量子力学考研模拟题1-解答
量子力学考研模拟试题(1)答案
一、（30分）回答下列问题：
（1）何谓微观粒子的波粒两象性？
解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。
（2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2
(,)
r t ψ
的
物理意义是什么？
解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2
(,)
r t ψ
表示在ｔ时刻r
附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。
（3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？
解 当粒
束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。
（4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？
解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。
（5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p
是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。
解 对易关系为[]ˆ,x x p
i = 不确定关系为Δx ·Δ2
x p ≥
。 （6）厄米算符ˆF 的本值n
f 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。
二（20分）设氢原子处于
2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-=
-的状态上，
求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均
值。
解 选{}
2
,,Z H L L 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为
2
241
2n e E n μ-
=
nem ϕ(r,,θϕ)=()(,)nl lm R r Y θϕ
其中量子数的取值范围是
n =1,2,3,……； l =0,1,2,……，n -1；m =l ,l -1, l -2,……，-l +1,- l 利用归一化条件求出归一化常数为
5
42141212
1=
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛++=-
c 氢原子的能量只与主量子数n 有关，依题题可知，n 的可能取值有两个，即n =2,3,于是
2
4
38 e E μ=
； 5
4542121)(2=⎪⎭⎫
⎝⎛+=E W 2
4
318 e E μ=
； 5
1
5441)(3==
E W 24
242495118548
e e e E μμμ-=-=
角动量量子数l 的可能取值只有一个，即 l =1,故有
22222;(2)1L w L ===
222L =
角动量磁量子数m 的可能取值有两个，即m =-1,0,于是
h L z -=； ()5
2
5421==
=-=z L W 0=z L ； ()5
3
5441210=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==z L W
225
L =-
三、（25分）设厄米算符ˆH
的本征矢为n ,{}
n 构成正交归一完备函数系，定义一个算符
n m n m U
=),(ˆ （1）计算对易ˆˆ,(,)H
U m n ⎡⎤⎣
⎦
（2）证明ˆˆˆ(,)(,)(,)nq U m n U p q U m p δ+= （3）计算阵迹ˆˆr k
T F
k F
k =<>∑
（4）若算符ˆA 的矩阵元为ˆ,mn
A m A n =<>证明 ,ˆˆ(,)mn m n
A A U m n =∑
{}
),(ˆˆq p U A
T A r pq += 解 （1）对于任意一个态矢ψ>，有
ˆˆ,(,)H U m n ψ⎡⎤
>=⎣⎦ˆˆˆˆ(,)(,)HU m n U m n H ψψ>->=
ˆˆH
m n m n H ψψ><>-><= ˆˆ(,)(,)m n E U m n E U m n ψψ>->=
ˆ()(,)m n E E U
m n ψ-> 故 ˆˆˆ,(,)()(,)m n
H U m n E E U m n ⎡⎤=-⎣
⎦
（2）ˆˆˆ(,)(,)(,)nq U m n U p q m n q p U m p δ+=><><=
（3）算符的阵迹为
{}
ˆˆ(,)(,)k
Tr U
m n k U m n k =<>=∑ k
k m n k <><>=∑
mn
k
n k k m n m δ
<><>=<>=∑
（4）算符
,ˆˆˆm
m n
A m m A m m A
n n =><=><><=∑∑ ,ˆ(,)mn
m n
A
U
m n ∑ 而
ˆˆpq A p A q p k k A q =<>=<><=∑
ˆˆˆ(,)k
k
k
A q p k k AU p q k +<><>=<>=∑∑
{
}
ˆˆ(
,)T r A U p q +
四、（25分）自旋为
2
，固有磁矩为u s γ=（其中γ为实常数）的粒子，处于均匀外
磁场0ˆˆ= B B k 中，设t=0时粒子处于2
x s = 的状态。
（1）求出t>0时的波函数；
（2）求出t>0时ˆx s
