哈工大考研真题量子力学

哈工大考研真题量子力学

哈尔滨工业大学（简称哈工大）是中国著名的工科大学之一，拥有丰富的科研

实力和优秀的师资队伍。考研是很多学子为了进一步深造选择的途径，而哈工

大的考研真题无疑是备考的重要参考资料之一。在众多科目中，量子力学是考

研物理专业的重要内容之一，下面将对哈工大考研真题中的量子力学部分进行

一些讨论和解析。

量子力学是现代物理学的重要分支，它研究微观粒子的行为规律，揭示了微观

世界的奥秘。在考研真题中，量子力学的内容主要包括波粒二象性、波函数、

算符、测量等方面。学习量子力学需要有扎实的数学基础和一定的物理直觉，

同时也需要具备一定的逻辑思维能力。

首先，考研真题中经常涉及到的一个重要概念是波粒二象性。这个概念表明微

观粒子既可以表现出波动性，也可以表现出粒子性。例如，光既可以被看作是

一束波动的电磁波，也可以被看作是由粒子组成的光子流。在考研真题中，常

常会涉及到光子的波粒二象性以及与之相关的实验现象，如干涉、衍射等。

其次，波函数是量子力学中的一个重要概念。波函数描述了一个量子体系的状态，它是一个复数函数，可以用来计算出体系的各种物理量。在考研真题中，

常常会涉及到波函数的性质和计算方法，例如定态波函数和定态薛定谔方程的

求解，以及波函数的归一化等。

另外，算符是量子力学中的重要工具之一。算符可以对波函数进行操作，从而

得到体系的物理量。在考研真题中，常常会涉及到算符的性质和应用，例如位

置算符、动量算符和能量算符等。同时，还会涉及到算符的本征值和本征函数，以及它们之间的关系。

测量是量子力学中的一个重要概念，它与观测量子体系的物理量有关。在考研真题中，常常会涉及到测量的原理和方法，以及测量结果的统计性质。例如，测量的不确定性原理表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。

总之，哈工大考研真题中的量子力学部分是物理专业考生备考中的重要内容。学习量子力学需要具备扎实的数学基础和物理直觉，同时也需要具备一定的逻辑思维能力。通过对考研真题的学习和分析，可以更好地理解量子力学的基本概念和原理，提高解题能力和应试能力。希望广大考生能够充分利用哈工大考研真题中的量子力学部分，为考研备考打下坚实的基础。

量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()⎩⎨ ⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 32121 31210,ϕϕϕψ+-= 状态上，其中， ()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数() t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ϕπsin 2,3,2,1 ,22 2 22=== （1） 首先，将()0,x ψ 归一化。由 12131212 22 2 =⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312= c 于是，归一化后的波函数为 ()()()() x x x x 321133 1341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为 ()()()133 ;134 ;136321= ==E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 三. 设厄米特算符H ˆ的本征矢为 n ， {n 构成正交归一完备系，定 义一个 算符 ()n m n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H ,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,ˆT r ； （4） 若算符 A ˆ 的矩阵元为n m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U A A n m m n ,ˆˆ,∑= (){ } q p U A A pq ,ˆˆTr += 解： （1）对于任意一个态矢 ψ，有 ()[ ]( )( )( )( )()( )ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H n m U H n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-= -=-=-= 故 ()[]()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2） ()()()p m U q p U n m U nq p q n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+ （3）算符的迹为

哈工大考研真题量子力学

哈工大考研真题量子力学 哈尔滨工业大学（简称哈工大）是中国著名的工科大学之一，拥有丰富的科研 实力和优秀的师资队伍。考研是很多学子为了进一步深造选择的途径，而哈工 大的考研真题无疑是备考的重要参考资料之一。在众多科目中，量子力学是考 研物理专业的重要内容之一，下面将对哈工大考研真题中的量子力学部分进行 一些讨论和解析。 量子力学是现代物理学的重要分支，它研究微观粒子的行为规律，揭示了微观 世界的奥秘。在考研真题中，量子力学的内容主要包括波粒二象性、波函数、 算符、测量等方面。学习量子力学需要有扎实的数学基础和一定的物理直觉， 同时也需要具备一定的逻辑思维能力。 首先，考研真题中经常涉及到的一个重要概念是波粒二象性。这个概念表明微 观粒子既可以表现出波动性，也可以表现出粒子性。例如，光既可以被看作是 一束波动的电磁波，也可以被看作是由粒子组成的光子流。在考研真题中，常 常会涉及到光子的波粒二象性以及与之相关的实验现象，如干涉、衍射等。 其次，波函数是量子力学中的一个重要概念。波函数描述了一个量子体系的状态，它是一个复数函数，可以用来计算出体系的各种物理量。在考研真题中， 常常会涉及到波函数的性质和计算方法，例如定态波函数和定态薛定谔方程的 求解，以及波函数的归一化等。 另外，算符是量子力学中的重要工具之一。算符可以对波函数进行操作，从而 得到体系的物理量。在考研真题中，常常会涉及到算符的性质和应用，例如位 置算符、动量算符和能量算符等。同时，还会涉及到算符的本征值和本征函数，以及它们之间的关系。

