3，故选A. 3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81
数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析
十二变化率问题 (25分钟·50分) 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( ) A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s) C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s) 【解析】选 A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是==(Δt+5)(m/s). 2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是( ) A. B. C.1 D.2 【解析】选B.Δs=2+Δt+-2- =Δt-,=1-, 所以t=2时的瞬时速度为 ==. 3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15
【解析】选C.= =3+3Δx+(Δx)2, 则曲线在点P(1,12)处的切线斜率 k=[3+3Δx+(Δx)2]=3, 故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9. 4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为 ( ) A.y=9x B.y=9x-26 C.y=9x+26 D.y=9x+6或y=9x-26 【解析】选D.设P(x0,y0),= = =(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0. 所以[(Δx)2+3x 0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1, 因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3). 又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(导学案)
5.1.1变化率问题 导学案 1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法. 2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法. 3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念． 重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法 难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念 1．平均变化率 对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率Δy Δx ＝ ＝ . x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2 －f x 1x 2－x 1 ；f x 1＋Δx －f x 1 Δx 2.瞬时速度与瞬时变化率 (1)物体在________的速度称为瞬时速度． (2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝ . 某一时刻； lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx
3．曲线的切线斜率 (1)设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率f x－f x0 x－x0＝ f x0＋Δx－f x0 Δx为割线P0P的_____． (2)当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y ＝f (x)在x0处的____的斜率即k＝. 斜率；切线；lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx；lim Δx→0 f x0＋Δx－f x0 Δx 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (4)函数y＝f (x)在某x＝x0的切线斜率可写成 k＝lim Δx→0f x0＋Δx－f x0 Δx． 2．函数y＝f (x)，自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的改变量Δy为() A．f (x0＋Δx)B．f (x0)＋Δx C．f (x0)·Δx D．f (x0＋Δx)－f (x0) 3．若一质点按规律s＝8＋t2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是() A．4 B．4.1 C．0.41 D．－1.1 一、学习导引 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。
变化率问题(1)课时教学设计-高中数学人教版选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（1） （一）教学内容 通过实例分析，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，体会求瞬时速度的一般方法. （二）教学目标 通过实例分析，理解平均速度与瞬时速度的概念及关系，经历由平均速度过渡到瞬时速度的过程，不断渗透"用运动变化的观点研究问题""逼近（极限）"等微积分的重要思想。引导学生发现求瞬时速度的一般方法，发展学生的数学抽象核心素养. （三）教学重点及难点 1.重点 理解平均速度、瞬时速度的概念及算法. 2.难点 平均速度与瞬时速度. （四）教学过程 问题1：学生阅读教材本章引言，简要回答本章的内容。 师生活动： （1）学生阅读课本，教师适时引导． （2）在教师的引导下，学生应明确以下内容：一是微积分是数学家的创造。二是微积分的创立主要源自四个科学问题；三是导数是微积分的主要内容；四是导数主要是在定量的刻画函数局部的变化。 