量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中

()⎩⎨

⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0

,0 中运动，若0=t 时，粒子处于

()()()()x x x x 32121

31210,ϕϕϕψ+-=

状态上，其中，

()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。

（1） 求0=t

时能量的可测值与相应的取值几率；

（2） 求0>t 时的波函数()

t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率

解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为

()x

a n a x n n ma

E n n π

ϕπsin 2,3,2,1 ,22

2

22===

（1） 首先，将()0,x ψ

归一化。由

12131212

22

2

=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c

可知，归一化常数为

1312=

c

于是，归一化后的波函数为

()()()()

x x x x 321133

1341360,ϕϕϕψ++-=

能量的取值几率为

()()()133

;134 ;136321=

==E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t

时的波函数为

()()()()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+

⎪⎭

⎫

⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ

（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

三. 设厄米特算符H

ˆ的本征矢为

n

，

{n 构成正交归一完备系，定

义一个

算符

()n m n m U ϕϕ=,ˆ

（1） 计算对易子()[]n m U H

,ˆ,ˆ；

（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；

（3）

计算迹

(){}n m U ,ˆT r ；

（4） 若算符

A

ˆ

的矩阵元为n m mn

A A ϕϕˆ=，证明

()n m U

A A n

m m n ,ˆˆ,∑=

(){

}

q p U A A pq ,ˆˆTr +=

解：

（1）对于任意一个态矢

ψ，有

()[

](

)(

)(

)(

)()(

)ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H

n m U H

n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=

-=-=-=

故

()[]()()n m U E E n m U H

n m

,ˆ,ˆ,ˆ-=

（2）

()()()p m U

q p U n m U nq p q n m

,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+

（3）算符的迹为

(){}

(

)mn

m n k n k m k

k

k

k n m U n m U δϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r

（4）算符

()n m U

A A A A n

m mn

n

n m n

m m m m

m ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ

而

(

)(){}

q p U A

q p U A A A A A k k

k k

k

p q k q

k k

k p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑

∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

五. （见2001年第五题）两个质量皆为

μ

的非全同粒子处于线谐振子位

中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个

粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二

激发态能量至一级修正。

解：体系的哈密顿算符为

W H H ˆˆˆ0+=

其中，

()()

2

12221222210 ˆ21ˆˆ21ˆx x W

x x p p H λμωμ-=+++=

已知0ˆH 的解为

()()()()21210

2

1

,1x x x x n E n n n n ϕϕψω

α=+=

其中，

n

f n n n ,,3,2,1,2,1,0,,21

==α

将前三个能量与波函数具体写出来，

()()2010000 ;x x E ϕϕψω==

()()

()()20111221101101 ,2x x x x E ϕϕψϕϕψω===

()()

()()

()()21112322102220122102 ,3x x x x x x E ϕϕψϕϕψϕϕψω====

对于基态而言，021

===n n n ，10=f ，体系无简并。

利用公式

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,21

21n m n m n

m n n x δδαϕϕ

可知

(

)0ˆ0010==ψψW E

()

∑∑≠=-=010

000020ˆˆn f n n n n E E W W E αααψψψψ

显然，求和号中不为零的矩阵元只有

20232302ˆˆα

λψψψψ-==W W

于是得到

()3

224

2020020

841ωμλαλ -=-=E E E

第二激发态为三度简并，能量一级修正满足的久期方程为

()

()

()

12

3332

3123

12

2221

1312

12

11=---E W W W W E W W W W E W

其中，

021********=====W W W W W

2

322331132αλ

-====W W W W

于是得到

()

()()

2

1231222121

;0 ;α

λαλ==-=E E E

量子力学考研参考试题（一）

一. （见1997年第二题）证明：

（1）

若一个算符与角动量算符J ˆ 的两个分量对易，则其必与J ˆ

的另一

个分量对易；

（2） 在2ˆJ 与z J ˆ

的共同本征态

JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为零，且当

J M =时，测量x J ˆ与y J ˆ的不确定性为最小。

证明：

（1）设算符F

ˆ与角动量算符x J ˆ及y J ˆ皆对易，即

[][]0

ˆ,ˆˆ,ˆ==y

x

J F J F

则

[][][[][]

ˆˆ,ˆi 1ˆˆ,ˆi 1ˆ,ˆ,ˆi 1ˆ,ˆ=-==x y y x y x z J J F J J F J J F J F

同理可知，若算符F ˆ与角动量算符x J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与y J ˆ对易；

若算符F ˆ与角动量算符y J ˆ及z J ˆ皆对易，则算符F ˆ必与x J ˆ对易，于是，问

题得证。

（2）在2ˆJ 与z J ˆ

的共同本征态JM 下，x J ˆ与y J ˆ的平均值为

JM J J JM JM J JM x -++=ˆˆ21ˆ

由升降算符的修正可知

1)1()1(ˆ±±-+=±JM M M J J JM J

于是有

0ˆ=JM J JM x

同理可证，算符y J ˆ

在

JM

下的平均值也未零。在

JM

态上，

()(

)

[]