测量是量子力学中的一个重要概念，它与观测量子体系的物理量有关。在考研真题中，常常会涉及到测量的原理和方法，以及测量结果的统计性质。例如，测量的不确定性原理表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。 总之，哈工大考研真题中的量子力学部分是物理专业考生备考中的重要内容。学习量子力学需要具备扎实的数学基础和物理直觉，同时也需要具备一定的逻辑思维能力。通过对考研真题的学习和分析，可以更好地理解量子力学的基本概念和原理，提高解题能力和应试能力。希望广大考生能够充分利用哈工大考研真题中的量子力学部分，为考研备考打下坚实的基础。

精选结构化学试题7

哈工大2006年秋季学期 结构化学（II）试题 一、判断题（对者在括号内划√，错者划╳，每题1分，共10分） 1、用变分法求得的微观体系能量一般要大于其真实的基本能量。（） 2、s轨道总是对称的，p轨道可能是对称的或反对称的，故二者的对称性不可能匹配。（） 3、在库仑积分Hii、交换积分Hij和重叠积分中Sij中，对成键起主要作用的是Hij。 （） 4、不确定关系的主要用途在于判断一个体系是否有必要用量子力学来处理。 （） 5、光谱项所描述的原子状态考虑了原子中电子的自旋与自旋、轨道与轨道的相互作用。（） 6、乙烯中的2个π电子可以看作一位势箱中的粒子，而丁二烯中的4个π电子不能看作一位势箱中的粒子。（） 7、按照价层电子对互斥理论，NH3分子的空间构型为正四面体。（） 8、惰性电子效应可通过s电子的钻穿效应来解释。（） 9、分子轨道理论和价键理论都是以量子力学为基础提出的。（） 10、能级交错现象存于所有原子中。（） 二、填空题（每空1分，共30分） 1、对于B原子，ψ210 -1/2所描述的电子，属于（）电子层，（）亚层，（）轨道，自旋状态为（），原子轨道角度分布图为（），电子云角度分布 第1页（共4 页）试题：班号：姓名： 图为（），电子云图为（），|M|为（），Mz为（），|μ|为（），μz为（），|Ms|为（），Msz为（），|μs|为（），μsz 为（）。 2、.对于Li原子的1S22S1状态，其原子量子数L为（），mL为（），S为（），ms为（），J为（），mJ为（），可能的光谱项为（）,光谱支项为（）。 3、He原子的薛定谔方程可表示为（）。角动量P 在Z轴上的分量的3次方的算符可表示为（）。N2的分子轨道电子排布式为（），其中单电子数为（）；HF的分子轨道电子排布式为（），键级为（），N2和HF相比，较稳定的是（）。 四、说明题（20分） 1．（6分）对于2NO=N2+O2的反应，试用前线轨道理论填写表中各项，并作适当说明（要求画出有关图形） 反应物 HOMO LUMO 反应方式与对称性

西工大量子力学考研试题

西北工业大学 2005年硕士研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（B ） 试题编号：816 说 明：所有答题一律写在答题纸上 第 1 页 共 3页 一．（20分）简要说明 1． 量子力学迭加原理及其经典迭加原理的区别 2． 力学量完全集 3． 全同性原理及其对多粒子体系波函数的限制 4． 变分法 二．（20分）证明（两题中任选一题） 1． 厄米算符的本征值是实数 2． 厄米算符本征函数的正交性 三．（20分）计算 1．[Ly, x]= 3． 用测不准关系估计氢原子基态能量 四．（20分） 设氢原子在t =0时刻处于用归一化波函数 ),()(),()(2 1),,(11311021?θγ?θγ?θγ-+=ψY CR Y R 描述的态，求 1． C =？ 2． t =O 时，氢原子的能量，角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现 西北工业大学