同时，学生还要注意在本章的学习过程中，还会接触到一个重要的数学思想和数学运算——极限。 设计意图：通过章引言的学习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步构建学习内容的思维框架．为发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养埋下伏笔． 问题2：请同学们回忆一下初中及高一学习过的函数的单调性的相关知识？ 师生活动： （1）大部分的学生应该都能够说出一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数的单调性。 （2）一部分学生能指出底数对指数函数、对数函数单调性的影响，需要类讨论。教师应适时指出这种影响在一次函数、二次函数、反例函数中也是存在的。同学们却有意无意只是在指数函数、对数函数中才意识到这个问题的存在。 （3）少数学生还能够强调指出反比例函数、正切函数的分段单调性。 （4）教师要密切关注，争取能在学生发现以下反馈：在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多． （5）追问：在前面这些学习的基础上，能否进一步精确定量的刻画变化速度的快慢呢？
新教材同步辅导2023年高中数学课时评价作业十二变化率问题及导数的概念新人教A版选择性必修第二册
课时评价作业（十二）变化率问题及导数的概念 A级基础巩固 1.已知一质点的位移s与时间t之间的关系为s(t)=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是() A.-3 B.3 C.6 D.-6 解析:由平均速度和瞬时速度的关系, 可知v=s'(1)=lim Δt→0 (-3Δt-6)=-6. 答案:D 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及附近一点(1+Δx,-2+Δy),则Δy Δx =() A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 解析:因为Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2, 所以Δy Δx =4Δx+2(Δx) 2 Δx =4+2Δx. 答案:C 3.设函数f(x)在点x0附近可导,若有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则() A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 解析:因为f'(x0)=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 aΔx+b(Δx)2 Δx =lim Δx→0 (a+bΔx)=a,所以选C. 答案:C 4.若f'(x0)=1,则lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 . 解析:lim k→0f(x0-k)-f(x0) 2k =-1 2 lim k→0 f(x0-k)-f(x0) -k =-1 2 f'(x0)=-1 2 . B级能力提升 5.设函数y=f(x)在x=x0处可导,若lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =1,则f'(x0)=() A.1 B.-1 C.-1 3D.1 3 解析:因为lim Δx→0f(x0-3Δx)-f(x0) Δx =lim Δx→0 [f(x0−3Δx)−f(x0) −3Δx ×(−3)]=-3f'(x0)=1,所以 f'(x0)=-1 3 . 答案:C 6.某辆汽车的位移s和时间t之间的函数图象如图所示.若在时间段 [t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]内的平均速度分别为v1,v2,v3,则三者的大小关系是v3>v2>v1.
5.1.1 变化率问题(同步检测)(附答案)—高二下学期数学选择性必修第二册
5.1.1 变化率问题（同步检测） 一、选择题 1.函数y ＝x 2从x 0到x 0＋Δx(Δx ＞0)的平均变化率为k 1，从x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( ) A.k 1＞k 2 B.k 1＜k 2 C.k 1＝k 2 D.k 1与k 2的大小关系不确定 2.已知函数 f(x)＝ax 2＋b 的图象开口向下，lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a ) Δx ＝4，则a ＝( ) A.2 B.－ 2 C.2 D.－2 3.一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s(t)＝1 3t 3＋1，设其在时间段[1,2]内的 平均速度为v 1 m/s ，在t ＝2时的瞬时速度为v 2 m/s ，则v 1 v 2＝( ) A.13 B.712 C.56 D.23 4.如图，函数y ＝f(x)在[1,5]上的平均变化率为( ) A.12 B.－1 2 C.2 D.－2 5.质点的运动规律为s ＝t 2＋3(t 表示时间，s 表示位移)，则在时间[3,3＋Δt]中，质点的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9Δt C.3＋Δt D.9＋Δt 6.函数f(x)＝x 在区间[0,1]上的平均变化率为( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 7.若质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A.6 B.18 C.54 D.81 8.已知函数f(x)＝x 2图象上四点A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))，D(4，f(4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )
新教材人教A版选择性必修第二册 5.1.1 变化率问题 作业