22222)1(21

ˆˆ21ˆˆˆˆ41ˆˆˆˆ4

1ˆ M J J JM J J JM JM J J J J JM JM J J J J JM JM J JM x -+=-=+=++=+--+-

+-+

同理可得

[]

222)1(21ˆ M J J JM J JM y -+=

故有

()()

[]

4222

2

)1(41 M J J J J x x -+=∆⋅∆

或者写为

[]

2

2)1(21

M J J J J y x -+=∆⋅∆

显然，当J M

=时，上式取最小值

()2

m i n 2

J J J y x =∆⋅∆

三. 一维谐振子的哈密顿算符为

222

212ˆˆx m m p H ω+=

引入无量纲算符，

x m Q ω=ˆ；

p m P

ˆ1

ˆ

ω=；

()P Q

a

ˆi ˆ2

1

ˆ+=；

()

P

Q a ˆi ˆ21ˆ-=+

（1） 计算

{}P Q

ˆ,ˆ，[]+

a a ˆ,ˆ，[]a a a ˆˆ,ˆ+

，[]a a a ˆˆ,ˆ+

+

；

（2）将H ˆ用a ˆ与+

a ˆ表示，并求出全部能级。

解：

（1）计算对易关系

[]

[]i ˆ,1

ˆ1,

ˆ,ˆ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=p x p

m x m P Q

ωω

[

]

(

)()[][]

1

ˆ

,ˆi 21ˆi ,ˆ21ˆi ˆ21,ˆi ˆ21ˆ,ˆ=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+

Q P P Q P Q P Q a a

[][][]a a a a a a a a a a ˆˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ=+=+++

[][][]+

+

+

+

+

+

+

=+=a a a a a a a a a a ˆ

ˆˆ,ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆ

（2）改写哈密顿算符

()

22222ˆˆ2

1212ˆˆQ P x m m p H +=+=ωω

而

()()()[]()

1

ˆˆ21ˆ,ˆ2i ˆˆ21ˆi ˆ21ˆi ˆ21ˆˆ2

222-+=++=+-=+P Q P Q P Q P Q P Q a a

所以，有

⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=+

21ˆˆˆa a

H ω 下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。

对任何态矢

ψ

，均有

ˆˆ2

≥=+

ψψψa a a

因此，

ω

ψψ 21ˆ≥H

若ψ

是哈密顿算符的本征态E ψ

，则E H E E =ψψˆ，即

ω

2

1

≥E

上式说明能量的下限为ω

21。

用a H

ˆˆ作用H ˆ

的任意一个本征态'

E

ψ上，利用

[][

]

ωω a a a a H a

ˆˆˆ,ˆˆ,ˆ==+ 可知

(

)

(

)

'''ˆˆ ˆˆˆˆ'E E E a

E a H a a H ψωψωψ -=-=

若

0ˆ'≠E a

ψ，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为

ω -E 。重复这个推理的过程，得到

,2,,'''ωω--E E E 都是哈密顿算符的本征值，由于，本征值不能小于ω

21

，此数列必须终止于

某个最小值

0E ，即ω -0E 不再是能量本征值，其条件为

0ˆ0=E a

ψ

因此，

0002121ˆˆˆE E E a a

H ψωψωψ =⎪⎭⎫ ⎝

⎛+=+

于是可知

E

ψ相应当能量本征值

ω

2

1

0=E

类似前面的做法，利用

()

ω +=+H a a H

ˆˆˆˆ

可知

()

''ˆˆˆ'E E a E a H

ψωψ+++=

说明

'ˆE a

ψ+也是能量的本征态，相应的能量本征值为

ω +'

E ，重复此过程可知，

,2,,'

''ωω++E E E 都是能量本征值。最后，得到能量

本征值的表达式为

ω

⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=21n E n

四. 有一定域电子（作为近似模型，可以不考虑轨道运动）受到均匀磁场

B

的作用，磁场

B

指向

x

轴电正方向，磁作用为

x x c eB s c eB H σμμˆ 2ˆ ˆ ==。设0=t 时，电子的自旋向上，即2 =z s ，

求0>t 时s ˆ 的平均值。

解：哈密顿算符可以改写为

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==0110ˆ 2ˆωσμ x c eB H

其中，

c eB

2μω=

在泡利表象中，设0>t

时体系的波函数为

()()()()()⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛=-++=t b t a t b t a t ψ 则其应满足

()()()⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛=+==010ˆd d i ψψψt H t t

于是有

()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t a t b t b t a t ω d d i 此即，

()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=-=t a t t b t b t t a ωωi d d i d d

上式可以化为

()()[]()()[]()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-=-+-=+t b t a t t b t a t b t a t t b t a ωωi d d i d d

解之得到

()()(

)()()(

)⎩⎨

⎧=--=+t d t b t a t c t b t a ωωi e x p i e x p 利用初始条件

()10=a ；()00=b

可知

1==d c

于是，

()()t t b t

t a s i n i c o s ωω-==

0>t 时的波函数为

()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t i s i n c o s ωω

ψ 而

()()()()()()t t t s t t t s t t s z z y y x x 2c o s 2ˆ2 2s i n 2ˆ20ˆ2ωψσψωψσψψσψ