与ˆz s 的可测值及相应的取值概率。 解 体系的哈密顿算符为
00ˆˆˆˆˆˆ2
E
z z B H B B s γμγσωσ=⋅=-=-≡ － 在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为
1;E ω= 1ϕ>=+> 2;E ω=- 2ϕ>=->
（1）在t=0时，粒子处于2
x s =
的状态，即 (0)x ψ>=+>
式中，x +>是x σ
ˆ相应于本征值为1的本征态。为了求出x +>在泡利表象中的具体形式，需要求解x σ
ˆ满足的本征方程 0
11
0a a b b λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
解之得
x ⎡⎤+>=
+>+->⎣⎦
x ⎡⎤->=
+>-->⎣⎦ 于是有
(0)11
x ψ>=+>=
⎡+>+->⎤⎣⎦ 由于哈密顿算符不显含时间，故t>0时刻的波函数为
=-⎪⎭
⎫
⎝⎛-+>+⎪⎭⎫ ⎝⎛->=
t E i t E i t 21exp 21exp 21
)( ψ
i i t t ωω⎛⎫⎛⎫-+>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（2）因为ˆˆ[,]0,z H
s =所以z s 是守恒量，它的取值概率与平均值不随时间改变。换句话说，只要计算出t=0时，z s 的取值概率，就知道了t>0时z s 的取值概率。
由于
1,0;22z W s ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1,022z W s ⎛
⎫=-= ⎪⎝
⎭
故有
0z s =
x s 的取值概率为
2
,()2x x W s t t ψ⎛
⎫==<+>
= ⎪⎝
⎭
()=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎪⎭⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++2
exp exp 21t i t i ωω 2
21exp exp cos 2i i t t t ωωω⎡⎤⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+=⎨⎬⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎩⎭⎣⎦
而 2,sin 2x t W s t ω⎛⎫⎛⎫=-
= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
五、（25分）已知二维谐振子的哈密顿算符为)(2
12ˆˆ2222
y x M M p H ++=ω，对其施加微扰xy W λ-=ˆ后，利用微扰论求W H H ˆˆˆ0
+=基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
提示：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=+-1,1,21
21n m n m n
m n n x δδαϕϕ，其中n ϕμω
α
=为线谐振
子的第n 个本征矢。
解 体系的哈密顿算符为
W H H ˆˆˆ0
+= 其中
()
()
2222202
1ˆˆ21ˆy x p p H y
x +++=μωμ xy W
λ-=ˆ
已知0
ˆH 的解为 ω )1(0
+=n E n
)()(),(2
1
y x y x n n ni ϕϕψ=
其中
n 1、n 2、n =0,1,2，…
i =1,2,3,…，f n
将前三个能量与波函数具体写出来
ω =0
0E ；)()(000y x ϕψψ= ω 20
1=E ；)()(1011y x ϕψψ=
)()(0112y x ϕϕψ=
ω 30
2=E ；)()(0221y x ϕψψ=
)()(2022y x ϕϕψ=
对于基态而言，n 1=n 2=n=0,f 0=1,体系无简并。利用公式
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++==+-1,1,21
21n m n m n
m nm n n x x δδαϕϕ 可知
0ˆ0
0)
1(0
==ψψW E ∑∑
≠=-=01
00
0)
2(0
ˆˆn f i n
ni ni n
E E W W E ψψψψ
显然，求和号中不为零的矩阵无只有
2
0232302ˆˆαλ
ψψψψ-
==W W 于是得到
322420
2
0)
2(0
841ω
μλαλ
-=-=
E E E 第二激发态为3度简并，在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程
)
()(1123y x ϕϕψ=
)
1(211E W - 12W 13W
21W )
1(222E W - 23W =0
31W 32W )
1(233E W -
其中
W 11=W 22=W 33=W 12=W 21=0 W 13=W 31=W 23=W 32=2
2α
λ
-
于是得到
2
)
1(21
αλ-
=E ； 0)
1(22=E ；
201901量子力学练习题
