考研量子力学真题

考研量子力学真题

考研量子力学真题

考研是许多大学生的梦想和目标，而量子力学作为物理学的重要分支，也是考研物理学专业的必备知识。在备考过程中，熟悉和掌握量子力学的理论和应用是非常重要的。因此，通过研究考研量子力学真题，可以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好准备。

量子力学是研究微观世界的一门学科，它描述了微观粒子的行为和性质。在考研物理学专业中，量子力学通常是一个重要的考点，也是考试中的难点之一。因此，熟悉和掌握量子力学的基本概念和数学工具是非常重要的。

考研量子力学真题通常涵盖了量子力学的基本原理、波函数、算符、测量和态的演化等内容。在解答这些题目时，需要熟悉量子力学的数学工具，如波函数的归一化条件、薛定谔方程和算符的性质等。同时，还需要理解量子力学的基本概念，如波粒二象性、量子叠加态和测量理论等。

在解答考研量子力学真题时，需要注意以下几点。首先，要仔细阅读题目，理解题目中所给的信息和要求。其次，要运用量子力学的基本原理和数学工具进行分析和计算。例如，在解答波函数的归一化问题时，可以利用波函数的模方积分为1的性质进行计算。另外，在解答算符的性质问题时，可以利用算符的本征值和本征态的性质进行推导和计算。

除了基本的理论和计算问题，考研量子力学真题还可能涉及到一些应用和实验问题。例如，在解答关于量子力学的实验问题时，需要了解一些基本的实验原理和技术。此外，还需要熟悉一些常见的量子力学应用，如量子力学在原子、分子和固体物理中的应用等。

通过研究考研量子力学真题，可以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好

准备。在备考过程中，可以通过解答真题来检验自己的理解和掌握程度，并及

时发现和弥补知识的不足。此外，还可以通过参考真题的解析和答案，来学习

和理解解题的方法和思路。

总之，考研量子力学真题是备考过程中的重要资料，通过研究和解答真题，可

以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好准备。在解答真题时，需要熟悉

量子力学的基本概念和数学工具，运用正确的方法进行分析和计算。通过解答

真题，可以检验自己的理解和掌握程度，并及时发现和弥补知识的不足。最终，希望每一位考研物理学专业的学生都能够在考试中取得好成绩，实现自己的梦

想和目标。

量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()⎩⎨ ⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 32121 31210,ϕϕϕψ+-= 状态上，其中， ()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数() t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ϕπsin 2,3,2,1 ,22 2 22=== （1） 首先，将()0,x ψ 归一化。由 12131212 22 2 =⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312= c 于是，归一化后的波函数为 ()()()() x x x x 321133 1341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为 ()()()133 ;134 ;136321= ==E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 三. 设厄米特算符H ˆ的本征矢为 n ， {n 构成正交归一完备系，定 义一个 算符 ()n m n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H ,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,ˆT r ； （4） 若算符 A ˆ 的矩阵元为n m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U A A n m m n ,ˆˆ,∑= (){ } q p U A A pq ,ˆˆTr += 解： （1）对于任意一个态矢 ψ，有 ()[ ]( )( )( )( )()( )ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H n m U H n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-= -=-=-= 故 ()[]()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2） ()()()p m U q p U n m U nq p q n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+ （3）算符的迹为

哈工大考研真题量子力学

哈工大考研真题量子力学 哈尔滨工业大学（简称哈工大）是中国著名的工科大学之一，拥有丰富的科研 实力和优秀的师资队伍。考研是很多学子为了进一步深造选择的途径，而哈工 大的考研真题无疑是备考的重要参考资料之一。在众多科目中，量子力学是考 研物理专业的重要内容之一，下面将对哈工大考研真题中的量子力学部分进行 一些讨论和解析。 量子力学是现代物理学的重要分支，它研究微观粒子的行为规律，揭示了微观 世界的奥秘。在考研真题中，量子力学的内容主要包括波粒二象性、波函数、 算符、测量等方面。学习量子力学需要有扎实的数学基础和一定的物理直觉， 同时也需要具备一定的逻辑思维能力。 首先，考研真题中经常涉及到的一个重要概念是波粒二象性。这个概念表明微 观粒子既可以表现出波动性，也可以表现出粒子性。例如，光既可以被看作是 一束波动的电磁波，也可以被看作是由粒子组成的光子流。在考研真题中，常 常会涉及到光子的波粒二象性以及与之相关的实验现象，如干涉、衍射等。 其次，波函数是量子力学中的一个重要概念。波函数描述了一个量子体系的状态，它是一个复数函数，可以用来计算出体系的各种物理量。在考研真题中， 常常会涉及到波函数的性质和计算方法，例如定态波函数和定态薛定谔方程的 求解，以及波函数的归一化等。 另外，算符是量子力学中的重要工具之一。算符可以对波函数进行操作，从而 得到体系的物理量。在考研真题中，常常会涉及到算符的性质和应用，例如位 置算符、动量算符和能量算符等。同时，还会涉及到算符的本征值和本征函数，以及它们之间的关系。