==-====+++

五.（第一问见1998年第五题）有一量子体系由哈密顿量W H H

ˆ

ˆˆ0

+=描述，其中，

[]

0ˆ,ˆi ˆH A W λ=可视为微扰，

B A ˆ,ˆ是厄米特算符，且有

[]

A B C ˆ,ˆi ˆ=。

（1）若算符C B A ˆ,ˆ,ˆ在

0ˆH 的非简并基态上的平均值已知，且分别记为

000,,C B A ，求B ˆ在微扰后的非简并基态上的平均值，准确到λ量级。

（2） 将上述结果用在如下三维问题上，

∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3

12220212ˆˆi i i x m m p H ω

3ˆx W λ= 计算在微扰后非简并基态上

i x ()3,2,1=i 的平均值，准确到λ

量级。

解：

（1）设

0ˆH 满足 n E n H n

00ˆ=

则哈密顿算符W H H ˆˆˆ0+=的基态波函数的一级近似为

()

()

0ˆi 00ˆ00i 0ˆi 00ˆi 00ˆˆˆi 00ˆ00

000

00

00

1A A A A n n A n n E E A H H A n n E E W

n n n

n n n

n n

-+=-+=+=

--+=-+=∑

∑

∑

∑

≠≠≠λλλλλ

利用归一化条件

()

()

()

20

22110ˆ010

0A A -+=λ

若准确到λ量级，则一级近似波函数已经归一化。

在微扰后的基态的一级近似之下计算B

ˆ的平均值，得到

()

()

()()()()

()

2020

00110ˆˆˆˆ0i 0ˆˆ00ˆˆ0i 0ˆ0λλλλO B A A B

B O B A A A A B B B

+-+=+---+=

再利用[]

A B C ˆ,ˆi ˆ=，并略去λ的二次项，

()

()

0110ˆ0C B B

λ+=

（2）取

2

3ˆˆωm p A

=

使得

[]

3

2322

3021,ˆi ˆ,ˆi ˆx x m m p H A W λωωλλ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==

当1ˆ

x B =时，

[]

0ˆ,i ˆ,ˆi ˆ231=⎥⎦⎤⎢⎣⎡== ωm p x A B C

()

()

000001111==x x

同理可知，

()

()

000

02121==x x

当取

3ˆx B =时， []

2

2331ˆ,i ˆ,ˆi ˆωωm m p x A B C -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==

()()

22131000000ωλλm C x x -

=+=

量子力学考研参考试题（三）

一 .设

n

是粒子数算符

a a N ˆˆˆ+=的本征函数，相应之本征值为()0≥n ，算符

+a

ˆ和a ˆ满足对易关系1ˆˆˆˆ=-++a a a a 。证明：n a ˆ（其中

1≥n ）和n

a +

ˆ也是

N

ˆ的本征函数其相应的本征值分别为

()1-n 和

()1+n 。

解：用粒子数算符N

ˆ作用到

n a ˆ上，即

()

()n a n n a n N a

n a n a a a n a a a n a a a n a N

ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ-=-=-=-==+++

上式表明

n a

ˆ是

N

ˆ的本征态，相应的本征值为

()1-n 。

同样，用粒子数算符N ˆ作用到

n a +

ˆ上，即

()

()n a n n a n N a

n a n a a a n a a a n a a a n a N

++++++++++++=-=+=+==ˆ1ˆˆˆˆˆˆˆ1ˆˆˆˆˆˆˆˆ

上式表明

n a +ˆ也是

N

ˆ的本征态，相应的本征值为()1+n 。

二. （类似2000年第二题）质量为m 的粒子在一维势阱

()⎪⎩⎪

⎨⎧>≤≤-<∞=a x a

x V x x V ,00 ,0 .0

中运动()00

>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量20

V E -

=的状态，

试确定此势阱的宽度a 。

解：对于0

20

<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为

()()()()⎪⎩⎪

⎨⎧-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03

21

其中，

E

m V E m k 2

;)

(20=+=

α

在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件

()()

()()a a a a '

3'2

32ψψψψ== 得到

()()a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin

于是有

α

k

ka -

=tan

此即能量满足的超越方程。

当

21V E -=时，由于

1

t a n 00

0-=-=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛

m V m V a m V

故

4

π

π-

=n a mV ， ,3,2,1=n

最后，得到势阱的宽度

0 41mV n a π⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

-=

三. （类似习题选讲5.7）设作一维自由运得粒子0=t

时处于

()()kx kx A x cos sin 0,2

+=ψ 态上，求0=t 和0>t 时粒子动量与动能的平均值。

解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数

()()

x

k x k 'i e x p 21'

π

ϕ=

而0=t 时的波函数

()()()()()()()()()()()(){}()()()()(){}x x x x x A

kx kx kx kx A

kx kx kx kx A kx kx A x k k k k 2022

222224i2exp 2i2exp i exp 2i exp 24i exp i exp 21

i exp i exp i 21cos sin 0,---+-+=--+--+=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=