课时作业(十二) 变化率问题 [练基础] 1．质点运动规律为s (t )＝t 2＋3，则从3到3＋Δt 的平均速度为 ( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9Δt C ．3＋Δt D ．9＋Δt 2．一木块沿一光滑斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (单位： m)与时间t (单位：s)之间的函数关系式为s (t )＝18t 2，当t ＝2时，此木 块在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2 B ．1 C.12 D.14 3．一直线运动的物体，从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ， 则li m Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．从时间t 到t ＋Δt 一段时间内物体的平均速度 B ．在t 时刻时该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．在时间t ＋Δt 时刻物体的瞬时速度 4．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，直线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，直线AB 的斜率是________． 5．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则该物体在t ＝________时的瞬时速度为1. 6．求抛物线y ＝x 2＋2x ＋3在点(1,6)处的切线方程． [提能力] 7．(多选题)一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (单位：m)与时间t (单位：s)之间的函数关系为h (t )＝2t 2＋2t ，则下列说
法正确的是( ) A ．前3 s 内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝24 m B ．在时间[2,3]内球滚下的垂直距离的增量Δh ＝12 m C ．前3 s 内球的平均速度为8 m/s D ．在时间[2,3]内球的平均速度为12 m/s 8．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则瞬时速度为0 m/s 的时刻是________s. 9．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10. (1)求它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． [战疑难] 10．若一物体运动方程如下： s ＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ 3t 2＋2，t ≥3，29＋3(t －3)2，0≤t <3， 其中位移s 的单位：m ，时间t 的单位：s.求： (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度．
精品数学 选择性必修二练习题5.1.1变化率问题 -A基础练(学生版)
5.1.1变化率问题 -A 基础练 一、选择题 1．（2021·全国高二课时练习）一质点的运动方程是253s t =-，则在时间[1,1]t +∆内相应的平均速度为（ ） A ．36t ∆+ B ．36t -∆+ C ．36t ∆- D ．36t -∆- 2．（2021·邵武市四中高二期中）函数2()21f x x =-在区间(2,2)x +∆上的平均变化率y x ∆∆等于（ ） A ．84x +∆ B ．82x +∆ C ．242()x +∆ D ．8 3．（2020·全国高二课时练）甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，则治污效果较好的是（ ） A ．甲厂 B ．乙厂 C ．两厂一样 D ．不确定 4．（2020·安徽蚌埠二中高二月考）已知函数()2 24f x x =-的图象上一点()1,2-及邻近一点 ()1,2x y +∆-+∆，则 y x ∆∆等于（ ） A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．()2 42x +∆ 5．（2020·安徽省肥东县第二中学高二期中）若函数()2 f x x c =-在区间[] 1 m ，上的平均变化率为4，则m 等于（ ） A B ．3 C ．5 D ．16 6．（多选题）（2020·青海师范大学附属第二中学高二月考）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示.
现有下列四种说法正确的有（ ） A.前四年该产品产量增长速度越来越快 B.前四年该产品产量增长速度越来越慢 C.第四年后该产品停止生产 D.第四年后该产品年产量保持不变. 二、填空题 7．（2020·扶风县法门高中高二月考）函数y ＝x+ 1x 在[x ，x ＋Δx ]上的平均变化率 y x ∆=∆_____. 8．（2020·河南洛阳市高二期中）函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是_____. 9．（2021·全国高二专题练）一质点M 按运动方程2 ()1s t at +=做直线运动（位移单位：m ，时间单 位：s ）．若质点M 在 2 s t =时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a 的值为________________． 10．（2020·全国高专二题练）已知函数sin y x =在区间π [0,]6， ππ[,]32 上的平均变化率分别为1k ，2k ，那么1k ，2k 的大小关系为_______. 三、解答题 11．（2021·全国高二课时练习）航天飞机升空后一段时间内，第 s t 时的高度为 32()530454h t t t t =+++，其中h 的单位为m ，t 的单位为s. （1）(0),(1),(2)h h h 分别表示什么？ （2）求第2s 内的平均速度； （3）求第2s 末的瞬时速度. 12．（2021·全国高二课时练习）已知函数2 ()f x x x =-+图象上两点(2,(2))A f 、 (2,(2))(0)B x f x x +∆+∆∆>. （1）若割线AB 的斜率不大于1-，求x ∆的范围； （2）求函数2 ()f x x x =-+的图象在点(2,(2))A f 处切线的斜率.