测量是量子力学中的一个重要概念，它与观测量子体系的物理量有关。在考研真题中，常常会涉及到测量的原理和方法，以及测量结果的统计性质。例如，测量的不确定性原理表明，无法同时准确测量一个粒子的位置和动量。 总之，哈工大考研真题中的量子力学部分是物理专业考生备考中的重要内容。学习量子力学需要具备扎实的数学基础和物理直觉，同时也需要具备一定的逻辑思维能力。通过对考研真题的学习和分析，可以更好地理解量子力学的基本概念和原理，提高解题能力和应试能力。希望广大考生能够充分利用哈工大考研真题中的量子力学部分，为考研备考打下坚实的基础。

历年量子力学考研真题试卷

历年量子力学考研真题试卷 历年量子力学考研真题试卷 量子力学是现代物理学的重要分支，也是考研物理专业的必考内容之一。历年来，考研真题试卷中的量子力学部分涵盖了许多重要的概念和原理，对于考生来说是一项重要的挑战。本文将对历年的量子力学考研真题试卷进行回顾和分析，帮助考生更好地准备考试。 首先，我们来看一道经典的考研真题：2015年考研物理专业真题中的一道量子力学选择题。 题目如下：在一个一维无限深势阱中，一束波长为λ的平面波入射，其入射角为θ。已知势阱宽度为a，求波函数在势阱内的形式。 这道题目考查了量子力学中的一维无限深势阱问题。解答这道题目需要运用波函数的性质和边界条件来分析。首先，我们可以根据波函数的性质得出波函数在势阱内的形式是一个定态波函数。其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。因此，波函数在势阱内的形式可以表示为： Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。 接下来，我们来看一道稍微复杂一些的考研真题：2018年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。 题目如下：考虑一个束缚在一维势阱中的粒子，势阱宽度为a。已知粒子的质量为m，势阱内的势能为V_0，势阱外的势能为0。求粒子在势阱内的能级。这道题目考查了量子力学中的束缚态问题。解答这道题目需要运用定态薛定谔

方程和边界条件来分析。首先，我们可以根据定态薛定谔方程得到粒子在势阱内的波函数形式。其次，根据边界条件，我们可以得到波函数在势阱两侧的形式是分别由入射波和反射波组成。因此，波函数在势阱内的形式可以表示为：Ψ(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}，其中A和B分别表示入射波和反射波的振幅，k 为波矢。 然后，我们需要将波函数在势阱两侧的形式进行匹配，并利用边界条件得到粒子在势阱内的能级。通过求解定态薛定谔方程，我们可以得到粒子在势阱内的能级为： E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2ma^2}，其中n为能级的量子数。 最后，我们来看一道较为综合的考研真题：2013年考研物理专业真题中的一道量子力学计算题。 题目如下：考虑一个一维谐振子，其势能函数为V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2x^2。已知谐振子的基态波函数为Ψ_0(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}e^{-\frac{m\omega x^2}{2\hbar}}。求谐振子的第n个能级的波函数。 这道题目考查了量子力学中的谐振子问题。解答这道题目需要运用谐振子的能级和波函数的性质来分析。首先，我们可以根据谐振子的能级公式得到第n个能级的能量为： E_n = \left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega，其中n为能级的量子数。 其次，根据谐振子的波函数性质，我们可以得到第n个能级的波函数为： Ψ_n(x) = \left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2^n n!}}\left(\frac{m\omega}{\hbar}\right)^{\frac{1}{2}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{

量子力学考研真题与量子力学考点总结

量子力学考研真题与量子力学考点总结 8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研] 【解题的思路】 直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。 【分析】 在势场V中，粒子所受作用力为 因此作用力F的平均值为 得证。 【知识储备】 ①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。 ②