+=ϕϕϕϕϕπψ

归一化常数为

π

74=

A

动量的取值几率为

()1412=±= k p W ；()144=±= k p W ；()144

0=

=p W

动量的平均值为

()∑==p

p pW p 0

动能的平均值为

()()m k p W p m T p 742102

22

==∑

因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守

恒量的取值几率和平均值不随时间改变，0>t 时的结果与0=t 时完全一

样。

四. （见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态)(r nlm

ψ，利用

维里定理、费曼-海尔曼定理计算r

1与2

1r 。

解：已知类氢离子的能量本征值为

1

,20

22

2++=-==l n n a n e Z E E r n n l m

（1）

式中，

2

2

0e a μ =为玻尔半径。由维里定理知

V

T 21-= （2）

总能量

r Ze V V T E n 1

2212-

==+= （3）

所以，得到

,3,2,1 ,210

22==-=n a n Z

Ze E r n

（4）

类氢离子的哈密顿算符为

r Ze r

l l r r H 2222222)1(12ˆ-++∂∂-=μμ

（5）

将l 视为参数，利用费曼-海尔曼定理，得到

22121ˆr

l l H l E n ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂=∂∂μ （6）

由于，

1++=l n n r （7）

所以，

3

2

2a n e Z n E l E n n =∂∂=∂∂ （8）

将其代入（6）式，有

()202

32

2/111a Z

n l r

+= （9）

五. （类似1996年第四题）设两个自旋为21

粒子构成的体系，哈密顿量

21ˆˆˆs s C H ⋅=， 其中，C 为常数，1ˆs 与2ˆs 分别是粒子1和粒子2的自

旋算符。已知0=t

时，粒子1的自旋沿z

轴的负方向，粒子2的自旋沿

z

轴的正方向，求0>t 时测量粒子1的自旋处于

z 轴负方向的几率。

解： 体系的哈密顿算符为

()

2221221ˆˆˆ2

ˆˆˆs s s

C s s C H --=⋅=

选择耦合表象，由于

1,0=s ，故四个基底为

111=；112-=；10

3=；

00

4=

在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即

⎪⎪⎪

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-=300

00100001000014ˆ2 C H

可以直接写出它的解为

2

14

C E =

， ++==111ϕ

2

24

C E =，

-

-=-=112ϕ

2

34

C E =，

[]

+-+-+==21103ϕ

2

443 C E -=，

[]

+---+==21004

ϕ

已知0=t

时，体系处于

()[]

00102

10-=

+-=ψ

因为哈密顿算符不显含时间，故0>t

时刻的波函数为

()[][]⎪⎭⎫ ⎝⎛+---+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+=

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫

⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t C t C E E t 43i exp 214i exp 2100i exp 10i exp 2143ψ

粒子1处于z

轴负方向的几率为

()

()

t

C t C t C t C t C t t t s W z 2

cos 2i exp 2i exp 2143i exp 4i exp 21,22

2

2

2

2

1

=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

+-+--=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=ψψ

六． 粒子在一维势场()x V 中运动，非简并能级为() ,3,2,10

=n E n ，

如受到微扰

x p

W ˆˆμλ=的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。 解：已知0ˆH 满足的本征方程为

n E n H n

00ˆ=

由

[]

μp H x ˆˆ,i 10=

可知

()

mn

m n mn x E E p 00i -=

μ

第k 个能级的一级修正为

()

1===kk kk k

p W E μλ

能量的二级修正为

()

()

()

()2

02

2

00

00

02

2

02i i nk

k

n k

n

k n n k

nk

n k kn

k n

k

n n

k nk

kn k

x

E

E

E

E x E E x E E E E W W E ∑∑

∑

≠≠≠--=

---=-=

λμ

μ

μλ

利用

()

μ

22

2

0 =-∑≠nk

k n k n x E E

得到

()μλμ

λ2222222-

=-= k

E 近似到二级的解为

μλ

22

0-

≈k k E E

精确解可以利用坐标变换确定。体系的哈密顿算符为

()x x p x V p H ˆ2ˆˆ2μλμ++=

若令

λ+=x p P

ˆˆ 则哈密顿算符可以改写为

()μ

λμ22ˆˆ22-

+=x V P H

故精确解为

μλ

220-

=k k E E

华中 2001

四．质量为μ的粒子沿X 方向以能量E 向x=0处势阶运动。势

⎩⎨⎧>≤=0x ,E 0

x ,0)x (U 43

，问在x=0处被反射的粒子几率有多大？ 解：写出分区薛定谔方程为：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ-μ+ψ≤=ψμ+ψ0

x ,0)E 43E (2dx d 0x ,0E 2dx d 22222

12

1212 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=ψ+ψ≤=ψ+ψ⇒0x ,0)2k (dx d 0x ,0k dx d 2222212

1212

其解为⎪⎩⎪⎨⎧>=ψ≤+=ψ-0x ,De 0x ,Re e x

i 2ikx

ikx 12

k

由x=0处的连续性条件，可得到： D i )R 1(ik )0()0(D

R 1)0()0(2k 2121=+⇒ψ'=ψ'=+⇒ψ=ψ 解得：D=3/4，R=1/3 从而几率流密度为

x x 22k D x x 2

R x e ˆ9k 8e ˆ|D |J ,e ˆ9k e ˆ|R |k J ,e ˆk J μ=μ=μ-=μ-=μ=

所以，反射几率

91|J ||J |R R == 透射几率：98|J ||J |D D =

= 满足 R+D=1

五．两个质量为μ自旋为1/2的全同粒子处于一维无限深势阱(0

1.粒子间无相互作用，用单粒子态和自旋态给出三个最低能态。

2．粒子间有相互作用势能V （x 1-x 2）,这可看成微扰，以一阶微扰理论计算第二、第三最低能态的能量，将你的结果保留在积分式。

解：1.（参见汪P274 T9.1.4） 求粒子体系的能量本征值和本征函数：

忽略两粒子间的相互作用时，体系总能量 )n n (a 2E E E 222

12

2221+μπ=+= 考虑到是全同费米子体系，体系的总波函数)s ,s ()x ,x (z 2z 121χψ=ψ必须是反对

称的，

第一最低能态：n 1=1,n 2=1,

22

211a 22E μπ=

，则 )]

s ()s ()s ()s ([a x

sin a x sin a 2z 2z 1z 2z 1211121212121χχ-χχππ=

ψ--

由于空间运动波函数是对称的，故自旋运动的波函数必为反对称的，且基态为

非简并态。

第二最低能态：n 1,n 2分别取1和2，

22

212a 25E μπ=

可组成如下四个态： 三重态： )x ,x ()x ,x (21S 21A )

3,2,1(12

χψ=ψ )

s ()s (]a x sin a x 2sin a x 2sin a x [sin a 2z 2z 1212112

2121)

2,1(±±χχππ-ππ=ψ

量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()⎩⎨ ⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 32121 31210,ϕϕϕψ+-= 状态上，其中， ()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数() t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ϕπsin 2,3,2,1 ,22 2 22=== （1） 首先，将()0,x ψ 归一化。由 12131212 22 2 =⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312= c 于是，归一化后的波函数为 ()()()() x x x x 321133 1341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为 ()()()133 ;134 ;136321= ==E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 三. 设厄米特算符H ˆ的本征矢为 n ， {n 构成正交归一完备系，定 义一个 算符 ()n m n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H ,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,ˆT r ； （4） 若算符 A ˆ 的矩阵元为n m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U A A n m m n ,ˆˆ,∑= (){ } q p U A A pq ,ˆˆTr += 解： （1）对于任意一个态矢 ψ，有 ()[ ]( )( )( )( )()( )ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H n m U H n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-= -=-=-= 故 ()[]()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2） ()()()p m U q p U n m U nq p q n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+ （3）算符的迹为

历年量子力学考研真题试卷

历年量子力学考研真题试卷 历年量子力学考研真题试卷 量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。 首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。 题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。 这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。因此，波函数在势阱内的形式可以表示为： Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。 接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。 题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。求粒子在势阱内的能级。这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。解答这道题目需要运用定态薛定谔

方程和边界条件来分析。首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。 然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为： E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。 最后，我们来看一道较为综合的考研真题：2013年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。 题目如下：考虑一个一维谐振子，其势能函数为V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2。已知谐振子的基态波函数为Ψ_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}。求谐振子的第n个能级的波函数。 这道题目考查了量子力学中的谐振子问题。解答这道题目需要运用谐振子的能级和波函数的性质来分析。首先，我们可以根据谐振子的能级公式得到第n个能级的能量为： E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega，其中n为能级的量子数。 其次，根据谐振子的波函数性质，我们可以得到第n个能级的波函数为： Ψ_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{

量子力学考研真题与量子力学考点总结

量子力学考研真题与量子力学考点总结 8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研] 【解题的思路】 直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。 【分析】 在势场V中，粒子所受作用力为 因此作用力F的平均值为 得证。 【知识储备】 ①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。 ②

即 ③在某一表象下，算符F ∧ 在ψ态中的平均值为 29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数： （1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。 [中国科学院2007研] 【解题的思路】 对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。 【分析】 （1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为 本征能量为 对于两个可区分粒子 基态

能量 波函数 因此，能级简并度为4。第一激发态 或者 能量 波函数

因此，能级简并度为8。 （2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态 能量 波函数 能级非简并。 第一激发态 或者 能量 波函数

能级简并度为4。 【知识储备】 ①一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是 在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 ②全同粒子 a．全同粒子定义 在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。 b．全同性原理

量子力学考研题库

量子力学考研题库 量子力学考研题库 量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。 1. 简答题 (1) 什么是波粒二象性？ 答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。 (2) 什么是量子力学的基本假设？ 答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。 2. 计算题 (1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为 |ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？ 答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。 (2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为

径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。 答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。 3. 应用题 (1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。 答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算 和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合 成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。 (2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。 答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算 利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。 此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分 解和优化问题等。 通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算 方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家 在考试中取得好成绩！

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

复旦量子力学考研真题

复旦量子力学考研真题 复旦大学是中国一所著名的综合性高等学府，其物理学专业一直以来都备受瞩目。在物理学领域中，量子力学是一门重要而又复杂的学科。考研对于量子力 学的要求也相当高，因此复旦大学量子力学考研真题成为了众多学子的关注焦点。 量子力学，作为现代物理学的重要分支，涉及到微观世界的规律和现象。它的 理论体系由一系列的方程和原理构成，其中包括薛定谔方程、波粒二象性、量 子力学的统计解释等。这些内容不仅深奥难懂，而且与我们日常生活的经验常 识相差甚远。因此，研究量子力学需要具备扎实的数学基础和抽象思维能力。 复旦大学量子力学考研真题是许多考生备战考试的重要参考资料。这些真题包 括选择题和解答题两个部分，涵盖了量子力学的各个方面。在选择题中，考生 需要通过对知识点的理解和记忆，选择正确的答案。这要求考生对于量子力学 的各个概念和定理都要有清晰的认识，并能够将其应用到具体问题中。而在解 答题中，考生需要运用所学的知识，对给定的问题进行分析和求解。这要求考 生具备扎实的理论基础和一定的解题技巧。 复旦大学量子力学考研真题的难度较高，对考生的能力要求也较为严格。它既 考察了考生对于基本概念和原理的理解，又考察了考生的解题能力和思维深度。因此，备战考试的学生需要在平时的学习中注重理论的掌握和实践的操作，通 过大量的习题训练，提高自己的解题能力和应变能力。 在备考过程中，考生可以通过多种途径获取复旦大学量子力学考研真题。一方面，可以通过网络搜索相关资料，找到真题的电子版或者相关的解析。另一方面，可以向老师或者学长学姐请教，获取他们的经验和建议。此外，还可以参

加一些针对考研真题的辅导班或者培训班，通过专业的指导和讲解，提高自己的备考效果。 总之，复旦大学量子力学考研真题是备战考试的重要参考资料。通过对这些真题的学习和解答，考生可以更好地了解考试的要求和难度，提高自己的解题能力和应变能力。但是，真题只是备考的一个重要方面，考生还需要注重理论的学习和实践的操作，全面提高自己的物理学素养和解题能力。只有在全面提高的基础上，才能够在考试中取得好的成绩，实现自己的考研目标。

东南大学考研量子力学真题

东南大学考研量子力学真题 东南大学考研量子力学真题 量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中的粒子行为和物质的 性质。对于物理学专业的研究生来说，掌握量子力学的基本原理和数学工具是 必不可少的。因此，东南大学考研的量子力学真题成为了众多考生备考的重要 资料。 在东南大学考研量子力学真题中，涉及了许多重要的概念和理论。其中之一是 波粒二象性。根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出 粒子性。这一概念颠覆了经典物理学中的观念，引发了量子力学的诞生。在真 题中，考生需要理解并应用波粒二象性，解释一系列实验现象，如光的干涉和 衍射、电子的双缝干涉等。 另一个重要的概念是量子力学的数学形式。量子力学使用数学语言描述微观粒 子的行为。在真题中，考生需要熟悉量子力学中的波函数和算符。波函数是描 述粒子状态的数学函数，而算符则描述粒子的物理量和测量结果。通过运算符 的作用，可以得到粒子的能量、位置、动量等物理量的测量结果。考生需要掌 握波函数的性质和算符的运算规则，以解答真题中的数学计算题。 此外，东南大学考研量子力学真题还涉及到了量子力学中的一些基本原理和定理。例如，海森堡不确定关系原理和波恩定则等。海森堡不确定关系原理指出，对于某一物理量的测量，其精确度和另一物理量的测量精确度存在一定的限制 关系。波恩定则则是量子力学中的一个重要定理，用于计算粒子的能级和谱线 强度。掌握这些基本原理和定理，考生可以更好地理解量子力学的基本原理和 现象，并应用于实际问题的求解。

在备考过程中，除了熟悉真题的内容，考生还需要进行大量的练习和思考。量 子力学是一门抽象而深奥的学科，需要通过大量的实际计算和问题解答来加深 理解。考生可以通过做一些典型题目，加深对概念和原理的理解，并培养解决 实际问题的能力。此外，考生还可以参考一些经典的量子力学教材和研究论文，拓宽自己的知识面，深入了解量子力学的发展和应用。 东南大学考研量子力学真题是考生备考的重要参考资料。通过研究真题，考生 可以了解考试的难度和形式，熟悉考试的出题思路和要求。同时，真题也是考 生检验自己学习成果和提高自己能力的重要工具。通过反复练习和思考，考生 可以逐渐提高自己的解题能力和应试水平。 总之，东南大学考研量子力学真题对于考生备考非常重要。通过研究真题，考 生可以巩固和拓宽自己的知识，提高解题能力和应试水平。在备考过程中，考 生还需要进行大量的实际计算和问题解答，加深对概念和原理的理解。通过不 断努力和实践，考生一定能够在考试中取得好成绩。

量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析 设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研] 【解题思路】 ①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； ②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； ③轨道角动量力学量的本征方程。 【解析】 （1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令

所以 因此 所以 【知识储备】 ①氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ） ②维里定理 如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ） 角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】 假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。 7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。 （1）写出t时刻系统的波函数； （2）求出t时刻系统的平均能量。 [中国科学技术大学2012研] 【解题思路】 根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。 【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为： 其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为： 容易解得 相应的能量本征值为： 可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。 对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出： （2）t时刻系统的平均能量为：

武汉大学研究生入学考试量子力学考研真题

武汉大学研究生入学考试量子力学试题选解 5.全同性原理：在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系 的状态。 一． 计算题（20分×4题） 1.粒子以能量E 由左向右对阶梯势 ???><-=0,00 ,)(0 x x U x U 入射，求透射系数。讨论如下三种情况： （1）－U00；（3）E>0,但由右向左入射。 解： ⑴ －U00 写出分区薛定谔方程为：

令： η2 01) (2U E k += μ， η222E k μ= 可将上述方程简化为： 一般解可写为： 考虑到没有从右向左的入射波，B ’＝0 由波函数连接条件，有： 解得： ???????+=+-='A k k k B A k k k k A 21121212 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，尽管E>0，但仍有粒子被反射。 ⑶ E>0,粒子从右向左入射 仿⑵，有 但 B ’为入射波系数，B 为反射波系数，A ’为透射波系数，A ＝0. 由波函数的标准条件，有 解得： 据此，可分别计算出入射波、反射波和透射波的几率流密度及反射系数 和透射系数 满足 R+D ＝1 可见，仍有粒子被反射。 2.一维谐振子在 t ＝0 时处于归一化波函数 )()(51 )(21)0,(420x C x x x φφφψ++= 所描述的态中，式中 ) (),(),(420x x x φφφ均为一维谐振子的归一化定态波函 数，求：

量子力学 考研 真题

量子力学考研真题 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。 本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。 首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。量子力学是物理学的基础，它不 仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。 其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。下面关于波函数的哪种 说法是正确的？ A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。 B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。 C. 波函数只能用来描述电子的行为。 D. 波函数的实部表示粒子的动量。 这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。正确答案是B。波 函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。这道题目考察了考生对波函数的基本 概念的掌握程度。 除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。以下是一道典型的 计算题：

题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？ A. 1/2 B. 1/4 C. 0 D. 1 这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。正确答案是C。根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。 除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。这些内容需要考生有较强的数学基础和物理直觉，才能够进行深入的理解和分析。 综上所述，量子力学在考研中是一个重要的考点，对于物理学专业的考生尤为重要。通过掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具，考生可以更好地应对考试中的相关题目。同时，深入理解量子力学的原理和应用也有助于考生在物理学领域的研究和发展。希望本文对考生们在量子力学的学习和考试中有所帮助。

中科院量子力学考研真题及答案详解

中科院量子力学考研真题及答案详解第一题:有两种题型，一种是考察一维势，即我们常说的一维无限深势阱，阱宽有两种，[0，a]和[-a,a]，我们要牢记这两种类型的波函数及能量通式。题目中可能给出在阱中的一自由粒子在某一时刻的波函数，让你求t时刻的波函数，处于基态的几率，粒子的位置动量能量的平均值，动量分布及动量能量的均方差。最新的一种考察动向是，当阱宽扩大时，让你求新基态的几率等。另一种是考察一维势散射，求反射系数和透射系数，这种题目是基本题目。 第二题:考察谐振子，可能是一维也可能是多维，结合微扰考察的几率较大.一般题目中给出哈密顿量，不是标准的谐振子，而是含有x,y和他们的多次幂，让你用微扰求能谱，这里用到一些公式和一些常见的变换。还有一种可能考察电荷受到某一方向的电场的作用(看成微扰)求能量本征值。 第三题:定域电子受(或有磁矩的其他粒子)磁场作用，题目中告诉你t=0时刻粒子具有某方向自旋角动量的取值(可以写出此时刻的波函数)，让求以后任意时刻粒子某方向自旋角动量为某一定植的几率。这种题目屡次考察，应引起重视。 第四题:考察自旋为1/2的两个粒子组成的系统，告诉你波函数，让你求某一态(经常考察纠缠态)中两粒子自旋平行，反平行，为零或一个粒子自旋朝上另一个粒子自旋朝下的几率，或一个粒子自旋朝上另一个粒子处于什么状态。 第五题:有两种可能，一种考察自旋轨道耦合结合微扰。另一种可能考察dirac 符号，因为你以后要学高量，高量中使用dirac符号比较频繁，这也是考察的重点。 (只是江湖行侠个人意见，仅共参考)

当然，我们学量子力学不仅仅是为了考试，量子力学是人类发展史上最伟大的理论，没有一门理论像他那样博大精深，他是自然科学王冠上最璀璨的宝石。没有量子力学就没有人类的现代文明，我们物理人更要把他发扬光大。 “我们可以没有相对论，但我们不能没有量子力学” 分析中科大中科院量子力学普通物理考研试题命题规律 一维势:06年第一题[—a,a]型.05年第三题[0，a]型.04第一题年[—a,a] 型.00年[0，a]型.99年第三题.98年第一题. 一维势散射:03年第二题.05年第一题.01年二题. 定域电子受磁场作用:03年第五题.99年第四题.98年第二题.97年第二题.96年第三题. 泡利距阵结合δn : 06年第四题.03年第四题.00年第四题.99年(实验型)第四题. 97 年(实验型)第五题 . 谐振子类谐振子结合微扰:05年第二题第四题.04第二题第四题.01年第五题第六题.00年第五题.99年第二题第五题.98年第三题.97年第四题. 下面总的分析一下普通物理，就近几年的试题来看: (1)力学一般3个题目，60分左右，占总分的40%。 (2)电磁学3个题目，60分左右，占总分的40%。 (3)原子物理2个题目，30分左右，占总分的20%。 下面分3部分分析一下普通物理: (一) 力学(三个题目) 第一个题目一般考察简单物体的运动，运用运动学和牛顿运动定律就能解决，此题属于送分题目，地球人都会做。

北京科技大学量子力学考研真题

北京科技大学2003——2004学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程：ˆ H i t ψψ∂=∂ 一维定态薛定谔方程：()()()222 2d V x x E x m dx ψψ⎛⎫ -+= ⎪⎝⎭ 动量算符：ˆp i x ∂=∂ 高斯积分：2 x e dx α ∞--∞ = ⎰ 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()() 0;0,;0,x a V x x x a ∈⎧⎪=⎨ ∞<>⎪⎩ 1。[10分]求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知0t =时，该粒子状态为：())12,0()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子 的波函数； 3。[5分]求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分] 222 22n n n x a n E m a πψπ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎨⎪ =⎪⎩

2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = t 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--⎛⎫=+⎪⎭ 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11,,2 x t x t ψψ= t 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：() ()()()2 2 122 5ˆ,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+∂====∂ 平均位置：()()()122 16,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-⎛⎫ ==- ⎪⎝⎭ 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为： ( )† 1 2 H a a ω=+ 。这里ˆa 是湮灭算符，† ˆ a 是产生算符： †i a x p m i a x p m ωω⎧⎫=+⎪⎪ ⎪ ⎭⎨ ⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩ 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质：()()† 01ˆa x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 4 20m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（()12 4 2m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10分]

复旦大学量子力学考研真题

复旦大学量子力学考研真题 2021年复旦普通物理（回忆版） 第一至第三题为必做，第四到第十题选作五道一、1）写出开普勒三定律 2）从开普勒第一定律出发推导出第三定律二、1）（涉及质心、力矩的证明题）2）(角动量随时间的变化问题) 三、1）从公式dEk=F*dr出发，推导出相对论动能公式 2）证明相对论动能公式在低速条件下与牛顿力学动能公式的一致性四、1）一电介质球均匀带电，总电量Q，求电场强度分布2）电介质球不带电，但被均匀极化，求沿电极化强度P方向距球心d处的电场强度 五、一个电路中电源为ε，电阻为r，电感为L，求接通电路后电流随时间的变化 六、1）说明电磁场为什么具有物质性2）写出其运动公式 七、1）写出热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述2）证明其一致性 八、1）在T-S图中表示出卡诺循环，并指明每个过程的名称2）说明每个过程的做功和吸收热量 九、1)什么是光的衍射？光的衍射如何决定光学仪器的分辨率？2）《通用教程（第一版）光学・近代物理》3.4题 十、光以偏离法线角度i的方向从空气中入射玻璃，求其中s波的反射率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 1.在H0表象下，H0= ,H’= H’ 0时刻体系处于激发态的概率。 2.估算一维谐振子基态能量。

3.实际类氢原子不是一个点电荷，他的电势x(r)= 求该原子1s能级一级修正 4.已知两个全同粒子,其自旋为s,求该分别体系处于自旋对称态和自旋反对称态的概率 5.已知在Lz表象下,Lx= （）,Ly= （）(1)已知在( )态下,求Lx 的可能测值及相应的几率(2)在态ψ=( )态下, Lz的可能测值及几率, Lz^2测值为+1的几率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 1、取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为a，求粒子的能级及波函数。 2、1）估算一维谐振子的基态能量2）估算类氢原子的基态能量 3、利用[a,a+]=1, [a,a]=[a+,a+]=0, a|0=0 证明|n= (a+)n|0 4、两个自旋为1/2,质量为m的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为abc的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为V=Aδ（r1-r2）;体系处于与下列条件相容的最低能级，试用一阶微扰论计算体系能量1）两个粒子是自旋1/2的全同粒子2）两个粒子是自旋1/2的非全同粒子3）两个粒子自旋为零 5、有一个自旋1/2，磁距μ，电荷0的粒子，置于磁场B中，开始时（t=0）磁场沿z方向，B=B。=（0，0，B。），粒子处于σz的本征态（）,即σz=-1，t0时，再加上沿x方向的较弱的磁场B1=（B1,0,0），从而B=B。+B1=（B1,0, B。） 求t0时粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”（σz=1）的概率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 第一题为必做，第二至第七题选作五道 一、1）写出量子力学五个基本假设 2）分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程3）动量和坐标的某种对易关系（具体记不清了）4）求σx的本征值和本征态5）求Lz的本征值和本征函数二、计算波函数的某个算符的平均值 三、t0时，电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。t0时，

汇总高校量子力学考研试题

习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符 与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为 ____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。