量子力学考研题库

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量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。

1. 简答题

(1) 什么是波粒二象性？

答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。

(2) 什么是量子力学的基本假设？

答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。

2. 计算题

(1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为

|ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？

答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。

(2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为

径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。

答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。

3. 应用题

(1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。

答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算

和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合

成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。

(2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。

答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算

利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。

此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分

解和优化问题等。

通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算

方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家

在考试中取得好成绩！

量子力学考研真题

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()⎩⎨ ⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 32121 31210,ϕϕϕψ+-= 状态上，其中， ()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。 （1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率； （2） 求0>t 时的波函数() t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n ma E n n π ϕπsin 2,3,2,1 ,22 2 22=== （1） 首先，将()0,x ψ 归一化。由 12131212 22 2 =⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c 可知，归一化常数为 1312= c 于是，归一化后的波函数为 ()()()() x x x x 321133 1341360,ϕϕϕψ++-= 能量的取值几率为 ()()()133 ;134 ;136321= ==E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。 （2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+ ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ （3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。 三. 设厄米特算符H ˆ的本征矢为 n ， {n 构成正交归一完备系，定 义一个 算符 ()n m n m U ϕϕ=,ˆ （1） 计算对易子()[]n m U H ,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+； （3） 计算迹 (){}n m U ,ˆT r ； （4） 若算符 A ˆ 的矩阵元为n m mn A A ϕϕˆ=，证明 ()n m U A A n m m n ,ˆˆ,∑= (){ } q p U A A pq ,ˆˆTr += 解： （1）对于任意一个态矢 ψ，有 ()[ ]( )( )( )( )()( )ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U H n m U H n m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-= -=-=-= 故 ()[]()()n m U E E n m U H n m ,ˆ,ˆ,ˆ-= （2） ()()()p m U q p U n m U nq p q n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+ （3）算符的迹为

南大量子力学考研真题

南大量子力学考研真题 南大量子力学考研真题 南大量子力学考研真题一直以来都备受考生关注。作为中国科学界的重要学府，南京大学的量子力学考研真题不仅考察了考生对量子力学基本概念的理解，还 要求考生具备深入思考和解决实际问题的能力。在这篇文章中，我们将探讨南 大量子力学考研真题的一些特点和解题技巧，希望能对广大考生有所帮助。 首先，南大量子力学考研真题注重考察考生对量子力学基本原理的掌握。量子 力学是现代物理学的基石，它描述了微观世界中粒子的行为规律。因此，对于 考生来说，掌握量子力学的基本原理是非常重要的。在南大的考研真题中，经 常会涉及到薛定谔方程、波函数、算符等概念，要求考生能够准确地理解和应 用这些基本概念。因此，考生在备考过程中，要注重对量子力学基本原理的理 解和记忆，通过大量的练习和习题训练，提高自己的解题能力。 其次，南大量子力学考研真题强调解决实际问题的能力。量子力学不仅仅是一 门理论学科，它也有着广泛的应用。在南大的考研真题中，经常会出现一些与 实际问题相关的题目，要求考生能够将理论知识与实际问题相结合，解决实际 应用中的量子力学问题。这对于考生来说是一个挑战，需要他们具备一定的应 用能力和创新思维。因此，考生在备考过程中，要注重培养解决实际问题的能力，多进行实际问题的练习和思考，提高自己的应用能力。 另外，南大量子力学考研真题注重考察考生的综合能力。量子力学作为一门复 杂的学科，需要考生具备扎实的物理基础知识和数学能力。在南大的考研真题中，经常会出现一些需要考生综合运用物理和数学知识解决问题的题目，要求 考生具备较强的综合能力。因此，考生在备考过程中，要注重物理和数学知识

量子力学考研模拟题1-解答

量子力学考研模拟试题(1)答案 一、（30分）回答下列问题： （1）何谓微观粒子的波粒两象性？ 解 微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的属性（具有干涉及衍射现象）。严格地说，微观粒子就是微观粒子，粒子与波只是微观粒子的两种不同属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，微观粒子既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一矛盾的综合体。 （2）波函数(,)r t ψ 是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2 (,) r t ψ 的 物理意义是什么？ 解 波函数是用来描述体系状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2 (,) r t ψ 表示在ｔ时刻r 附件ｄτ体积元中粒子出现的概率密度。 （3）分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？ 解 当粒 束缚态。若一个本征值对应一个以上不同的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若得到的新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。 （4）物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？ 解 物理上可观测量对应线性厄米算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米算符的本征值是实数，可与（实数）观测值比较。 （5）坐标x 分量算符与动量x 分量算符ˆx p 是对易关系是什么？并写出两者满足的不确定关系。 解 对易关系为[]ˆ,x x p i = 不确定关系为Δx ·Δ2 x p ≥ 。 （6）厄米算符ˆF 的本值n f 与本征矢|n >分别具有什么性质？ 解 本征值为实数，本征矢构成正交、归一和完备的函数系。 二（20分）设氢原子处于 2110311021111(,,)()(,)()(,)()(,)2r R r Y R r Y R r Y ψθϕθϕθϕθϕ-= -的状态上， 求能其量、角动量平方及角动量Z 分量的可能取值与相应的取值概率，进而求出它们的平均 值。 解 选{} 2 ,,Z H L L 为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 2 241 2n e E n μ- =

量子力学考研2021配套考研真题集

量子力学考研2021配套考研真题集一、典型真题解析 设氢原子处在R21Y1—1态，（1）求势能的平均值；（2）求轨道角动量的平均值。[复旦大学2004研] 【解题思路】 ①氢原子电子所受到的是中心力场，能量只和主量子数n有关，这和氢原子势场的对称性相关； ②对于r指数的力学量平均值直接计算运算较为复杂，可以运用维里定理； ③轨道角动量力学量的本征方程。 【解析】 （1）对于中心力场，由维里定理可得 因为 所以 （2）令

所以 因此 所以 【知识储备】 ①氢原子本征方程 本征能量为 其中 本征波函数为 ψnlm（r，θ，φ）＝R nl（r）Y lm（θ，φ） ②维里定理 如果势场是r的n次函数，则在此势场的束缚定态中动能平均值和势能平均值满足关系为

③（L2，L z）有共同的本征函数——球谐函数Y lm（θ，φ） 角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为 相应的本征方程分别为 【拓展发散】 假定氢原子的波函数为，可以求出势能平均值的通式和轨道角动量的平均值的通式。 7质量为μ的粒子被限制在半径为R的平面圆周上运动（转子）。已知开始时系统处于状态，A为常数。 （1）写出t时刻系统的波函数； （2）求出t时刻系统的平均能量。 [中国科学技术大学2012研] 【解题思路】 根据含时薛定谔方程，从已知的初始时刻的状态求解t时刻粒子的状态，对于哈密顿量的平均值，可以直接使用力学量的平均值求解。 【解析】

（1）以所在平面为XOY平面，则系统的哈密顿量可以写为： 其中，为转子的转动惯量。从而定态薛定谔方程为： 容易解得 相应的能量本征值为： 可见，对于，能级是二重简并的；当时，能级非简并。 对于态，先归一化。利用，可得，从而 我们已经将按哈密顿量的本征矢展开，则t时刻系统的波函数可以直接写出： （2）t时刻系统的平均能量为：

