量子力学考研模拟题2
量子力学考研模拟题(2)
一、填空题（本题20分）
1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。
2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确农业环境保护值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。
二、（本题15分）
1．设全同二粒的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交
换算符12
ˆP 是一个守恒量。 2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt
U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵，
（1）求证：θσθθσsin cos y i i e y +=
（2）试求：y
i Tre θσ 三、（本题10分）
求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2
2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41
),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。
求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。
（2）z l ˆ的平均值。
如有必要可利用，
θπcos 4310=Y ，ϕθπ
i e Y ±±=sin 8311 。 五、（本题20分）
已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为
22
222m a n E n π=，απαψx
n n sin 2
=， （n=1，2，3…）
设粒子受到微扰：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='),(2,2)(ˆx k x k x H αα
α ααα<<< 如有必要，可利用积分公式⎰+=y y y ydy y sin cos cos 。 六、（本题20分） 设),3,2,1( =n n 表示一维谐振子的能量本征态，且已知 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=1 21211n n n n n x α， ω αm = （1）求矩阵元n x m 2。 （2）设该谐振子在t=0时处于基态0，从t>0开始受微扰kt e x H 22-='的作用。 求：经充分长时时)(∞→t 以后体系跃迁到2态的几率。 量子力学考研模拟试题(1)答案 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ 解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。 （2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2 (,) r t ψ 的 物理意义是什么？ 解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2 (,) r t ψ 表示在ｔ时刻r 附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。 （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒 束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。 （5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p 是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 解 对易关系为[]ˆ,x x p i = 不确定关系为Δx ·Δ2 x p ≥ 。 （6）厄米算符ˆF 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。 二（20分）设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-= -的状态上， 求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均 值。 解 选{} 2 ,,Z H L L 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 2 241 2n e E n μ- = 量子力学考研题库 量子力学考研题库 量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。 1. 简答题 (1) 什么是波粒二象性？ 答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。 (2) 什么是量子力学的基本假设？ 答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。 2. 计算题 (1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为 |ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？ 答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。 (2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为 径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。 答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。 3. 应用题 (1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。 答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算 和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合 成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。 (2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。 答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算 利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。 此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分 解和优化问题等。 通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算 方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家 在考试中取得好成绩！ 一、填空题 1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数 【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067 （2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为 （2）A 【解析】取x为原点，则有波函数为 所求概率即 4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性 5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。 【答案】 6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】 二、选择题 7．__________。 【答案】 8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的 取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。 【答案】 9．（1）_____；（2）_____。 【答案】 量子力学考研模拟题(2) 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确农业环境保护值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交 换算符12 ˆP 是一个守恒量。 2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ˆ的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，ϕθπ i e Y ±±=sin 8311 。 五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，απαψx n n sin 2 =， （n=1，2，3…） 量子力学选择题2 1、下列实验哪个不能证明辐射场的量子化[ ] (A)、光电效应 (B)、原子光吸收 (C)、黑体辐射 (D)、电子晶体衍射 2、下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在[ ] A. 原子光谱精细结构 B.反常塞曼效应 C. 光的康普顿散射 D.斯特恩-盖拉赫实验 3、分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是[ ] A. 0,1,2,3,4. B.1,2,3,4. C. 0,1,2,3. D.1,2,3. 4、下列哪位科学家不是因为量子力学与原子物理方面的贡献而获得诺贝尔奖的 是[ ] (A). 波尔 (B).狄拉克 (C).薛定谔 (D). 德拜 5、金属的光电效应的红限依赖于:[ ] (A)入射光的频率 (B)入射光的强度 (C)金属的逸出功 (D)入射光的频率和金属的逸出功 6、以下关于力学量算符，表述和正确的是：[ ] (A)、力学量算符的数学形式是算子 (B)、力学量算符的数学形式是矩阵 (C)、定义在希尔伯特空间的映射，对态矢量的任意映射都是算符 (D)、定义在希尔伯特空间的映射，把一个态矢量映射为另一个态矢量的才是 算符。 7、关于不确定原理，以下正确的是：[ ] (A)、若两个厄米算符不对易，则相应两力学量不可能同时具有确定值； (B)、若两个厄米算符有共同本征态，则它们彼此对易； (C)、若两个厄米算符对易，则所有态下相应力学量都同时具有确定值； (D)、即使两力学量算符不对易，则相应两力学量也可能同时具有确定值； 8、将波函数在空间各点的同时增大n倍，则粒子在空间的分布几率密度将 (A)、增加n倍 (B)、增加n2倍 (C)、不变 (D)、增加2n倍 目录 第二章波函数和薛定谔方程 (2) 一、简答题 (2) 二、证明题 (6) 三、计算题 (7) 第二章 波函数和薛定谔方程 一、简答题 1.何谓微观粒子的波粒二象性？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。 4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？ 6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。 7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？ 8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。 10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r 描述，波函数应满足什么样的标准条件？ 波函数的物理意义是什么？ 11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。 12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？ 13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。 14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。 17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的 周世勋量子力学考研题库 周世勋量子力学考研题库 周世勋是一位备受尊敬的量子力学教授，他对量子力学的研究和教学成果卓著。他的贡献不仅体现在他的学术论文和著作中，还体现在他编写的量子力学考研 题库中。这个题库成为了许多考生备战考研的必备资料。本文将介绍周世勋量 子力学考研题库的特点和优势。 首先，周世勋量子力学考研题库的特点在于题目的多样性和难度的递进性。这 个题库涵盖了量子力学的各个方面，包括基本原理、波函数、算符、测量等等。题目的难度从简单到复杂逐渐增加，考生可以根据自己的水平选择适合的题目 进行练习。这种递进性的设计有助于考生逐步提高自己的理论水平和解题能力。其次，周世勋量子力学考研题库的优势在于题目的质量和解析的详细性。每个 题目都经过周世勋教授的精心设计和筛选，确保题目的准确性和科学性。同时，每个题目都附有详细的解析，包括解题思路、关键步骤和计算过程。这种详细 的解析有助于考生理解和掌握解题方法，提高解题的准确性和效率。 第三，周世勋量子力学考研题库的独特之处在于注重实践和应用。除了基础理 论题目，这个题库还包括了一些实践和应用题目，例如实验设计、数据分析和 问题解决等。这些题目能够帮助考生将理论知识与实际问题相结合，培养他们 的实践能力和创新思维。 此外，周世勋量子力学考研题库还提供了一些辅助学习资料，例如复习笔记、 参考书目和学习指导等。这些资料能够帮助考生更好地理解和掌握量子力学的 知识，提高他们的学习效果和考试成绩。 总之，周世勋量子力学考研题库是一份优秀的学习资料，它的多样性、难度递 进性、题目质量和解析详细性都是其特点和优势所在。考生通过使用这个题库，可以提高自己的理论水平和解题能力，为考研的成功打下坚实的基础。无论是 准备考研还是深入研究量子力学，这个题库都是一份不可或缺的学习资料。 量子力学习题集(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载） 量子力学习题集 量子力学习题及答案 第一章黑体辐射，光的波粒二象性 1.什么是黑体？ （1）黑颜色的物体。 （2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。（3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。（4）吸收比为1的物体。 （5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。 2.康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？ 3.可以观察到可见光的康普顿效应吗？光电效应对入射光有截止频率的限制，康普顿效应对入射光有没有类似限制？ 4.光电效应中，对入射光有截止频率（红限）的限制是否必需？因为当一个电子同时吸收两个或几个频率低于截止频率的光子或电子可积累多次吸收光子的能量，则在任何频率光入射时都能形成光电流。 5.康普顿效应中作为散射体的电子是否一定是自由电子？光子被束缚电子散射时结果如何？ 6.光电效应的爱因斯坦方程，在什么温度下才准确成立？第二章微观粒子的波粒二象性 1.德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.关于粒子的波动性，某种看法认为：粒子运行轨迹是波动曲线，或其速度呈波动式变化，这种看法对不对？ 4.在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？ 5.有人认为德布罗意波是粒子的疏密波，如同声波一样？这种看法对不对？ 6.波动性与粒子性是如何统一于同一客体之中的？物资在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 7.“电子是粒子，又是波”， “电子不是粒子，又是波”， “电子是粒子，不是波”， “电子是波，不是粒子”， 以上哪一种说法是正确的？ 8.以下说法是否正确？ 2021年理论物理专业 研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷二） 一、(10分)。 设粒子(能量E>0)由左入射，碰到势场⎩⎨⎧<->=0 )(0 x V x x V ，其中V 0>0，求粒子在势壁x=0处的透射系数。 二、每题10分，共计30分。 1．假定矢量算符A ˆ 和B ˆ 都与Pauli 算符σˆ 对易，试证明： )ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ； 2．试证明轨道角动量算符l ˆ 和动量算符p ˆ 满足关系： p i l p p l ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯； 3．假定有两个电子，自旋态分别是： ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=01α； ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=+-)2/()2/(2/2/θθβϕϕSin e Cos e i i ； 试证明由这两个电子组成的体系处于自旋单态和三重态时的几率分别是： )21(2120θCos W S -= =和)2 1(2121θ Cos W S +==； 三、选择题(每题5分，共6题，共计30分。说明：每题有一个或多个选项是正确的，请给出所有正确的选项)。 1．表明电子有自旋的现象有。 (a)、塞曼效应； (b)、光谱的精细结构； (c)、斯特恩-革拉赫实验； (d)、戴维孙-革末实验； (e)、康普顿散射； 2．对于在辏力场中运动的粒子，守恒量有。 (a)、动量； (b)、能量； (c)、角动量； (d)、角动量的平方； (e)、宇称； 3．在不同表象中，不变的量有。 (a)、力学量的表示； (b)、体系的状态； (c)、力学量的本征值； (d)、两个波函数的内积； (e)、力学量的平均值； 2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业：理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理考试科目：量子力学 科目代码：661 _____________ 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题10分，共50 分） 1.量子力学中粒子的状态由什么描述？写出它满足的方程。 2.什么是宇称？若某哈密顿量的本征态具有确定宇称，则其势函数具有何特点？ 3.力学量对应的算符怎么得到？以空间角动量L z= xp y -yp x为例说明该过程。 4.什么是玻色子？举例说明。 5.泡利算符乞,乞,戈可以用来描述电子自旋，请写出它们的矩阵形式。 二、证明题（共20 分）证明厄米算符的本征值是实数。 三、计算题（每小题20 分，共80 分） 1. 一质量为m的粒子在势阱V（x）=—Y§（X）（Y> 0）中运动，求束缚态能级与波函数。 ^j2 R2i（r）乙，1 G。）~^j2 R2i 2. 设氢原子处于状态，。求： （r）乙，-1（G，^） （1）s x的期望值；（10分） ⑵ 磁矩M z= _—L厂£s z的期望值。（io分） 2mm 3.一电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用，电场沿x方向，因而体系的哈密顿为 H = H0—qEx = -—d- +丄mo1 x2—qEx。用微扰论求体系的定态能量（准确到二级）和波 02m dx2 2 函数（准确到一级）。提示：x^n =a J20"T +£2^0"+1，其中a =，H0»n = E n札。 4.假设自旋1/2的粒子处在状态力=2。求 1 + i （1）测量s’，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？（10分） （2）测量s x，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？（10分） 第- 1 -页，共- 1 -页 量子力学习题第二部分 1. 利用Schrod in ger方程证明几率守恒。 2. 证明在束缚态下，不显含时间的物理量对时间倒数的平均值为零。 3. 对处于均匀外磁场的原子，不考虑自旋，确定体系的守恒量。 4. 利用测不准关系估计谐振子的基态能量。 5. 用微弱论计算带电谐振子在外电场中的能级。 6. 设在H0表象中H 为3X3矩阵，且H ii=E io, H22=E20, H33=E30, H 〔3=a, H23=b, H31=a*, H32=b*,其它为零，其中E10VE20VE30,用微扰论求能级修正。 7. 对于(L2, L z)的共同本征态，计算L x2和L y2的平均值，以及△ L x, △ L y,并验证粗不准关系。 8. 证明自由粒子波函数® (r,t)二expi(p • r- Et)是定态波函数。 9. 氢原子处于W(r9,?)=12R 2,1Y1,0- A32R2,1Y1,-1态中，求(1)氢原子的能量值 E n ; (2)角动量平方L2的可能取值，对应几率，以及角动量平方的平均值 L2; (3)角动量在z轴投影量L z的可能取值，对应几率，以及z轴投影量L z的平均值L z。 10. 已知体系在未受微扰时有两个能级E(0)1启％,现在受微扰H的作用，H的矩阵元为Hn=H 22=b, H 12=H 21 =a，求(1)能量表象中无微扰时体系能量算H(°)，微扰算符H，受微扰时总能量算符H的矩阵形式；(2)受微扰时两能级至二级修正的值。 11已知在S z表象中，自旋投影算符S x和S y的矩阵形式，求在S z表象中(1)自 旋投影算符S z的矩阵形式；(2)S x, S y和S z的本征值；(3)算符S x, S y和S z的本征函数。 12. 考虑自旋后，氢原子的状态波函数W在自旋空间表示的两个分量分别为 C i R2i(r)Y ii( 9 ,?)和-C2R21(r)Y1o(B ,?),求(1)轨道角动量在z 轴的分量L z的可能取值，对应几率和平均值L z；⑵自旋角动量在z轴的分量S z的可能值，对应几率和平均值S z；⑶求总磁矩M =e2让+e^S在z轴上的分量的平均值M z. 13. 在S z表象下，求S x，S y和S z的本征值和本证矢量。 14•对氢原子，考虑到轨道与自旋耦合，求能级及简并度•本题能解释那类物理现象？ 15. 对两电子体系，仅考虑自旋，确定体系力学量的完全集，并求体系的共同本征函数. 16. 氢原子处于强外磁场中会有磁场引起的附加能量，确定此时体系的能级. 该体能解试何种物理效应？ 17. 确定氢原子能级的简并度，若考虑自旋，结果如何. 28.对两质子体系，给出总自旋S2和S z的共同本征态并指出相应的本征值. 19. 设氢原子处于定态，求磁矩. 20. 设粒子处于二维无限深势阱中，阱宽分别为a和b，求粒子的能量本证值和 本征函数，若a=b，能级的简并度如何？ 量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是：C A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：B A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：D A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：D A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：A A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：A A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）?B A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？D A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: D A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：C A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的 量子力学习题2 一、选择 1. 氢原子的能级为 A.- 22 22e n s μ.B.-μ22222e n s .C.2 4 2n e s μ -. D. -μe n s 4222 . 2. 在球坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为 A.r r R nl )(2. B.22)(r r R nl . C.rdr r R nl )(2. D.dr r r R nl 22 )(. 3. 在球坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为 A.),(ϕθlm Y . B. 2 ),(ϕθlm Y . C. Ωd Y lm ),(ϕθ. D. Ωd Y lm 2 ),(ϕθ. 4. 波函数ψ和φ是平方可积函数, 则力学量算符 F 为厄密算符的定义是 A.ψφτφψτ*** F d F d =⎰⎰. B.ψφτφψτ** ( )F d F d =⎰ ⎰. C.( ) **F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. D. ***F d F d ψφτψφτ=⎰⎰. 5. F 和 G 是厄密算符,ˆˆ,0F G ⎡⎤≠⎣⎦ ,则 A. FG 必为厄密算符. B. FG GF -必为厄密算符. C.i FG GF ( )+必为厄密算符. D. i FG GF ( )-必为厄密算符. 6. 已知算符 x x =和 p i x x =- ∂ ∂,则 A. x 和 p x 都是厄密算符. B. xp x 必是厄密算符. C.()x p p x i x x ˆˆˆˆ+必是厄密算符. D. xp p x x x -必是厄密算符. 7. 自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为 A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 8. 二维自由粒子波函数的归一化常数为(归到δ函数) A.1212/()/π . B.12/()π . C.1232/()/π . D.122/()π 9. 角动量Z 分量的归一化本征函数为 A. 1 2πϕ exp()im . B. )exp(21 r k i ⋅π. C.12πϕexp()im . D. )exp(21r k i ⋅π. 10. 波函数)exp()(cos )1(),(ϕθϕθim P N Y m l lm m lm -= A. 是 L 2的本征函数,不是 L z 的本征函数. B.不是 L 2的本征函数,是 L z 的本征函数. 《量子力学》练习题一 一、基本概念及简答 1. 简述2 |(,)|x t ψ的物理意义及其实验基础。 2．简述迭加原理。若n n n c ψψ =∑，^ n n n f F ψ ψ = ，n c 的物理意义是什么？ 3．三维空间中运动的粒子,其波函数的方位角(ϕ)部分 ()ϕΦ=ϕ3cos ,求z L ˆ的平均值。 4．设 ^ ^ F F +=，^ ^ G G += A.若^ ^[]0,F G =，是否^ F 的本征态一定是^ G 的本征态，举例说明。 B.若^ ^ []0,F G ≠，^ ^ ,G F 是否就一定无共同本征态，举例。 C.若^ ^[],iC F G =，C 是常数，^ ^,G F 是否能有共同本征态，证明你的结论。 5、判定^x p x 及^ x p i 是否厄迷算符。 6、^ ^ ^ [,]0G C F =≠，^ ^ F F += ，^ ^G G += ，试问^F ，^ G 是否必然没有共同本 征态，举例说明 7、已知 ，ˆ ˆ,B C 为厄米算符，ˆˆˆA iBC ≡也为厄米算符的条件是什么？ 8、能否把 ,,x y z σσσ看作自旋角动量算符的矩阵表示？ 9、哪个实验证实了电子具有自旋，怎样证实的；为什么不能把电子自旋看成电子的机械转动？ 