即 ③在某一表象下，算符F ∧ 在ψ态中的平均值为 29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数： （1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。 [中国科学院2007研] 【解题的思路】 对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。 【分析】 （1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为 本征能量为 对于两个可区分粒子 基态

能量 波函数 因此，能级简并度为4。第一激发态 或者 能量 波函数

因此，能级简并度为8。 （2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态 能量 波函数 能级非简并。 第一激发态 或者 能量 波函数

能级简并度为4。 【知识储备】 ①一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是 在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 ②全同粒子 a．全同粒子定义 在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。 b．全同性原理

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

复旦量子力学考研真题

复旦量子力学考研真题 复旦大学是中国一所著名的综合性高等学府，其物理学专业一直以来都备受瞩目。在物理学领域中，量子力学是一门重要而又复杂的学科。考研对于量子力 学的要求也相当高，因此复旦大学量子力学考研真题成为了众多学子的关注焦点。 量子力学，作为现代物理学的重要分支，涉及到微观世界的规律和现象。它的 理论体系由一系列的方程和原理构成，其中包括薛定谔方程、波粒二象性、量 子力学的统计解释等。这些内容不仅深奥难懂，而且与我们日常生活的经验常 识相差甚远。因此，研究量子力学需要具备扎实的数学基础和抽象思维能力。 复旦大学量子力学考研真题是许多考生备战考试的重要参考资料。这些真题包 括选择题和解答题两个部分，涵盖了量子力学的各个方面。在选择题中，考生 需要通过对知识点的理解和记忆，选择正确的答案。这要求考生对于量子力学 的各个概念和定理都要有清晰的认识，并能够将其应用到具体问题中。而在解 答题中，考生需要运用所学的知识，对给定的问题进行分析和求解。这要求考 生具备扎实的理论基础和一定的解题技巧。 复旦大学量子力学考研真题的难度较高，对考生的能力要求也较为严格。它既 考察了考生对于基本概念和原理的理解，又考察了考生的解题能力和思维深度。因此，备战考试的学生需要在平时的学习中注重理论的掌握和实践的操作，通 过大量的习题训练，提高自己的解题能力和应变能力。 在备考过程中，考生可以通过多种途径获取复旦大学量子力学考研真题。一方面，可以通过网络搜索相关资料，找到真题的电子版或者相关的解析。另一方面，可以向老师或者学长学姐请教，获取他们的经验和建议。此外，还可以参

加一些针对考研真题的辅导班或者培训班，通过专业的指导和讲解，提高自己的备考效果。 总之，复旦大学量子力学考研真题是备战考试的重要参考资料。通过对这些真题的学习和解答，考生可以更好地了解考试的要求和难度，提高自己的解题能力和应变能力。但是，真题只是备考的一个重要方面，考生还需要注重理论的学习和实践的操作，全面提高自己的物理学素养和解题能力。只有在全面提高的基础上，才能够在考试中取得好的成绩，实现自己的考研目标。

东南大学考研量子力学真题

东南大学考研量子力学真题 东南大学考研量子力学真题 量子力学是现代物理学的重要分支，它描述了微观世界中的粒子行为和物质的 性质。对于物理学专业的研究生来说，掌握量子力学的基本原理和数学工具是 必不可少的。因此，东南大学考研的量子力学真题成为了众多考生备考的重要 资料。 在东南大学考研量子力学真题中，涉及了许多重要的概念和理论。其中之一是 波粒二象性。根据波粒二象性，微观粒子既可以表现出波动性，又可以表现出 粒子性。这一概念颠覆了经典物理学中的观念，引发了量子力学的诞生。在真 题中，考生需要理解并应用波粒二象性，解释一系列实验现象，如光的干涉和 衍射、电子的双缝干涉等。 另一个重要的概念是量子力学的数学形式。量子力学使用数学语言描述微观粒 子的行为。在真题中，考生需要熟悉量子力学中的波函数和算符。波函数是描 述粒子状态的数学函数，而算符则描述粒子的物理量和测量结果。通过运算符 的作用，可以得到粒子的能量、位置、动量等物理量的测量结果。考生需要掌 握波函数的性质和算符的运算规则，以解答真题中的数学计算题。 此外，东南大学考研量子力学真题还涉及到了量子力学中的一些基本原理和定理。例如，海森堡不确定关系原理和波恩定则等。海森堡不确定关系原理指出，对于某一物理量的测量，其精确度和另一物理量的测量精确度存在一定的限制 关系。波恩定则则是量子力学中的一个重要定理，用于计算粒子的能级和谱线 强度。掌握这些基本原理和定理，考生可以更好地理解量子力学的基本原理和 现象，并应用于实际问题的求解。