设粒子沿x 方向作一维运动，势能为V (x )，粒子的波函数为(,)x t ψ， 1. 写出t 时刻测得粒子处于a ≤x ≤b 的概率；波函数归一化的意义是什么？ 2. 给出粒子的哈密顿量，并给出普朗克常数； 3. 写出波函数满足的方程（薛定谔方程）； 4. 写出能量本征方程； 5. 设在一定边界条件下求解能量本征方程得到能量本征值n E 及相应的本征函数()n x ψ，将 粒子的初始状态用()n x ψ展开：∑=ψn n n x c x )()0, (ψ，给出展开系数的计算式； 6. 接上题，给出薛定谔方程的解(,)x t ψ的表达式； 7. 什么是定态？给出定态波函数的表达式； 8. 定态下粒子位置的概率密度是否随时间变化？为什么？ 9. 什么是玻色子，什么是费米子？ 10. 全同玻色子或费米子系的波函数分别须满足什么对称性要求？ 二、问答题 量子力学中可观测力学量用线性厄米算符表示， 1. 什么是线性算符？ 2. 写出一维动量算符p ；如何写出经典力学量),(p x Q 对应的算符？ 3. 厄米算符的本征值和本征态有什么性质？ 4. 设可观测量Q 具有分立的本征值谱n q ，对应的本征态为n ψ, 如果某时刻粒子处于态Ψ，此时测量可观测量Q ，可能的测量结果是什么？ 5. 测量得到某个结果的概率是什么？ 6. 上述测量会导致系统的状态发生什么改变？ 7. 什么情况下测量可观测量Q 得到的结果是确定性的？ 8. 如何写出Q 表象中量子态Ψ的矩阵表示？ 9. 如何写出Q 表象中可观测量F 的矩阵表示？ 10. F 的矩阵为厄米矩阵，厄米矩阵有什么特征？
氢原子中的电子处于以下叠加态：） Y 3/2Y 3/1(-110121χχ+ +R ， 1. 如果测量轨道角动量的平方，可能得到哪些值，每个值的概率是多少？ 2. 同样的问题对轨道角动量的z 分量又是如何？ 3. 同样的问题对自旋角动量的平方又是如何？ 4. 同样的问题对自旋角动量的z 分量又是如何？ 四、解答题 不确定原理告诉我们，每一对不对易的可观测量都存在一个不确定关系， 1. 设A 、B 是两个不对易的可观测量，写出其不确定关系； 2. 设A=x 2, B=L z ，计算其对易关系[x 2, L z ]，写出其不确定关系； 3. 对氢原子态ψnlm ，给出B 的不确定度，并说明理由； 4. 在这一态中，关于坐标x 和y 的乘积的平均值
量子力学习题集及解答
量子力学习题集及解答
目录 第一章量子理论基础 (1) 第二章波函数和薛定谔方程 (5) 第三章力学量的算符表示 (28) 第四章表象理论 (48) 第五章近似方法 (60) 第六章碰撞理论 (94) 第七章自旋和角动量 (102) 第八章多体问题 (116) 第九章相对论波动方程 (128)
第一章 量子理论基础 1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000 A （可见光），1 A （x 射线）以及0.001 A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？ [解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =22 1 υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即 λ νυhc h eV m ===221 ) (1024.1106.11031063.64 19834 A e hc V λλλ?=?????==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏） A 12=λ时 421024.1?=V （伏） A 001.03=λ时 731024.1?=V （伏） 2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。 [解] 普朗克公式为 1 8/33-?=kT hv v e dv c hv d πνρ 单位体积辐射的总能量为 ? ?∞∞-==0 0/331 3T hv v e dv v c h dv U κπρ 令kT hv y = ，则 4 40333418T T e dy y c h k U y σπ=? ??? ??-=?∞ （★） 其中 ?∞-=033341 8y e dy y c h k πσ （★★） （★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。其中σ是比例常数，可求出如下： 因为 )1()1(1 121 +++=-=-------y y y y y y e e e e e e
(完整word版)量子力学12套内部模拟试题(word文档良心出品)
561 模拟试题 试题1 一. （20分）设氢原子处于 ()()()()()()()?θ?θ?θ?θψ,Y R 2 1,Y R 21,Y R 21 ,,112110311021 ---= r r r r 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。 二. （20分）作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ 2??2 0时，能级是0 n E ，如果哈密顿算符变成μαp H H ?? ?0+=（α为实参数），求变化后 的能级n E 。 三. （20分）质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中， ()???>≤=0 ,0 ,01 0x V x x V 且 0>c ，01>V , 求其负的能量本征值。 四.（20分）已知在2L 与z L 的共同表象中，算符y L ?的矩阵形式为