2005年硕士研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（B ） 试题编号：816 说 明：所有答题一律写在答题纸上 第 2 页 共 3页 的几率和这些力学量的平均值。 3． t >0时，上述值有无变化？为什么？ 4． 写出t>O 时的波函数 五．（20分） 1． 求在动量表象中X 的矩阵表示形式 2． （1）在S 2S Z 表象中，求S x 的本征值及本征函数。 （2）在S x 为2 1 的本征态中对S Z 进行测量，测得各种可能值及其几率是多少？ （3）求出S Z 表象到S X 表象的变换矩阵 六．（30分） 1． 转动惯量为I ，电距为D 的刚性空间转子，处在均匀弱电场ε 中，用微扰 法求转子基态能量的二级近似。 2． 电荷为e 的谐振子在t=0时处于基态，t>0以后处在一与谐振子振动方向相 同的恒定的外电场ε 中，求谐振子处于任意态的几率。 七．（20分） 1． 设氢原子的状态是 ()),()(23),()(2 110211121?θγ?θγY R Y R =ψ (1)求轨道角动量z 分量Lz 和自旋角动量Sz 的平均值 西北工业大学 2005年硕士研究生入学考试试题 试题名称：量子力学（B ） 试题编号：816 说 明：所有答题一律写在答题纸上 第 3 页 共 3 页

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析 设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研] 【解题思路】 ①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； ②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； ③轨道角动量力学量的本征方程。 【解析】 （1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令

所以 因此 所以 【知识储备】 ①氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ） ②维里定理 如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ） 角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】 假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。 7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。 （1）写出t时刻系统的波函数； （2）求出t时刻系统的平均能量。 [中国科学技术大学2012研] 【解题思路】 根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。 【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为： 其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为： 容易解得 相应的能量本征值为： 可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。 对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出： （2）t时刻系统的平均能量为：

量子力学考研核心题库

一、填空题 1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数 【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067 （2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为 （2）A 【解析】取x为原点，则有波函数为 所求概率即 4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。 【答案】 6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】 二、选择题 7．__________。 【答案】 8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的 取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。 【答案】 9．（1）_____；（2）_____。 【答案】

第5章 量子力学考研试题选讲(华师)——0313普物+量子力学真题资料文档

华中师范大学20××年研究生入学考试试题解答 一．设氢原子处于状态 ),(Y )r (R 2 3),(Y )r (R 21),,r (11211021ϕθ-ϕθ= ϕθψ- 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均 值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22s 222s 28e n 2e E μ-=μ-= )2n (= 角动量平方有确定值为 2222)1(L =+= )1(= 角动量Z 分量的可能值为 0L 1Z = -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 43 L Z 的平均值为 4 3 43041L Z -=⨯-⨯= 二．计算：（1）分别在x S ˆ和y S ˆ表象中，求出x S ˆ、y S ˆ和z S ˆ的矩阵表示。（2）粒子受到势能为⎩⎨ ⎧>≤-=a r ,0a r ,U )r (U 0的场散射，U 0>0,用玻恩近似计算微分散射截面。 解：（1）考虑到σ= 2 S ,我们先求x ˆσ 、x ˆσ和z ˆσ的矩阵表示。 在x σ表象中x ˆσ应为对角矩阵，对角元为的本征值，由12x =σ知x σ的本征值为±1，故 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=σ1001ˆx 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σd c b a ˆy ，因x ˆσ是厄米算符，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d b c a ** **，所以 a *=a,d *=d,即a,d 为实数，b=c *,b *=c 所以：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=σd b b a ˆ* y 由0ˆˆˆˆx y y x =σσ+σσ，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001d b b a d b b a 1001**

量子力学答案陈鄂生

量子力学答案陈鄂生 【篇一：考研理论物理：备考复习的重难点与轻易面】ss=txt>易面 虽然各高校的考试科目不同，但复习方法是相同的。物理作为一门 基础学科，无论是基础物理还是四大力学，都需要掌握最基本的原 理和公式，复习主要侧重课本、习题集、往年真题三方面。 2014考研理论物理：考复习的重难点与轻易面 经典物理：很多院校都是把经典物理作为必考科目，但不会涉及力、热、光、电、原子物理的所有部分。每一院校都会给出参考书目和 考试范围，如果没有参考书目，可以用该校的本科教材。复习是最 关键的部分是吃透课本，对基本概念、基本原理熟练掌握，这个过 程要通过看课本、推导公式与结论以及做课后习题来实现。然后是 认真做历年真题，建议考生准备一个习题集，把自己推导过的公式 和做过的题目整理出来，这样有利于厘清薄弱环节。最后就是根据 自己的薄弱点找几本参考书目浏览，推荐中国科学技术大学出版的《物理学大题典》和陈秉乾的《物理学难题集萃》，这些书题量大，最好是根据自己的薄弱环节先挑出几个章节扫一下题目，如果觉得 有思路，大概算一下，如果思路不清晰，则直接看解答。考试之前 最好再把课本浏览一遍，可以只看目录，通过目录检查自己对课本 里的基本概念、基本公式是否都掌握了，如果不清楚，再翻开去详读。 高等数学：建议考生每天保证至少三个小时的复习时间。数学题目 做不完，但如果不经过大量的习题训练，成绩很难得到提高。高等 数学的考试不会出现太多的偏题、怪题，考生要从基础学起，先把 教材中的概念、公式复习好，然后在此基础上选择一些题目进行强化，尤其是综合性试题和应用题。解应用题一般是在理解题意的基 础上建立数学模型，这种题目现在每年都考，考生需要平时进行强 化训练。最后是重视历年试卷，高等数学部分试题重复率比较高。 推荐复习书目有中国科学技术大学数学系的《高等数学导论习题集》、同济大学的《高等数学习题集》。 量子力学：和复习经典物理一样，吃透课本和课后习题是量子力学 复习的第一步。如果学校没有列出参考书目，建议看曾谨言的《量 子力学导论》;如果需要对量子力学进行深入理解，建议参考狄拉克 的《量子力学原理》和费曼的《费曼物理学讲义(三)》。习题集方面，