新人教A版高二选择性必修二5-1-1变化率问题
新人教A版高二5.1.1 变化率问题 学校:______姓名:______班级:______考号:______ 一、单选题(共8小题) 1.若质点P的运动规律为s=2t2＋5，则在时间段(3,3＋Δt)内，质点P的平均速度等于( ) C.12＋2Δt D.12 A.6＋Δt B.12＋Δt＋9 Δt 2.做直线运动的物体，其位移s和时间t的关系是s=3t−t2，则它的初速度是( ) A.0 B.3 C.−2 D.3−2t 3.若函数f(x)=x2−1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( ) A.3 B.2 C.1 D.4 4.函数f(x)的图像如图所示，则函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率是( ) A.1 B.−1 C.2 D.−2 5.给半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的体积增量ΔV等于( ) πR2ΔR A.4 3 π(ΔR)3 B.4πR2ΔR+4πR(ΔR)2+4 3 C.4πR2 D.4πRΔR 6.若质点M的运动规律为s=4t+4t2，则质点M在t=t0时的瞬时速度为( ) A.4+4t0 B.0 C.8t0+4 D.4t0+4t02
7.某物体做直线运动，其运动规律是s =t 2+3 t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( ) A.123 16米／秒 B.125 16米／秒 C.8米／秒 D.67 4米／秒 8.函数f(x)=x 2从x 0到x 0+Δx 的平均变化率为k 1，从x 0−Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1,k 2的大小关系是( ) A.k 1
高二数学人教A版选择性必修第二册第五章5.1.1 变化率问题同步练习及解析答案
高中数学人教A 版（新教材）选择性必修第二册5.1.1 变化 率问题 一、选择题 1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1，m ]上的平均变化率为3，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．4 2．已知一直线运动的物体，当时间从t 变到t ＋Δt 时物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 Δs Δt 为( ) A ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的速度 B ．在t 时刻该物体的瞬时速度 C ．当时间为Δt 时物体的速度 D ．时间从t 变到t ＋Δt 时物体的平均速度 3．若函数f (x )在x 0处有定义，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0) h 的结果( ) A ．与x 0，h 均无关 B ．仅与x 0有关，而与h 无关 C ．仅与h 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，h 均有关 4．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1 x 中，平均变化 率最大的是( ) A ．④ B ．③ C ．② D ．① 5．枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105 m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－ 3 s ，则枪弹射出枪口时的瞬时速度为( ) A ．800 m/s B ．600 m/s C ．200 m/s D ．400 m/s 6．(多选题)一做直线运动的物体，其位移s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系是s ＝3t －t 2.则下列正确的是（ ） A ．此物体的初速度是3 m/s B ．此物体在t ＝2时的瞬时速度大小为1 m/s ，方向与初速度相反 C ．t ＝0到t ＝2时平均速度1 m/s D ．t ＝3 s 时的瞬时速度为0 m/s
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题-练习
第五章一元函数的导数及其应用 5.1导数的概念及其意义 5.1.1变化率问题 课后篇巩固提升 基础达标练 1.质点运动规律S(t)=t2+3,则从3到3.3内,质点运动的平均速度为() A.6.3 B.36.3 C.3.3 D.9.3 (3)=12,S(3.3)=13.89, ∴平均速度v=S(3.3)-S(3) 3.3-3=1.89 0.3 =6.3,故应选A. 2.(2018全国高二单元测试)lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示() A.曲线y=x2切线的斜率 B.曲线y=x2在点(1,1)处切线的斜率 C.曲线y=-x2切线的斜率 D.曲线y=-x2在(1,-1)处切线的斜率 lim →0(1+Δx)2-1 Δx =lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx , 可知lim Δx→0(1+Δx)2-1 Δx 表示y=f(x)=x2在点(1,1)处的切线的斜率.故选B.
3.(2020海南中学高二期末)两个学校W 1、W 2开展节能活动,活动开始后两学校的用电量W 1(t )、W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示,则一定有 ( ) A .W 1比W 2节能效果好 B .W 1的用电量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率大 C .两学校节能效果一样好 D .W 1与W 2自节能以来用电量总是一样大 ,对任意的t 1∈(0,t 0),曲线W=W 1(t )在t=t 1处的切线比曲线W=W 2(t )在t=t 1处的切线要“陡”,所以,W 1比W 2节能效果好,A 正确,C 错误;由图象可知, W 1(t 0)-W 1(0) t 0 < W 2(t 0)-W 2(0) t 0 ,则W 1的用电 量在[0,t 0]上的平均变化率比W 2的用电量在[0,t 0]上的平均变化率要小,B 选项错误;由于曲线W=W 1(t )和曲线W=W 2(t )不重合,D 选项错误.故选A . 4.(多选)已知物体做自由落体运动的方程为s=s (t )=1 2gt 2,当Δt 无限趋于0时,s (1+Δt )-s (1) Δt 无限趋于9.8 m/s,那么下列说法不正确的是( ) A .9.8 m/s 是在0~1 s 这一段时间内的平均速度 B .9.8 m/s 是在1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 C .9.8 m/s 是物体在t=1 s 这一时刻的瞬时速度 D .9.8 m/s 是物体从1 s 到(1+Δt ) s 这段时间内的平均速度 Δt 趋于0时,平均速度s (1+Δt )-s (1) Δt 趋于该时刻的瞬时速度.选ABD.