562 ???? ? ? ?--=0i 0i 0i 0i 02? y L 求y L ?的本征值和归一化的本征矢。 五.（20分）两个线谐振子，它们的质量皆为μ，角频率皆为ω， 加上微扰项2 1 ?x x W λ-=（2 1 ,x x 分别为两个谐振子的坐标）后，用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。 试题2 一.（20分）质量为m 的粒子作一维自由运动，如果粒子处于 ()kx A x 2sin =ψ的状态 上，求其动量 p ?与动能T ?的取值几率分布及平均值。 二. （20分）质量为m 的粒子处于如下一维势阱中 ()?????>>≤≤<∞=a x V a x x x V )0(0 ,00 .0 若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20 V E =的状态，试确定此势 阱的宽度a 。 三. （20分）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢1u 、2 u 和3u 构成的，以其为基矢的两个算符H ?和B ?的矩阵形式如下
考研物理化学(量子力学基础、统计热力学初步)模拟试卷1.doc
考研物理化学（量子力学基础、统计热力学初步）模拟试卷1 (总分：66.00，做题时间：90分钟) 一、填空题(总题数：11，分数：22.00) 1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。（分数： 2.00） __________________________________________________________________________________________ 2.所谓的品优波函数的特点是______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 3.在立方势箱中，某平动能级的n x2 +n y2 +n z2 =45，则该能级的多重度为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 4.设有6个可辨粒子，分配在三个能级ε1，ε2，ε3中，其中n 1 =3，n 2 =2，n 3 =1。(1)若不考虑能级的简并度，则可能的微观状态数为______。(2)若各能级的简并度分别为g 1 =4，g 2 =3，g 3 =1，则可能的微观状态数为______。若粒子不可区分，问题(1)的答案是______，问题(2)的答案是______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 5.通常情况下，分子的平动、转动和振动的能级间隔△εt，△εr，△εv分别约为10 －16 kT，10 －2 kT和10kT，则相应的Boltzmann因子 2.00） __________________________________________________________________________________________ 6.当热力学体系的熵值增加0．5 J.K －1时，体系的微观状态数 2.00） __________________________________________________________________________________________ 7.应用Boltzmann分布定律，25℃时，在两个非简并的、不同能级上的粒子分配数之比为______。(设两个能级的能量差为8．314 kJ.mol －1 )（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 8.理想气体平衡态时的微观状态数为______；晶体中最可几分布的微观状态数为______。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 9.三维平动子基态能级的简并度为______，第一激发态能级的简并度为______ 2.00） __________________________________________________________________________________________ 10.CO 2分子的平动自由度为______，转动自由度为______，振动自由度为______，分子的对称数为______，转动配分函数为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 11.系综可以分为______系综、______系综和______系综三类。正则系综的配分函数Z定义为______，粒子配分函数q的定义为______。对定域子独立子体系，Z和q的关系为______；对离域子独立子体系，Z和q 的关系为______。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 二、单项选择题(总题数：15，分数：30.00) 12.单项选择题下列各题的备选答案中，只有一个是符合题意的。（分数：2.00） __________________________________________________________________________________________ 13.2sinx是算符二阶导数的本征函数，其本征值为( )（分数：2.00） A.一1 B.一2 C.1 D.2 14.ψ(3，2，1)代表简并轨道中的( )（分数：2.00）
量子力学考研模拟题1-解答