周世勋量子力学考研题库

周世勋量子力学考研题库 周世勋量子力学考研题库 周世勋是一位备受尊敬的量子力学教授，他对量子力学的研究和教学成果卓著。他的贡献不仅体现在他的学术论文和著作中，还体现在他编写的量子力学考研 题库中。这个题库成为了许多考生备战考研的必备资料。本文将介绍周世勋量 子力学考研题库的特点和优势。 首先，周世勋量子力学考研题库的特点在于题目的多样性和难度的递进性。这 个题库涵盖了量子力学的各个方面，包括基本原理、波函数、算符、测量等等。题目的难度从简单到复杂逐渐增加，考生可以根据自己的水平选择适合的题目 进行练习。这种递进性的设计有助于考生逐步提高自己的理论水平和解题能力。其次，周世勋量子力学考研题库的优势在于题目的质量和解析的详细性。每个 题目都经过周世勋教授的精心设计和筛选，确保题目的准确性和科学性。同时，每个题目都附有详细的解析，包括解题思路、关键步骤和计算过程。这种详细 的解析有助于考生理解和掌握解题方法，提高解题的准确性和效率。 第三，周世勋量子力学考研题库的独特之处在于注重实践和应用。除了基础理 论题目，这个题库还包括了一些实践和应用题目，例如实验设计、数据分析和 问题解决等。这些题目能够帮助考生将理论知识与实际问题相结合，培养他们 的实践能力和创新思维。 此外，周世勋量子力学考研题库还提供了一些辅助学习资料，例如复习笔记、 参考书目和学习指导等。这些资料能够帮助考生更好地理解和掌握量子力学的 知识，提高他们的学习效果和考试成绩。 总之，周世勋量子力学考研题库是一份优秀的学习资料，它的多样性、难度递

进性、题目质量和解析详细性都是其特点和优势所在。考生通过使用这个题库，可以提高自己的理论水平和解题能力，为考研的成功打下坚实的基础。无论是 准备考研还是深入研究量子力学，这个题库都是一份不可或缺的学习资料。

哈工大理论力学考研理论力学Ⅱ考研2021考研真题库

哈工大理论力学考研《理论力学n》^ 2021考研真题库 第一部分名校考研真题 1.如图15-1所示，物块A的质量为m1, B轮的质量为m2，半径为R,在水平面做无滑动滚动。轮心用刚度为k长度为l的弹簧与物块A相连，物块A与水平面间为光滑接触。试以4，X2为广义坐标， （1）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； （2）写出系统的第二类拉格朗日方程； （3）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。［中山大学2011研］ 图15-1 解：（1）系统的动能为： 系统势能为： 其中；为处于平衡位置弹簧的伸长量。 拉格朗日函数

(2 )第二类拉格朗日方程 代入上一步的表达式，得 /H］X+：吗取珞+冷=0 (3)求其首次积分。因拉格朗日函数中不显含时间t，故存在能量积分，系统机械 能守恒，即 二C C为常数 2 .质量为m的重物悬挂在刚度系数为k的弹簧上，且在光滑的铅垂滑道中运动。 在重物的中心处铰接一个质量为M、长为21的匀质杆，杆在铅垂平面内运动，如图15-2所示。 (1)试确定系统的自由度并选择广义坐标； (2)写出系统的动能及势能及拉格朗日函数； (3 )写出系统的第二类拉格朗日方程； (4 )求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分。［中山大学2010研］ 图15-2