高中数学5-1-1变化率问题课后提能训练新人教A版选择性必修第二册
第五章 5.1 5.1.1 A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2 ＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于( ) A ．4Δt ＋(Δt )2 B ．4＋Δt ＋2 Δt C ．2Δt ＋(Δt )2 D ．2＋Δt 【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2 ＋1－(22 ＋1)＝4Δt ＋(Δ t )2. 2．一物体的运动方程是s ＝12at 2 (a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是( ) A ．at 0 B ．－at 0 C ．12at 0 D ．2at 0 【答案】A 3．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12 gt 2，g ＝9.8m/s 2 ，若 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5m/s ，则24.5m/s 是该物体( ) A ．从0s 到1s 这段时间的平均速度 B ．从1s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度 C ．在t ＝1s 这一时刻的瞬时速度 D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题 s (1＋Δt )－s (1) Δt ＝24.5 m/s ，可知有物体从t ＝1 s 到(1 ＋Δt )s 这段时间的平均速度为24.5 m/s. 4．某物体沿水平方向运动，其前进距离s (米)与时间t (秒)的关系为s (t )＝5t ＋2t 2 ，则该物体在运行前2秒的平均速度为( ) A ．18米/秒 B ．13米/秒 C ．9米/秒 D ．13 2 米/秒 【答案】C 【解析】∵s (t )＝5t ＋2t 2 ，该物体在运行前2秒的平均速度为s (2)－s (0) 2 ＝18 2 ＝9(米/秒)．
高中数学 课时跟踪检测(二)(含解析)新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学试题
课时跟踪检测（二） 独立性检验的基本思想及其初步应用 层级一 学业水平达标 1．以下关于独立性检验的说法中， 错误的是( ) A ．独立性检验依赖于小概率原理 B ．独立性检验得到的结论一定准确 C ．样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D ．独立性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法 解析：选B 根据独立性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的． 2．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是( ) 解析：选D 在四幅图中，D 图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D ． 3．在列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( ) A ．a a ＋b 与 d c ＋d B ．c a ＋ b 与 a c ＋d C ． a a ＋ b 与 c c ＋d D ． a a ＋ b 与 c b ＋c 解析：选C 由等高条形图可知a a ＋ b 与 c c ＋d 的值相差越大，|ad －bc |就越大，相关性就 越强． 4．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2 的观测值k ，下列说法正确的是( ) A ．k 越大，“X 与Y 有关系”的可信程度越小 B ．k 越小，“X 与Y 有关系”的可信程度越小 C ．k 越接近于0，“X 与Y 没有关系”的可信程度越小 D ．k 越大，“X 与Y 没有关系”的可信程度越大 解析：选B K 2 的观测值k 越大，“X 与Y 有关系”的可信程度越大．因此，A 、C 、D 都不正确． 5．考察棉花种子经过处理跟生病之间的关系得到下表数据： 种子处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407
2020-2021学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册第五章一元函数导数及其应用
5．1.1 变化率问题 (教师独具内容) 课程标准：通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．教学重点：瞬时速度的求法． 教学难点：求瞬时速度的极限方法. 对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)Δt是时间的改变量，Δt趋近于0是指时间间隔Δt越来越短，能越过任意小的时间间隔，但始终不能为0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)自变量的改变量Δx是一个较小的量，Δx可正可负，但不能为0.( ) (2)高台跳水运动员的瞬时速度是刻画跳水高度在时间区间[t1，t2]上变化快慢的物理量．( ) (3)高台跳水运动员的平均速度可正可负．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若h＝－3t2＋2，当t由2变为1时，h的变化量为________. (2)一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为s ＝5t2，则该物体从1 s到3 s这段时间内的平均速度是________m/s. (3)抛物线y＝x2在x＝2处的切线斜率为________. (4)在高台跳水运动中，t s时相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则该高台跳水运动员在t＝1 s时的瞬时速度为________.