量子力学考研模拟试题(1)答案 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ 解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。 （2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2 (,) r t ψ 的 物理意义是什么？ 解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2 (,) r t ψ 表示在ｔ时刻r 附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。 （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒 束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。 （5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p 是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 解 对易关系为[]ˆ,x x p i = 不确定关系为Δx ·Δ2 x p ≥ 。 （6）厄米算符ˆF 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。 二（20分）设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-= -的状态上， 求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均 值。 解 选{} 2 ,,Z H L L 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 2 241 2n e E n μ- =
量子力学考研模拟题参考答案[1]1
量子力学考研模拟题参考答案 一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：)(Et r p i Ae -⋅= ψ 2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的 取值几率和平均值不随时间改变。 3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为： [])()()()(21 12212211q q q q A ϕϕϕϕφ-= 。 4、)ˆˆ(22x x p x x p i -=x x x x x x p p x p i x p p i x p i ˆ2ˆ],ˆ[],ˆ[ˆ],ˆ[2 =+=，因为x p ˆ是厄密算符，所以)ˆˆ(2 2x x p x x p i -是厄密算符。 5、设F ˆ和G ˆ的对易关系k ˆi F ˆG ˆG ˆF ˆ=-，k 是一个算符或普通的数。以F 、G 和k 依次表示F ˆ、G ˆ和k 在态ψ中的平均值，令 F F ˆF ˆ-=∆，G G ˆG ˆ-=∆， 则有 42 2 2 k )G ˆ()F ˆ(≥⋅∆∆，这个关系式称为测不准关系。 坐标x 和动量x p ˆ之间的测不准关系为：2ˆ ≥∆⋅∆x p x 二、解1、由于1ˆ2=A ，所以算符A ˆ的本征值是1±，因为在A 表象中，算符A ˆ的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A ˆ的矩阵是：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001)(ˆA A 设在A 表象中算符B ˆ的矩阵是 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211)(ˆb b b b A B ，利用0ˆˆˆˆ=+A B B A 得：02211==b b ；由于1ˆ2=B ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002112b b 100122121 12=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b b b b ， 21121b b =∴；由于B ˆ是厄密算符，B B ˆˆ=+，∴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01 12 12b b ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =010* 12 *12b b *12121b b =∴ 令δ i e b =12，其中δ为任意实常数，得B ˆ在A 表象中的矩阵表示式为：⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛=-00)(ˆδδi i e e A B 2、类似地，可求出在B 表象中算符A ˆ的矩阵表示为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00)(ˆδδi i e e B A
量子力学考研核心题库
一、填空题 1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数 【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067 （2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为 （2）A 【解析】取x为原点，则有波函数为 所求概率即 4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性