解：（1）以整个系统为研究对象，物块和杆均做平面运动，该系统具有两个自由度。 选重物A的中心的垂直坐标y和杆的偏角•为广义坐标，如下图所示。因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力，所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解。 （2）以A的中心C点为基点分析AB杆质心D的速度，如图15-3所示。 图15-3 根据速度合成公式有 其中：=「二二：=-- 系统动能为 选O为零势能点，设弹簧的原长为l0则系统的势能为 故系统的拉格朗日函数为

哈工大考研真题答案解析

哈工大考研真题答案解析 近年来，考研热持续高涨，越来越多的学生选择报考哈尔滨工业大学。哈尔滨工业大学（以下称哈工大）是一所享有盛誉的高校，其考研真题备受瞩目。本文将对哈工大考研真题进行解析，并给出相关答案和解析，希望能够对考研学子提供一些帮助。 第一部分：数学 1. 分析题（30分） 该题要求考生证明某个数列为收敛数列。根据数学分析的基本定理和数列的性质，考生可以使用数列的定义和边界定理等相关知识，进行证明。在解答该题时，可以先列出数列的递推公式，然后通过数列的性质，如有界性、单调性等，推导出数列的极限，并证明数列的收敛性。 2. 方程求解题（25分） 该题要求考生求解一个复杂方程组。解决这类问题时，可以采用代入法、消元法、高斯消元法等多种方法。首先将方程组转化为矩阵形式，然后通过合适的运算，得到方程组的解。在解题过程中，考生需要谨慎操作，避免出现计算错误，并能够将结果进行验证。此外，对于无法用代数方法解决的问题，考生还可以使用数值法或图形法进行求解。 第二部分：英语 1. 阅读理解（30分）

该部分要求考生阅读一段英文短文，并回答相关问题。在解答时，考生需要仔细阅读题目和短文，理解短文的主旨和细节，并将其运用 到具体问题的解答中。为了更好地解答问题，可以采用标记和划线等 技巧，以帮助理清思路和找到相关信息。此外，考生还需要熟练掌握 英语词汇和语法知识，以确保正确解答问题。 2. 完形填空（25分） 该部分要求考生根据给出的上下文，选择最佳的词语或词组填入 空白处，使得短文语境通顺和完整。解答这一部分时，考生需要通过 上下文理解短文的内容和意图，并根据选项的意义和语法知识来进行 选择。为了更好地解答问题，可以先通读全文，了解整体语境，然后 根据选项的词义和语法，进行逐一选择。 第三部分：专业课 1. 计算机网络（30分） 该部分要求考生回答与计算机网络相关的问题。计算机网络作为 一门重要的专业课程，对于考研学生来说是必修内容。在回答问题时，考生需要熟悉计算机网络的基本概念和原理，并能够将理论知识应用 于实际问题的解决中。为了更好地回答问题，考生可以通过实例和图 表等形式，对问题进行具体说明。 2. 软件工程（25分） 该部分要求考生回答软件工程的相关问题。软件工程是计算机专 业中的一门重要课程，对于考研学生来说也是必考内容之一。在回答 问题时，考生需要熟悉软件工程的基本原理和方法，并能够将其应用 于软件开发的过程中。为了更好地回答问题，考生可以结合实际案例

量子力学--考研必背公式

量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ⎰⎰--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=⎰ (3) =⎰axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2-= ⎰ (5) =⎰axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+= ⎰ (7) ax a a x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=⎰) )ln(2222c ax x a a c c ax x ++++ (0>a ) (8)⎰=+dx c ax 2 )arcsin(222x c a a c c ax x --++ (a<0) ⎰ 20sin πxdx n 2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数) (9) = ⎰2 0cos π xdx n ! !!)!1(n n - (=n 正奇数) 2π (0>a ) (10)⎰∞ =0sin dx x ax 2π- (0=a n 正整数)

(12) a dx e ax π2102=⎰∞ - (13) 121022!)!12(2 ++∞ --=⎰n n ax n a n dx e x π (14) 10122! 2+∞-+=⎰n ax n a n dx e x (15) 2sin 022a dx x ax π⎰∞= (16) ⎰∞ -+=02 22)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ⎰∞-+-=02222 2 )(cos b a b a bxdx xe ax (0>a )

哈工大考研量子力学试题

2.2.3 2008年真题 【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有， 写出一个来；如果没有，请说明为什么 【解题】 没有，^^^ ,x y z L L i L ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 不对易，故无共同本征态 【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于 基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。 【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ∇+的本征值为n E ，相应的本征函数 为()n r ϕ，求2 22()2H V r C μ =- ∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。 【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出 相关结果

【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ +=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与 动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果 【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴==