量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析

设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研]

【解题思路】

①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关；

②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理；

③轨道角动量力学量的本征方程。

【解析】

（1）对于中心力场，由维里定理可得

因为

所以

（2）令

所以

因此

所以

【知识储备】

①氢原子本征方程

本征能量为

其中

本征波函数为

ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ）

②维里定理

如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ）

角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为

相应的本征方程分别为

【拓展发散】

假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。

7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。

（1）写出t时刻系统的波函数；

（2）求出t时刻系统的平均能量。

[中国科学技术大学2012研] 【解题思路】

根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。

【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为：

其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为：

容易解得

相应的能量本征值为：

可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。

对于态，先归一化。利用，可得，从而

我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出：

（2）t时刻系统的平均能量为：

其中。

【知识储备】 ①薛定谔方程

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U （r →

，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →

）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。

②在某一表象下，算符F ∧

在ψ态中的平均值为

8设有一个质量为m 的粒子处于（0，a ）区域的一维无限深势阱中，其状态波函数为

，试求解以下问题：

（1）一维无限深势阱的本征值；

（2）测量到的粒子处于不同能量本征态的几率； （3）测量到的粒子能量平均值。

[南京大学2014研]

【解题思路】

①对于一维无限深势阱中的粒子，一般假定势能不随时间变化，这是定态问题，显然，这可以直接使用薛定谔方程来求解本征波函数和本征能量；

②由薛定谔方程求解出的一维无限深势阱中的粒子的本征波函数构成正交归一完备集，所有的波函数都可以用此完备集展开；

③量子力学中一个力学量的测量会引起波包塌缩，各个对应本征态的几率可以对相应完备展开式做傅里叶变换得出。

【解析】

（1）由题意可知，在一维无限深势阱中运动的粒子所受的势能为

当时，由定态薛定谔方程可得

即

令

所以

解得

本征能量为

（2）由波函数的归一性

可得

即

由的完备性可得

由傅里叶变换可得

即

所以测量到的粒子处于的几率为

（3）由能量平均值公式可得

【知识储备】

①一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

②力学量完备集

任一函数ψ（x ）可以用一组完全系{f n （x ）}来表示

其中，c n 常被称为概率振幅，可由下式计算

同时满足

其物理意义是：当体系处于波函数ψ（x ）描写的状态时，测量力学量F ⌒

所得的值，必定是算符F ⌒

的本征值之一，测得F ＝λn 的概率为|c n |2。 力学量F ⌒

的平均值称为期望值，可表示成

【拓展发散】

①由于外力的作用，分为两种方式改变一维无限深方势阱的阱宽，一种是缓慢改变，另外一种是急剧改变，缓慢改变的方式还可以结合绝热近似进行考察； ②借助一维无限深方势阱的物理模型，也可以考察在本征态中一些力学量对应的矩阵形式。

9试给出以下量子力学基本概念的中文翻译、定义与相关公式： （1）Eigen-function （2）Stationary state （3）Superposition principle

[南京大学2013研]

【解题思路】

对于量子力学中的重要的概念和定义需要了解对应的英文表达，注重平常在这方面的积累。

【解析】

（1）Eigen-function：本征波函数

本征方程，其中为本征波函数，f为本征值。

（2）Stationary state：定态

定态波函数的形式为

（3）Superposition principle：叠加原理

如果y1、y2、…、y n、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c1y1＋c2y2＋…＋c n y n＋…，也是微观粒子的可能状态。

【知识储备】

①量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。

a．当算符的本征函数组成分立谱时，有

b．当算符的本征函数组成连续谱时，有

②波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U （r →

，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r →

）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。 10简答题：

（1）波函数有没有物理含义？它的物理含义体现在哪里？物理上对波函数有哪些要求？

（2）在希尔伯特（Hilbert ）空间中，正交归一的完备基矢组设为，试分别

就分立谱和连续谱情形，写出这组基矢完备性的数学表达式。

（3）一束单能量无相互作用的粒子流，经中心势场V （r ）弹性散射后，在r ＝

∞处的渐进解为 ，试解释表达式中的第一项和第二项的物理

意义，并说明

的含义。

[厦门大学2011研]