在备考过程中，除了熟悉真题的内容，考生还需要进行大量的练习和思考。量 子力学是一门抽象而深奥的学科，需要通过大量的实际计算和问题解答来加深 理解。考生可以通过做一些典型题目，加深对概念和原理的理解，并培养解决 实际问题的能力。此外，考生还可以参考一些经典的量子力学教材和研究论文，拓宽自己的知识面，深入了解量子力学的发展和应用。 东南大学考研量子力学真题是考生备考的重要参考资料。通过研究真题，考生 可以了解考试的难度和形式，熟悉考试的出题思路和要求。同时，真题也是考 生检验自己学习成果和提高自己能力的重要工具。通过反复练习和思考，考生 可以逐渐提高自己的解题能力和应试水平。 总之，东南大学考研量子力学真题对于考生备考非常重要。通过研究真题，考 生可以巩固和拓宽自己的知识，提高解题能力和应试水平。在备考过程中，考 生还需要进行大量的实际计算和问题解答，加深对概念和原理的理解。通过不 断努力和实践，考生一定能够在考试中取得好成绩。

量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析 设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研] 【解题思路】 ①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； ②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； ③轨道角动量力学量的本征方程。 【解析】 （1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令

所以 因此 所以 【知识储备】 ①氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ） ②维里定理 如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ） 角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】 假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。 7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。 （1）写出t时刻系统的波函数； （2）求出t时刻系统的平均能量。 [中国科学技术大学2012研] 【解题思路】 根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。 【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为： 其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为： 容易解得 相应的能量本征值为： 可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。 对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出： （2）t时刻系统的平均能量为：

量子力学 考研 真题

量子力学考研真题 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。 本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。 首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。量子力学是物理学的基础，它不 仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。 其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。下面关于波函数的哪种 说法是正确的？ A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。 B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。 C. 波函数只能用来描述电子的行为。 D. 波函数的实部表示粒子的动量。 这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。正确答案是B。波 函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。这道题目考察了考生对波函数的基本 概念的掌握程度。 除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。以下是一道典型的 计算题：

题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？ A. 1/2 B. 1/4 C. 0 D. 1 这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。正确答案是C。根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。 除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。这些内容需要考生有较强的数学基础和物理直觉，才能够进行深入的理解和分析。 综上所述，量子力学在考研中是一个重要的考点，对于物理学专业的考生尤为重要。通过掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具，考生可以更好地应对考试中的相关题目。同时，深入理解量子力学的原理和应用也有助于考生在物理学领域的研究和发展。希望本文对考生们在量子力学的学习和考试中有所帮助。

哈工大考研量子力学试题

2.2.3 2008年真题 【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有， 写出一个来；如果没有，请说明为什么 【解题】 没有，^^^ ,x y z L L i L ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 不对易，故无共同本征态 【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于 基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。 【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ∇+的本征值为n E ，相应的本征函数 为()n r ϕ，求2 22()2H V r C μ =- ∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。 【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出 相关结果

【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ +=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与 动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果 【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴==

第5章 量子力学考研试题选讲(华师)——0313普物+量子力学真题资料文档

华中师范大学20××年研究生入学考试试题解答 一．设氢原子处于状态 ),(Y )r (R 2 3),(Y )r (R 21),,r (11211021ϕθ-ϕθ= ϕθψ- 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均 值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22s 222s 28e n 2e E μ-=μ-= )2n (= 角动量平方有确定值为 2222)1(L =+= )1(= 角动量Z 分量的可能值为 0L 1Z = -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 43 L Z 的平均值为 4 3 43041L Z -=⨯-⨯= 二．计算：（1）分别在x S ˆ和y S ˆ表象中，求出x S ˆ、y S ˆ和z S ˆ的矩阵表示。（2）粒子受到势能为⎩⎨ ⎧>≤-=a r ,0a r ,U )r (U 0的场散射，U 0>0,用玻恩近似计算微分散射截面。 解：（1）考虑到σ= 2 S ,我们先求x ˆσ 、x ˆσ和z ˆσ的矩阵表示。 在x σ表象中x ˆσ应为对角矩阵，对角元为的本征值，由12x =σ知x σ的本征值为±1，故 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=σ1001ˆx 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σd c b a ˆy ，因x ˆσ是厄米算符，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d b c a ** **，所以 a *=a,d *=d,即a,d 为实数，b=c *,b *=c 所以：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=σd b b a ˆ* y 由0ˆˆˆˆx y y x =σσ+σσ，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001d b b a d b b a 1001**