5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。 【答案】 6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】 二、选择题 7．__________。 【答案】 8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的 取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。 【答案】 9．（1）_____；（2）_____。 【答案】
量子力学考研模拟题2
量子力学考研模拟题(2) 一、填空题（本题20分） 1．在量子力学中，体系的量子态用Hilbert 空间中的 来描述，而力学量用 描述。力学量算符必为 算符，以保证其 为实数。对体系进行某一力学量的测量时，测量结果一般来说是不确定的。测量结果的不确定性来源于 。 2．在量子力学中，一个力学量是否是守恒量只决定于 的性质，也就是说，决定于该力学量是否与体系的 对易，而与体系的 无关。一个力学量是否具有确农业环境保护值，只决定于体系的 ，也就是说，决定于体系是否处于该力学量的 ，无论该力学量是否守恒量。 二、（本题15分） 1．设全同二粒的体系的Hamilton 量为H ˆ（1，2，），波函数为ψ（1，2，），试证明交 换算符12 ˆP 是一个守恒量。 2．设U ˆ是一个幺正算符，求证+⋅=U dt U d i H ˆˆˆ 是厄米算符。 3．设y σ为Pauli 矩阵， （1）求证：θσθθσsin cos y i i e y += （2）试求：y i Tre θσ 三、（本题10分） 求证：z y x xyz ++=)(ψ是角动量平方算符2ˆl 的本征值为2 2 的本征函数。 四、（本题15分） 设一量子体系处于用波函数)cos sin (41 ),(θθπϕθψϕ+=i e 所描述的量子态。 求：（1）在该态下，z l ˆ的可能测值和各个值出现的几率。 （2）z l ˆ的平均值。 如有必要可利用， θπcos 4310=Y ，ϕθπ i e Y ±±=sin 8311 。 五、（本题20分） 已知，在一维无限深方势阱中运动粒子的能量本征值和本征函数分别为 22 222m a n E n π=，απαψx n n sin 2 =， （n=1，2，3…）
2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题
⎨ ⎩ = , = 2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业： 理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理 考试科目： 量子力学科目代码： 661 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 写出波粒二象性的德布罗意公式。 2. 什么样的状态是定态? 3. 全同费米子的波函数具有什么特点? 4. 简述坐标和动量的测不准关系的主要内容。 5. 为什么量子力学的力学量算符是厄密算符？ 二、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1. 证明 [L ˆx , L ˆy ] = i h L ˆz 。 2. 设算符a ˆ 具有性质a ˆ2 = 0, {a ˆ,a ˆ+} = 1, 定义算符 N ˆ ≡ a ˆ+a ˆ ，证明 N ˆ 2 =N ˆ 。 三、 计算题（每小题 20 分，共 80 分） 1. 一粒子在一维势场 ⎧∞, x < 0， U (x ) = ⎪0, 0 ≤ x ≤ a ⎪∞, x > a , 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2. 一维运动粒子的状态是 ⎧ Axe -λx , ψ (x ) = ⎨ x ≥ 0 ⎩ 0, x < 0 其中λ > 0 ，求 (1) 粒子动量的概率分布函数； (15 分) (2) 粒子动量的期望值。 (5 分) 3. 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E 01 , E 02 。现在受到微扰 H ˆ ' 的作用，微扰矩阵元为 H 1'2 = H 2'1 = a , H 1'1 = H 2'2 = b , a , b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 4. 求电子自旋角动量算符 S ˆx h ⎛ 0 1 ⎫ 2 1 0 ⎪ S ˆy h ⎛ 0 2 i -i ⎫ 0 ⎪ 的本征值和所属的本征函数。 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 第- 1 -页，共- 1 -页
各高校量子力学考研试题汇总
习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算 符与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
量子力学习题及答案
量子力学习题及答案 1. 简答题 a) 什么是量子力学？ 量子力学是一门研究微观领域中原子和基本粒子行为的物理学理论。它描述了微观粒子的特性和相互作用，以及它们在粒子与波的二重性中所呈现出的行为。 b) 什么是波函数？ 波函数是描述量子体系的数学函数。它包含了关于粒子的位置、动量、能量等信息。波函数通常用符号ψ表示，并且可用于计算概率分布。 c) 什么是量子态？ 量子态是描述量子系统的状态。它包含了有关系统性质的完整信息，并且根据量子力学规则演化。量子系统可以处于多个量子态的叠加态。