【解题思路】

对于波函数、基矢完备性和弹性散射粒子波函数等基本概念和定义在复习的时候需要理解清楚，这也有助于综合型题目的分析和解决。

【解析】

（1）波函数本身没有物理含义，波函数的平方代表粒子在空间出现的概率密度，将波函数的平方对空间积分则代表粒子在空间出现的概率。 波函数必须满足的三个基本条件：

有限性：波函数必须是有限的，因为概率不可能为无限大；

单值性：波函数一定是单值的，因为任一体积元内出现的概率只有一种； 连续性：波函数必须处处连续，因为概率不会在某处发生突变。 （2）分立谱

连续谱

（3）

表示入射波波函数，

表示球散射波波函数，f （θ，φ）称为散

射振幅，满足微分散射截面q （θ，φ）＝|f （θ，φ）|2。 【知识储备】

①玻恩对波函数的统计解释

波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方|y （r →

，t ）|2）和在该点（x ，

y ，z ）找到粒子的概率成比例。

②力学量存在连续谱和分立谱时，则ψ（x ）可表示为

其中

力学量

的平均值可以表示为

③弹性散射

散射粒子在离开散射中心很远的地方，波函数可表示为

微分散射截面：微分散射截面q（θ，φ）是单位时间内散射到（θ，φ）方向单

位立体角内的粒子数与入射粒子流强度N之比

散射总截面

11对低速运动的一维自由粒子，指出下列推导过程中的错误所在：

由，，和，得

[厦门大学2006研] 【解题思路】

理解清楚德布罗意公式中各个符号所代表具体的物理含义。

【解析】

题中对于低速运动的一维自由粒子进行了一些能量和运动关系的推导，明显看出

是错误的，假设这个公式正确，两边同乘以，得出①。

根据德布罗意公式

则①式左边可以得出，①式右边可以得出

出现矛盾，因此假设是错误的。 【知识储备】

德布罗意公式：德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假

设，即微粒的粒子性（E ，p →

）与波动性（ν，λ或ω，k ）的关系满足：

12粒子作一维运动时，常将P x 简写为P.设F （x ，p ）是x ，p 的整函数，即

，证明：

（1）

（2）

[厦门大学2006研]

【解题思路】

①熟练掌握力学量的对易关系恒等式； ②对于坐标和动量的对易关系要熟记。

【解析】

（1）因为

所以

即

由递推关系可得

（2）

【知识储备】

①对易式中满足的基本恒等式

[A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C ②x与p满足的对易关系

量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析 设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研] 【解题思路】 ①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； ②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； ③轨道角动量力学量的本征方程。 【解析】 （1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令

所以 因此 所以 【知识储备】 ①氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ） ②维里定理 如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ） 角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】 假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。 7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。 （1）写出t时刻系统的波函数； （2）求出t时刻系统的平均能量。 [中国科学技术大学2012研] 【解题思路】 根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。 【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为： 其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为： 容易解得 相应的能量本征值为： 可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。 对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出： （2）t时刻系统的平均能量为：

上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研真题及详解

上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研真题及详解2021年上海交通大学《829电磁学和量子力学》考研全套目录 ?上海交通大学《829电磁学和量子力学》历年考研真题汇编 ?全国名校电磁学考研真题汇编 ?全国名校量子力学考研真题汇编 ?2021年量子力学考研真题精解精析50题 说明：本部分收录了本科目近年考研真题，方便了解出题风格、难度及命题点。此外提供了相关院校考研真题，以供参考。 2．教材教辅 ?赵凯华《电磁学》（第2版）网授精讲班【34课时】 ?曾谨言《量子力学导论》（第2版）网授精讲班【39课时】 ?曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【名校考研真题＋课后习题＋章节题库＋模拟试题】 说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

? 试看部分内容 名校考研真题 第1章波函数与Schr?dinger方程 一、选择题 1．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（）[中南大学2009研] A．1 B．3×1010 C．3.3×10-11 D．8.7×10-21 【答案】A查看答案 【解析】由德布罗意波长公式，波长相同则二者动量大小必定相同，因此答案选A． 2．考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处．如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d，则干涉图样（）．[中南大学2009研]

图1-1 A．向上移动距离d B．向下移动距离d C．向上移动距离d／2 D．向下移动距离d／2 【答案】B查看答案 【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移．再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d． 3．上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（）．[中南大学2009研] A．干涉图样中相邻最大值之间的距离减小 B．干涉图样向上移动 C．干涉图样变蓝 D．干涉图样消失 【答案】A查看答案

量子力学考研题库

量子力学考研题库 量子力学考研题库 量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。 1. 简答题 (1) 什么是波粒二象性？ 答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。 (2) 什么是量子力学的基本假设？ 答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。 2. 计算题 (1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为 |ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？ 答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。 (2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为

径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。 答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。 3. 应用题 (1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。 答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算 和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合 成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。 (2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。 答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算 利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。 此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分 解和优化问题等。 通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算 方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家 在考试中取得好成绩！

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析 0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。[中国科学院2006研] 【解题思路】 利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。 【解析】 根据不确定原理有 即 因为 所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。 令 由 得出

所以基态能量为 【知识储备】 若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。 对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。 若[F，G]≠0，则有不确定关系 或 经常使用的关系式 21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。[中国科学院2006研] 【解题思路】 理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。 【解析】 根据含时薛定谔方程

令 带入可得 即 上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得 和 所以 对于 令

所以 因此 当 时， 相对于一维自由平面波函数， 使得波函数是自由平面波随时间做 改变的形式。 【知识储备】 薛定谔方程： 波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出 当U （r → ，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r → ）满足定态薛定谔方程 此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。 【拓展发散】 当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且； （2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。 [中国科学院2006研] 【解题思路】 理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。 【解析】 （1）因为U为幺正算符，所以和，由可得 由可得 因此 （2）因为，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即，。

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

量子力学 考研 真题

量子力学考研真题 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。 本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。 首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。量子力学是物理学的基础，它不 仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。 其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。下面关于波函数的哪种 说法是正确的？ A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。 B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。 C. 波函数只能用来描述电子的行为。 D. 波函数的实部表示粒子的动量。 这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。正确答案是B。波 函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。这道题目考察了考生对波函数的基本 概念的掌握程度。 除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。以下是一道典型的 计算题：

题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？ A. 1/2 B. 1/4 C. 0 D. 1 这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。正确答案是C。根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。 除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。这些内容需要考生有较强的数学基础和物理直觉，才能够进行深入的理解和分析。 综上所述，量子力学在考研中是一个重要的考点，对于物理学专业的考生尤为重要。通过掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具，考生可以更好地应对考试中的相关题目。同时，深入理解量子力学的原理和应用也有助于考生在物理学领域的研究和发展。希望本文对考生们在量子力学的学习和考试中有所帮助。

2021年应用物理学专业研究生入学考试《量子力学》理论型考试试题(试卷D)

XXX 大学 2021年应用物理学专业研究生入学考试 《量子力学》理论型考试试题（试卷D ） 1、一个质量为μ的粒子在下面的势阱中作束缚态运动; ()()V x A x δ=； 其中0A <为常数。求值a ，使粒子处于a x a -<<范围内的几率为2500。

2、纠缠态可能在量子通讯中有重大应用。两个量子体系的复合系统的纠缠态是指不能用子系统态的直积表示的态。 例如，两个自旋为12的粒子的各自的本征态为,,m a 其中11,,22 m =-为磁量子数，1,2a =标记不同粒子，则复合系统的非耦合基如 11,1,2,,,,22m n m n ⎛⎫=- ⎪⎝ ⎭就是些非纠缠态，而一个耦合基如：11110,0,1,2,1,2 2222⎫=---⎪⎭就是个纠缠态。试作出此复合体系一套互相正交归一的纠缠态（它们也可作为此复合系统的完备基）。

3、设算符ˆH 具有连续本征值ω，其本征函数(),u x ω构成正交完备系。求方程：()()()ˆH V x F x ω*-=的解，其中()F x 为已知函数，ω*为某个特定的本征值 。 4、一个质量为μ的粒子作一维无限运动，当其哈密顿为ˆˆ,p H H λμ*=+求此时的能级n E * 。

5、设力学量F和角动量() 1,2,3 i J i=对易，即ˆF为标量算符。试证明在() 2, z J J的共同本征态,j m中，F的平均值与量子数m无关。 6、一个两能级系统，哈密顿量为,H能级间隔为A，现此系统受 到一个微扰H'。在ˆH表象中，ˆH'的表示式为() 12, λσσ +其中1,2 σσ是泡利矩阵，λ是实数。请计算出受微扰后的能级间隔（精确到二级修正）。

2021年理论物理专业研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)

2021年理论物理专业 研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷二） 一、(10分)。 设粒子(能量E>0)由左入射，碰到势场⎩⎨⎧<->=0 )(0 x V x x V ，其中V 0>0，求粒子在势壁x=0处的透射系数。 二、每题10分，共计30分。 1．假定矢量算符A ˆ 和B ˆ 都与Pauli 算符σˆ 对易，试证明： )ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ；

2．试证明轨道角动量算符l ˆ 和动量算符p ˆ 满足关系： p i l p p l ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯； 3．假定有两个电子，自旋态分别是： ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=01α； ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=+-)2/()2/(2/2/θθβϕϕSin e Cos e i i ； 试证明由这两个电子组成的体系处于自旋单态和三重态时的几率分别是： )21(2120θCos W S -= =和)2 1(2121θ Cos W S +==；

三、选择题(每题5分，共6题，共计30分。说明：每题有一个或多个选项是正确的，请给出所有正确的选项)。 1．表明电子有自旋的现象有。 (a)、塞曼效应； (b)、光谱的精细结构； (c)、斯特恩-革拉赫实验； (d)、戴维孙-革末实验； (e)、康普顿散射； 2．对于在辏力场中运动的粒子，守恒量有。 (a)、动量； (b)、能量； (c)、角动量； (d)、角动量的平方； (e)、宇称； 3．在不同表象中，不变的量有。 (a)、力学量的表示； (b)、体系的状态； (c)、力学量的本征值； (d)、两个波函数的内积； (e)、力学量的平均值；

2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题

⎨ ⎩ = , = 2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业： 理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理 考试科目： 量子力学科目代码： 661 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 写出波粒二象性的德布罗意公式。 2. 什么样的状态是定态? 3. 全同费米子的波函数具有什么特点? 4. 简述坐标和动量的测不准关系的主要内容。 5. 为什么量子力学的力学量算符是厄密算符？ 二、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1. 证明 [L ˆx , L ˆy ] = i h L ˆz 。 2. 设算符a ˆ 具有性质a ˆ2 = 0, {a ˆ,a ˆ+} = 1, 定义算符 N ˆ ≡ a ˆ+a ˆ ，证明 N ˆ 2 =N ˆ 。 三、 计算题（每小题 20 分，共 80 分） 1. 一粒子在一维势场 ⎧∞, x < 0， U (x ) = ⎪0, 0 ≤ x ≤ a ⎪∞, x > a , 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2. 一维运动粒子的状态是 ⎧ Axe -λx , ψ (x ) = ⎨ x ≥ 0 ⎩ 0, x < 0 其中λ > 0 ，求 (1) 粒子动量的概率分布函数； (15 分) (2) 粒子动量的期望值。 (5 分) 3. 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E 01 , E 02 。现在受到微扰 H ˆ ' 的作用，微扰矩阵元为 H 1'2 = H 2'1 = a , H 1'1 = H 2'2 = b , a , b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 4. 求电子自旋角动量算符 S ˆx h ⎛ 0 1 ⎫ 2 1 0 ⎪ S ˆy h ⎛ 0 2 i -i ⎫ 0 ⎪ 的本征值和所属的本征函数。 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 第- 1 -页，共- 1 -页