2021年应用物理学专业研究生入学考试《量子力学》理论型考试试题(试卷D)

XXX 大学 2021年应用物理学专业研究生入学考试 《量子力学》理论型考试试题（试卷D ） 1、一个质量为μ的粒子在下面的势阱中作束缚态运动; ()()V x A x δ=； 其中0A <为常数。求值a ，使粒子处于a x a -<<范围内的几率为2500。

2、纠缠态可能在量子通讯中有重大应用。两个量子体系的复合系统的纠缠态是指不能用子系统态的直积表示的态。 例如，两个自旋为12的粒子的各自的本征态为,,m a 其中11,,22 m =-为磁量子数，1,2a =标记不同粒子，则复合系统的非耦合基如 11,1,2,,,,22m n m n ⎛⎫=- ⎪⎝ ⎭就是些非纠缠态，而一个耦合基如：11110,0,1,2,1,2 2222⎫=---⎪⎭就是个纠缠态。试作出此复合体系一套互相正交归一的纠缠态（它们也可作为此复合系统的完备基）。

3、设算符ˆH 具有连续本征值ω，其本征函数(),u x ω构成正交完备系。求方程：()()()ˆH V x F x ω*-=的解，其中()F x 为已知函数，ω*为某个特定的本征值 。 4、一个质量为μ的粒子作一维无限运动，当其哈密顿为ˆˆ,p H H λμ*=+求此时的能级n E * 。

5、设力学量F和角动量() 1,2,3 i J i=对易，即ˆF为标量算符。试证明在() 2, z J J的共同本征态,j m中，F的平均值与量子数m无关。 6、一个两能级系统，哈密顿量为,H能级间隔为A，现此系统受 到一个微扰H'。在ˆH表象中，ˆH'的表示式为() 12, λσσ +其中1,2 σσ是泡利矩阵，λ是实数。请计算出受微扰后的能级间隔（精确到二级修正）。

中科院量子力学考研真题及答案详解

中科院量子力学考研真题及答案详解第一题:有两种题型，一种是考察一维势，即我们常说的一维无限深势阱，阱宽有两种，[0，a]和[-a,a]，我们要牢记这两种类型的波函数及能量通式。题目中可能给出在阱中的一自由粒子在某一时刻的波函数，让你求t时刻的波函数，处于基态的几率，粒子的位置动量能量的平均值，动量分布及动量能量的均方差。最新的一种考察动向是，当阱宽扩大时，让你求新基态的几率等。另一种是考察一维势散射，求反射系数和透射系数，这种题目是基本题目。 第二题:考察谐振子，可能是一维也可能是多维，结合微扰考察的几率较大.一般题目中给出哈密顿量，不是标准的谐振子，而是含有x,y和他们的多次幂，让你用微扰求能谱，这里用到一些公式和一些常见的变换。还有一种可能考察电荷受到某一方向的电场的作用(看成微扰)求能量本征值。 第三题:定域电子受(或有磁矩的其他粒子)磁场作用，题目中告诉你t=0时刻粒子具有某方向自旋角动量的取值(可以写出此时刻的波函数)，让求以后任意时刻粒子某方向自旋角动量为某一定植的几率。这种题目屡次考察，应引起重视。 第四题:考察自旋为1/2的两个粒子组成的系统，告诉你波函数，让你求某一态(经常考察纠缠态)中两粒子自旋平行，反平行，为零或一个粒子自旋朝上另一个粒子自旋朝下的几率，或一个粒子自旋朝上另一个粒子处于什么状态。 第五题:有两种可能，一种考察自旋轨道耦合结合微扰。另一种可能考察dirac 符号，因为你以后要学高量，高量中使用dirac符号比较频繁，这也是考察的重点。 (只是江湖行侠个人意见，仅共参考)