题型一 求平均速度与瞬时速度 例1 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求t ＝0到t ＝2时的平均速度； (2)求此物体的初速度； (3)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． [跟踪训练1] 若一物体的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)之间的关系 为s ＝f (t )＝⎩⎨⎧ 3t 2 ＋2，t ≥3， 29＋3t －32 ，0≤t ＜3， 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0； (3)物体在t ＝1时的瞬时速度． 题型二 求抛物线在某一点处切线的斜率 例2 已知函数y ＝f (x )＝⎩⎨⎧ x 2 ＋x ，0≤x <2， 2x －12 ，x ≥2.求抛物线在x ＝1和 x ＝4 处的切线斜率． [跟踪训练2] 求抛物线y ＝－x 2＋3x 在x ＝2处的切线斜率． 1．已知抛物线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的 一点，则点Q 的坐标为( ) A ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1＋Δx ， 14Δx 2 B ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ Δx ， 14Δx 2 C ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫ 1＋Δx ， 141＋Δx 2 D ．⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫Δx ， 141＋Δx 2 2．一质点做直线运动，其位移s 与时间t 之间的关系为s ＝3－2t 2，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( )
2020年高二数学 课时跟踪检测含解析(全一册) 新人教A版必修
2020年高二数学课时跟踪检测含解析(全一册) 新人教A版必修 课时跟踪检测一棱柱棱锥棱台的结构特征 课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台球及简单组合体的结构特征 课时跟踪检测三中心投影与平行投影及空间几何体的三视图 课时跟踪检测四空间几何体的直观图 课时跟踪检测五柱体锥体台体的表面积与体积 课时跟踪检测六球的体积和表面积 课时跟踪检测七平面 课时跟踪检测八空间中直线与直线之间的位置关系 课时跟踪检测九空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系课时跟踪检测十直线与平面平面与平面平行的判定 课时跟踪检测十一直线与平面平面与平面平行的性质 课时跟踪检测十二直线与平面垂直的判定 课时跟踪检测十三平面与平面垂直的判定 课时跟踪检测十四直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质课时跟踪检测十五倾斜角与斜率 课时跟踪检测十六两条直线平行与垂直的判定 课时跟踪检测十七直线的点斜式方程 课时跟踪检测十八直线的两点式方程 课时跟踪检测十九直线的一般式方程 课时跟踪检测二十两条直线的交点坐标两点间的距离 课时跟踪检测二十一点到直线的距离两条平行线间的距离 课时跟踪检测二十二圆的标准方程 课时跟踪检测二十三圆的一般方程 课时跟踪检测二十四直线与圆的位置关系 课时跟踪检测二十五圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课时跟踪检测二十六空间直角坐标系
课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥、棱台的结构特征 一、题组对点训练 对点练一棱柱的结构特征 1．下面没有体对角线的一种几何体是( ) A．三棱柱B．四棱柱 C．五棱柱D．六棱柱 解析：选A 三棱柱只有面对角线,没有体对角线． 2．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( ) A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱 C．只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱 解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确． 3．如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度,则倾斜后 水槽中的水形成的几何体的形状是________． 解析：由于倾斜角度较小,所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱． 答案：四棱柱 对点练二棱锥、棱台的结构特征 4．三棱锥的四个面中可以作为底面的有( ) A．1个B．2个 C．3个 D.4个 解析：选D 三棱锥的每一个面均可作为底面,应选D. 5．下面说法中,正确的是( ) A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台 B．棱台的所有侧面都是梯形 C．棱台的侧棱长必相等 D．棱台的上下底面可能不是相似图形 解析：选B 由棱台的结构特点可知,A、C、D不正确． 6．下列四个几何体为棱台的是( )
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