2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题

2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业：理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理考试科目：量子力学 科目代码：661 _____________ 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题10分，共50 分） 1.量子力学中粒子的状态由什么描述？写出它满足的方程。 2.什么是宇称？若某哈密顿量的本征态具有确定宇称，则其势函数具有何特点？ 3.力学量对应的算符怎么得到？以空间角动量L z= xp y -yp x为例说明该过程。 4.什么是玻色子？举例说明。 5.泡利算符乞,乞,戈可以用来描述电子自旋，请写出它们的矩阵形式。 二、证明题（共20 分）证明厄米算符的本征值是实数。 三、计算题（每小题20 分，共80 分） 1. 一质量为m的粒子在势阱V（x）=—Y§（X）（Y> 0）中运动，求束缚态能级与波函数。 ^j2 R2i（r）乙，1 G。）~^j2 R2i 2. 设氢原子处于状态，。求： （r）乙，-1（G，^） （1）s x的期望值；（10分） ⑵ 磁矩M z= _—L厂£s z的期望值。（io分） 2mm 3.一电荷为q的线性谐振子受恒定弱电场E作用，电场沿x方向，因而体系的哈密顿为 H = H0—qEx = -—d- +丄mo1 x2—qEx。用微扰论求体系的定态能量（准确到二级）和波 02m dx2 2 函数（准确到一级）。提示：x^n =a J20"T +£2^0"+1，其中a =，H0»n = E n札。 4.假设自旋1/2的粒子处在状态力=2。求 1 + i （1）测量s’，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？（10分） （2）测量s x，测量值为力/2和-力/2的概率分别是多少？（10分） 第- 1 -页，共- 1 -页

复旦大学量子力学考研真题

复旦大学量子力学考研真题 2021年复旦普通物理（回忆版） 第一至第三题为必做，第四到第十题选作五道一、1）写出开普勒三定律 2）从开普勒第一定律出发推导出第三定律二、1）（涉及质心、力矩的证明题）2）(角动量随时间的变化问题) 三、1）从公式dEk=F*dr出发，推导出相对论动能公式 2）证明相对论动能公式在低速条件下与牛顿力学动能公式的一致性四、1）一电介质球均匀带电，总电量Q，求电场强度分布2）电介质球不带电，但被均匀极化，求沿电极化强度P方向距球心d处的电场强度 五、一个电路中电源为ε，电阻为r，电感为L，求接通电路后电流随时间的变化 六、1）说明电磁场为什么具有物质性2）写出其运动公式 七、1）写出热力学第二定律的开尔文表述和克劳修斯表述2）证明其一致性 八、1）在T-S图中表示出卡诺循环，并指明每个过程的名称2）说明每个过程的做功和吸收热量 九、1)什么是光的衍射？光的衍射如何决定光学仪器的分辨率？2）《通用教程（第一版）光学・近代物理》3.4题 十、光以偏离法线角度i的方向从空气中入射玻璃，求其中s波的反射率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 1.在H0表象下，H0= ,H’= H’ 0时刻体系处于激发态的概率。 2.估算一维谐振子基态能量。

3.实际类氢原子不是一个点电荷，他的电势x(r)= 求该原子1s能级一级修正 4.已知两个全同粒子,其自旋为s,求该分别体系处于自旋对称态和自旋反对称态的概率 5.已知在Lz表象下,Lx= （）,Ly= （）(1)已知在( )态下,求Lx 的可能测值及相应的几率(2)在态ψ=( )态下, Lz的可能测值及几率, Lz^2测值为+1的几率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 1、取无限深方势阱的中心为坐标原点，势阱宽为a，求粒子的能级及波函数。 2、1）估算一维谐振子的基态能量2）估算类氢原子的基态能量 3、利用[a,a+]=1, [a,a]=[a+,a+]=0, a|0=0 证明|n= (a+)n|0 4、两个自旋为1/2,质量为m的全同粒子，自旋平行，处于一个边长为abc的长方形盒子中，粒子间的相互作用势为V=Aδ（r1-r2）;体系处于与下列条件相容的最低能级，试用一阶微扰论计算体系能量1）两个粒子是自旋1/2的全同粒子2）两个粒子是自旋1/2的非全同粒子3）两个粒子自旋为零 5、有一个自旋1/2，磁距μ，电荷0的粒子，置于磁场B中，开始时（t=0）磁场沿z方向，B=B。=（0，0，B。），粒子处于σz的本征态（）,即σz=-1，t0时，再加上沿x方向的较弱的磁场B1=（B1,0,0），从而B=B。+B1=（B1,0, B。） 求t0时粒子的自旋态，以及测得自旋“向上”（σz=1）的概率 2021年复旦大学量子力学（回忆版） 第一题为必做，第二至第七题选作五道 一、1）写出量子力学五个基本假设 2）分别写出在动量表象和坐标表象下的薛定谔方程3）动量和坐标的某种对易关系（具体记不清了）4）求σx的本征值和本征态5）求Lz的本征值和本征函数二、计算波函数的某个算符的平均值 三、t0时，电子处于磁场B=B0e1中，并处于自旋向上态。t0时，

2021年物理学专业硕士研究生入学考试《量子力学》试题(试卷四)

XXX大学2021年物理学专业 硕士研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷C） 科目代码： XXX ; 名称：量子力学 ; 适用专业或方向：物理学一级学科各专业(包括：理论物理、粒子物理与原子物理、原子与分子物理、凝聚态物理、光学) 。 答题注意事项：必须在答题纸上答题，在试卷上答题无效，答题纸老师提供。 一、（20分）; 粒子在一维δ势井中的运动()()x =，()0> a，求 - Vδ x a 粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数。

二、（20分）; (1).i z y x =σσσ; (2).()() 21221ˆˆ23ˆˆσσσσ ⋅-=⋅，并利用此结论求21,σσ本征值。 三、（20分）; 取2ˆL 和z L ˆ的共同表象，在1=l 角动量空间中写出2ˆL ,z L ˆ,-+L L L L y x ˆ,ˆ,ˆˆ,的矩阵。 （提示：()()1,1ˆ±+±=± m l m l m l lm L ）。

四、简答题（30分）。 （1）设为归一化的动量表象下的波函数，写出 的物理意义。 （2）量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？ （3）写出坐标和动量的测不准关系以及它们的对易关系。

（4） ()(,)l s s nlm m nl lm m R r Y θϕχψ=为电子的波函数，其中,,,l s n l m m 分别是什么量子数？ （5） 用狄拉克符号写出坐标算符的本征方程。 五、（20分）； 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场 在ε 中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修 正。（提示： 0010.Y Y θ= =）。

2021年物理系专业攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题及答案(试卷D)

XXX 大学物理系专业 2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷D ） 一、回答下列问题（40分）。 1、若系统的波函数的形式为()()()12,i i Et Et x t x e x e ψφφ-=+，问() ,x t ψ是否定态波函数？为什么？ 2、算符ˆA 和ˆB 满足对易关系，ˆˆˆˆˆ,1,B A C AB ⎡⎤==⎣⎦是厄密算符，且满足本征方程ˆ,C φλφ=问： （1）状态ˆA ψφ=是否ˆC 的本征态？若是，写出本征值。若不 是，说明理由。

（2）算符ˆA 和ˆB 是否厄密算符？用简单的算符运算说明之。 3、粒子处于态()2sin ,x A kx ψ=其中k 为波数，求其动量取2k 的几率； 4、氢原子的波函数() 1002102112112r ψψψ-=+，求能量的可能值、相应几率和平均值。

5、设ˆU 为么正算符，而()() 11ˆˆˆˆˆˆ,22A U U B U U i ++ =+=-，试证： （1）ˆA 和ˆB 均为厄密算符； （2）22ˆˆ1A B +=。 二、（15分）一量子体系的哈密顿算符0ˆˆˆ,H H H '=+在0 ˆH 为对角表象中的矩阵形式为： 040000ˆˆ020,00,1001000k H H k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪'==<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1、用微扰法求体系的能量，精确到二级近似； 2、求精确解，与1、比较。

三、（15分）ˆA 和ˆB 是属于同一体系的两个互相对易的力学量算符， 1、若12,ψψ是属于ˆA 的不同本征值的本征态，试证明12 ˆ0B ψψ=； 2、问：当体系处于力学量ˆA 的本征态时，力学量ˆB 是否有确定值？试就ˆA 的本征值简并与非简并两种情形加以说明。

山东大学2021年量子力学试题

山东大学2021年量子力学试题 1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如 电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________ 2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________ 3.计算1时，团簇（由60个原子构成的足球状分子）热 运动所对应的物质波波长_____________________________ 4. 计算对易式和，其中为动量算符的分量， 为坐标的函数. 5. 如果算符满足关系式，求证 (1) (2) 6. 设波函数，求 7. 求角动量能量算符的本证值和本征态 8. 试求算符的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E是非简并的 10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称 11. 一粒子在一维势场

中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为 求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是 其中，求： (1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。 14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为，如果粒 子的状态由波函数描写，A为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值. 15.设粒子处于范围在的一维无限深势阱中状态用函数 ，求粒子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在的态（为第一玻尔轨道半径），求 (1) 的平均值；(2)势能的平均值 17.质量为的一个粒子在边长为的立方盒子中运动，粒子所受

2021年量子力学选择题库

量子力学选取题 1.能量为100ev 自由电子De Broglie 波长是A A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C. 2.1A 0. D. 2.5A 0 . 2. 能量为0.1ev 自由中子De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0 . 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 质点De Broglie 波长是 A.1.4A 0 . B.1.9⨯10 12 -A 0 . C.1.17⨯10 12 -A 0. D. 2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具备动能 E k T B = 32(k B 为Boltzeman 常数)氦原子De Broglie 波长是 A.8A 0 . B. 5.6A 0 . C. 10A 0 . D. 12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 量子化条件得到一维谐振子能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()12 ω . C.E n n =+()1 ω. D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠价电子能量为3ev ，其De Broglie 波长是 A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0 . 7.钾脱出功是2ev ，当波长为3500A 0 紫外线照射到钾金属表面时，光电子最大能量为 A. 0.25⨯10 18 -J. B. 1.25⨯10 18 -J. C. 0.25⨯10 16 -J. D. 1.25⨯10 16 -J. 8.当氢原子放出一种具备频率ω光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生频率变化为 A. 2μc . B. 22μc . C. 22 2μc . D. 2 2μc . https://www.sodocs.net/doc/c419054406.html,pton 效应证明了 A.电子具备波动性. B. 光具备波动性. C.光具备粒子性. D. 电子具备粒子性. 10.Davisson 和Germer 实验证明了 A. 电子具备波动性. B. 光具备波动性. C. 光具备粒子性. D. 电子具备粒子性.