当然，我们学量子力学不仅仅是为了考试，量子力学是人类发展史上最伟大的理论，没有一门理论像他那样博大精深，他是自然科学王冠上最璀璨的宝石。没有量子力学就没有人类的现代文明，我们物理人更要把他发扬光大。 “我们可以没有相对论，但我们不能没有量子力学” 分析中科大中科院量子力学普通物理考研试题命题规律 一维势:06年第一题[—a,a]型.05年第三题[0，a]型.04第一题年[—a,a] 型.00年[0，a]型.99年第三题.98年第一题. 一维势散射:03年第二题.05年第一题.01年二题. 定域电子受磁场作用:03年第五题.99年第四题.98年第二题.97年第二题.96年第三题. 泡利距阵结合δn : 06年第四题.03年第四题.00年第四题.99年(实验型)第四题. 97 年(实验型)第五题 . 谐振子类谐振子结合微扰:05年第二题第四题.04第二题第四题.01年第五题第六题.00年第五题.99年第二题第五题.98年第三题.97年第四题. 下面总的分析一下普通物理，就近几年的试题来看: (1)力学一般3个题目，60分左右，占总分的40%。 (2)电磁学3个题目，60分左右，占总分的40%。 (3)原子物理2个题目，30分左右，占总分的20%。 下面分3部分分析一下普通物理: (一) 力学(三个题目) 第一个题目一般考察简单物体的运动，运用运动学和牛顿运动定律就能解决，此题属于送分题目，地球人都会做。

2021年理论物理专业研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)

2021年理论物理专业 研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷二） 一、(10分)。 设粒子(能量E>0)由左入射，碰到势场⎩⎨⎧<->=0 )(0 x V x x V ，其中V 0>0，求粒子在势壁x=0处的透射系数。 二、每题10分，共计30分。 1．假定矢量算符A ˆ 和B ˆ 都与Pauli 算符σˆ 对易，试证明： )ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ；

2．试证明轨道角动量算符l ˆ 和动量算符p ˆ 满足关系： p i l p p l ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯； 3．假定有两个电子，自旋态分别是： ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=01α； ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=+-)2/()2/(2/2/θθβϕϕSin e Cos e i i ； 试证明由这两个电子组成的体系处于自旋单态和三重态时的几率分别是： )21(2120θCos W S -= =和)2 1(2121θ Cos W S +==；

三、选择题(每题5分，共6题，共计30分。说明：每题有一个或多个选项是正确的，请给出所有正确的选项)。 1．表明电子有自旋的现象有。 (a)、塞曼效应； (b)、光谱的精细结构； (c)、斯特恩-革拉赫实验； (d)、戴维孙-革末实验； (e)、康普顿散射； 2．对于在辏力场中运动的粒子，守恒量有。 (a)、动量； (b)、能量； (c)、角动量； (d)、角动量的平方； (e)、宇称； 3．在不同表象中，不变的量有。 (a)、力学量的表示； (b)、体系的状态； (c)、力学量的本征值； (d)、两个波函数的内积； (e)、力学量的平均值；

北京科技大学量子力学考研真题

北京科技大学2003——2004学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程：ˆ H i t ψψ∂=∂ 一维定态薛定谔方程：()()()222 2d V x x E x m dx ψψ⎛⎫ -+= ⎪⎝⎭ 动量算符：ˆp i x ∂=∂ 高斯积分：2 x e dx α ∞--∞ = ⎰ 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()() 0;0,;0,x a V x x x a ∈⎧⎪=⎨ ∞<>⎪⎩ 1。[10分]求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知0t =时，该粒子状态为：())12,0()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子 的波函数； 3。[5分]求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分] 222 22n n n x a n E m a πψπ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎨⎪ =⎪⎩

2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = t 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--⎛⎫=+⎪⎭ 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11,,2 x t x t ψψ= t 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：() ()()()2 2 122 5ˆ,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+∂====∂ 平均位置：()()()122 16,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-⎛⎫ ==- ⎪⎝⎭ 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为： ( )† 1 2 H a a ω=+ 。这里ˆa 是湮灭算符，† ˆ a 是产生算符： †i a x p m i a x p m ωω⎧⎫=+⎪⎪ ⎪ ⎭⎨ ⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩ 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质：()()† 01ˆa x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 4 20m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（()12 4 2m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10分]

汇总高校量子力学考研试题

习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符 与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为 ____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。