d) 什么是量子叠加态？ 量子叠加态是指量子系统处于多个不同态的线性叠加。例如，一个量子比特可以处于0态和1态的叠加态。 2. 选择题 a) 下列哪个物理量在量子力学中具有不确定性？ 1.速度 2.质量 3.位置 4.电荷 答案：3. 位置 b) 关于波函数的哪个说法是正确的？ 1.波函数只能描述单个粒子的行为 2.波函数可以表示粒子的位置和动量的确定值 3.波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布
4.波函数只适用于经典力学体系 答案：3. 波函数的模的平方表示粒子的位置概率分布 c) 下列哪个原理是量子力学的基本假设？ 1.宏观世界的实在性 2.新托尼克力学 3.不确定性原理 4.不可分割性原理 答案：4. 不可分割性原理 3. 计算题 a) 计算氢原子的基态能级 氢原子的基态能级可以通过解氢原子的薛定谔方程得到。基态能级对应的主量子数为n=1。 基态能级的能量公式为： E = -13.6 eV / n^2 代入n=1，可以计算得到氢原子的基态能级为：-13.6 eV
量子力学例题与解答
《量子力学》复习例题与题解 一、基本概念 1. 波粒二象性 微观粒子具有波粒二象性，即微观粒子既有波动性—弥漫性，又有粒子性—不可 分割性，德波罗意关系式是两者的统一： k p E ==,ω 关系式的左边体现粒子性；右边体现波动性。 2. 测不准关系 描述微观粒子体系的力学量算符一般是不可对易的，也就是说，这两个力学量不 能同时测准，他们的不确定度可用测不准关系来描述：222]ˆ,ˆ[41)ˆ()ˆ(B A B A ≥∆∆ 3. 本征方程 如下方程：n n n Q Q ψψ=ˆ（其中n Q 为常数）称为力学量算符Q ˆ的本证方程，n Q 为 力学量算符Q ˆ的相应于本征态n ψ的本征值。 4. 简并度 一个本征值相应于多个本征态的情形称为简并情形，本征态的个数称为相应于该 本征值的简并度。 5. 全同性原理 全同微观粒子体系，当两个粒子交换坐标时，波函数要末不变号，要末变号，即 概率分布不变。 6．.波函数 微观粒子体系的态必须用具有统计意义的波函数),(t x ψ来描述，2 ),(t x ψ为概率 密度，即在t 时刻，x 附近单位体积内找到微观粒子的概率 7. 归一化常数
为了让波函数),(t x ψ表示绝对的概率幅，),(t x ψ必须归一化，即 1),(2 =⎰ τψd t x A ，其中的A 即为归一化常数 8. 力学量完全测量集合 完全确定一微观粒子体系的状态所需要的力学量测量集合，这些力学量必须满 足：他们是可测量；它们必须互相独立；与他们相应的力学量算符必须两两对易 9. 微扰理论 当'ˆˆˆ0H H H +=，且>><<<<0ˆ'ˆH H ，零级近似的本征方程)0()0()0(0ˆn n n E H ψψ=可以 严格求解时，可用微扰理论来处理，即在零级近似)0()0(,k k E ψ的基础上，根据需要 的精度逐步进行一级、二级或高级修正。 10. 玻色子与费密子 自旋量子数s 为整数的微观粒子称为玻色子；自旋量子数s 为半整数的微观粒子 称为费米子；前者对波函数有对称性的要求；后者对波函数有反对称性的要求，受泡里原理的约束。 11. 定态 具有以下特征的态称为定态：能量E 一定（与时间t 无关）;概率分布一定，即 2 ),(t x ψ一定（与时间t 无关） ；力学量的平均值一定，即> 华中师范大学20××年研究生入学考试试题解答 一．设氢原子处于状态 ),(Y )r (R 2 3),(Y )r (R 21),,r (11211021ϕθ-ϕθ= ϕθψ- 求氢原子能量、角动量平方及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均 值。 解：在此能量中，氢原子能量有确定值 22s 222s 28e n 2e E μ-=μ-= )2n (= 角动量平方有确定值为 2222)1(L =+= )1(= 角动量Z 分量的可能值为 0L 1Z = -=2Z L 其相应的几率分别为 41， 43 L Z 的平均值为 4 3 43041L Z -=⨯-⨯= 二．计算：（1）分别在x S ˆ和y S ˆ表象中，求出x S ˆ、y S ˆ和z S ˆ的矩阵表示。（2）粒子受到势能为⎩⎨ ⎧>≤-=a r ,0a r ,U )r (U 0的场散射，U 0>0,用玻恩近似计算微分散射截面。 解：（1）考虑到σ= 2 S ,我们先求x ˆσ 、x ˆσ和z ˆσ的矩阵表示。 在x σ表象中x ˆσ应为对角矩阵，对角元为的本征值，由12x =σ知x σ的本征值为±1，故 ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=σ1001ˆx 令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=σd c b a ˆy ，因x ˆσ是厄米算符，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a d b c a ** **，所以 a *=a,d *=d,即a,d 为实数，b=c *,b *=c 所以：⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=σd b b a ˆ* y 由0ˆˆˆˆx y y x =σσ+σσ，有⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001d b b a d b b a 1001** 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -⋅ =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-⋅=⋅=⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86' =⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ -⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 011 5=-⋅+--kT hc e kT hc λλ ⇒ kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ⋅⨯=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=⨯=⨯⨯⨯⨯= ==--μμ 在这里，利用了 m eV hc ⋅⨯=-61024.1 以及 eV c e 621051.0⨯=μ 最后，对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。 1．3 氦原子的动能是kT E 2 3 = （k 为玻耳兹曼常数） ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波 量子力学例题之迟辟智美创作 第二章 一．求解一位定态薛定谔方程 1．试求在分歧毛病称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程: 当, 故有 利用波函数在处的连续条件 由处连续条件: 由处连续条件: 给定一个n 值,可解一个, 为分离能级. 2．粒子在一维势井中的运动 求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为 那时 对束缚态 解为 在处连续性要求 将代入得 又 相应归一化波函数为: 归一化波函数为: 3 分子间的范得瓦耳斯力所发生的势能可近似地暗示为 求束缚态的能级所满足的方程 [解]束缚态下粒子能量的取值范围为 当时 当时 薛定谔方程为 令 解为 当时 令 解为 当时 薛定谔方程为 令 薛定谔方程为 解为 由 波函数满足的连续性要求,有 要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必需为零 计算行列式,得方程 例题 主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布. 一. 有关算符的运算 1.证明如下对易关系 (1) (2) (3) (4) (5) [证] (1) (2) (3) 一般地,若算符是任一标量算符,有 (4) 一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有 (5) =0 同理：. 2.证明哈密顿算符为厄密算符 [解]考虑一维情况 为厄密算符, 为厄密算符,为实数 为厄密算符为厄密算符 3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为, 取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值 分别为: . [证] . 是的对应本征值为的本征函数 是的对应本征值为的本征函数 又: 可求出: 二.有关力学量平均值与几率分布方面 1. (1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值 [解] 即 是的本征函数.本征值 2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数 描写.求粒子能量的可能值相应的概率及平均值 【解】 宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数 注意:是否归一化波函数 第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *ˆˆ()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =⎰ ⎰ 或者用狄拉克符号，ˆˆf Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量ˆˆ,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21ˆˆ,2Q F Q F i σσ⎛⎫ ⎡⎤≥ ⎪⎣⎦⎝⎭ 2. 广义统计诠释 设力学量ˆQ 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*ˆ()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===⎰ 或 ˆ, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ⎰ 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*ˆQ Q dx =ψψ⎰ 计算方法等价。 如果力学量ˆQ 具有连续谱的本征函数系 '*'ˆ()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-⎰ 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为第5章 量子力学考研试题选讲(华师)——0313普物+量子力学真题资料文档
量子力学习题与及解答
量子力学典型例题分析解答
量子力学习题解答-第3章
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