10、对于全同性粒子说来要满足那些基本方程？全同粒子的交换算符是可以对易的吗？它们能否有共同的本征态？ 11. 波函数的导数是否一定要连续？举例说明。 12. 如果 ˆˆA A +=， ˆˆB B +=且 ˆˆˆˆ,C i A B C +⎡⎤==⎣⎦ ， ˆˆ,,A a a a B b b b == a b 和都是束缚态，则 ˆˆ0.a C a b C b == 13．什么是量子力学中的守恒量？其主要特征是什么？什么定态？定态主要特征 2.2.3 2008年真题 【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有， 写出一个来；如果没有，请说明为什么 【解题】 没有，^^^ ,x y z L L i L ⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 不对易，故无共同本征态 【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于 基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。 【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ∇+的本征值为n E ，相应的本征函数 为()n r ϕ，求2 22()2H V r C μ =- ∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。 【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出 相关结果 【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤ +=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与 动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果 【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴== 1. 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，形成了三门经 典学科。这三门经典学科分别是＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿. 2. 按经典的物质概念，物质可以分为两类，一类是＿＿＿＿，另一类是＿＿＿＿＿＿． 3. 二十世纪初，经典物理学遇到了无法克服的困难。这些困难分别是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿及＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 4. 经典物理中，对实物的运动采用＿＿＿＿＿来描述，实物的运动遵守＿＿＿＿＿＿。 5. 经典物理中，对辐射场的运动采用＿＿＿＿＿来描述，辐射场的变化遵守＿＿＿＿＿＿。 6. 在经典概念下，实物的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿． 7. 在经典概念下，辐射场的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿． 8. 在经典概念，粒子性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 9. 在经典概念，波动性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿． 10. 在经典概念，波动性和粒子性＿＿＿（填是否可以）统一于同一物质客体． 11. 光的波动性的理论基础是＿＿＿＿＿＿＿＿． 12. 光的波动性的实验证据是＿＿＿＿＿＿＿＿． 13. 光的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 14. 光的粒子性的理论依据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 15. 微粒的粒子性是指微观粒子的＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿以及＿＿＿＿＿＿． 16. 微粒的波动性是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 17. 微粒的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿． 18. 按照爱因斯坦光子假设，光子的能量E和动量P与光波的频率ν和波 长λ的关系为 E=＿＿＿＿，P=＿＿＿＿． 19. 按照德布洛依假设，能量为E、动量为P的自由粒子其相应的物质波 的波长λ=＿＿ ＿＿，频率ν=＿＿＿． 20. 自由粒子的动能为E，速度远小于光速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 21. 电子被电势差V（伏）加速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿． 22. 按照德布洛依假设，粒子的能量E、动量P与相应的物质波的频率ν， 波长λ的关 系是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿． 23. 历史上第一个肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是＿＿＿＿． 24. 历史上第一次用实验证明实物具有波动性的科学家是＿＿＿＿＿＿＿＿． 25. 能量为E，动量为P的自由粒子的平面波的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿． 26. 玻尔的氢原子理论包含三条假设，分别是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿． 27. 索末菲对玻尔的轨道量子化条件推广为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 28. 玻尔的频率条件表示为＿＿＿＿＿＿＿＿． 29. 任何态函数用动量本征函数展开的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 30. 任何态函数在动量表象中的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几 率为。 6．波函数的标准条件 为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质 是。 10．厄密算符的本征函数具 有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为 。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。量子力学考研模拟题1-解答
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