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量子力学考研题库 量子力学考研题库 量子力学是现代物理学中的一门重要学科，对于理解微观世界的奇妙现象具有重要意义。考研是许多学子迈向科研之路的重要阶段，因此掌握量子力学的知识对于考研生来说尤为重要。在这篇文章中，我们将建立一个量子力学考研题库，帮助考生更好地复习和巩固所学知识。 1. 简答题 (1) 什么是波粒二象性？ 答：波粒二象性是指微观粒子既具有波动性质又具有粒子性质的特点。根据波粒二象性，微观粒子既可以像波一样传播，表现出干涉和衍射现象，也可以像粒子一样具有确定的位置和动量。 (2) 什么是量子力学的基本假设？ 答：量子力学的基本假设包括波函数的存在和波函数演化的规律。波函数是描述微观粒子状态的数学函数，它包含了粒子的位置和动量等信息。根据波函数演化的规律，波函数会随着时间的推移而发生变化，可以通过薛定谔方程进行描述。 2. 计算题 (1) 一个自旋为1/2的粒子处于自旋向上和自旋向下的叠加态，其波函数为 |ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β为复数，满足|α|^2+|β|^2=1。求该粒子自旋向上和自旋向下的概率分别是多少？ 答：自旋向上的概率为|α|^2，自旋向下的概率为|β|^2。 (2) 一个处于束缚态的氢原子的波函数可以表示为|ψ⟩=R(r)Y(θ, φ)，其中R(r)为

径向波函数，Y(θ, φ)为角向波函数。求氢原子的波函数的归一化条件。 答：归一化条件要求波函数的模方在整个空间上积分等于1，即∫|ψ|^2dV=1。对于氢原子的波函数，归一化条件可以写为∫|R(r)|^2r^2sinθdrdθdφ=1。 3. 应用题 (1) 请简要介绍量子力学在材料科学中的应用。 答：量子力学在材料科学中有着广泛的应用。例如，通过量子力学的理论计算 和模拟，可以研究材料的电子结构、能带结构和光学性质，为材料的设计和合 成提供理论指导。此外，量子力学还可以用于研究材料的磁性、超导性等性质，以及纳米材料和量子点等微观结构的特性。 (2) 请简要介绍量子力学在量子计算中的应用。 答：量子计算是利用量子力学的特性进行计算的一种新兴计算方式。量子计算 利用量子比特的叠加和纠缠等特性，可以在某些情况下比传统计算方式更高效。例如，量子计算可以在一次计算中同时处理多个可能性，从而加快计算速度。 此外，量子计算还可以用于解决一些传统计算方式难以处理的问题，如因子分 解和优化问题等。 通过以上题目的练习，考生可以更好地理解和掌握量子力学的基本概念和计算 方法。希望这个量子力学考研题库能够对考生复习和备考有所帮助。祝愿大家 在考试中取得好成绩！

量子力学考研核心题库

一、填空题 1．描述微观粒子运动状态的量子数有_____;具有相同n的量子态，最多可以容纳的电子数为_____个。 【答案】 2．力学量算符必须是_____算符，以保证它的本征值为_____. 【答案】厄米；实数 【解析】力学量的测量值必须为实数，即力学量算符的本征值必须为实数，而厄米算符的本征值为实数，于是量子力学中就有了一条基本假设——量子力学中所有力学量算符都是厄米算符. 3．（1）自由粒子被限制在x和x+1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理.如果没有给出其他资料，则粒子在 x和x+1/3之间的概率是_____. A.025 B.033 C.011 D.067 （2）上题中，按照量子力学.处于最低能态的粒子在x和x+1/3之间被找到的概率是_____. A.019 B.072 C.033 D.050 【答案】（1）B 【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为 （2）A 【解析】取x为原点，则有波函数为 所求概率即 4．不确定关系是微观粒子_____性质的数学表述。 【答案】波粒二象性

5．一维谐振子升、降算符、a的对易关系式为_____;粒子数算符N与、a的关系是;哈密顿量H 用N或、a表示的式子是_____；N（亦即H）的归一化本征态为_____。 【答案】 6．—粒子的波函数为写出粒子位于间的几率的表达式_____。 【答案】 二、选择题 7．__________。 【答案】 8．设粒子处于态为归一化波函数为归一化的球谐函数，则系数的 取值为_____的可能值为_____的平均值为_____。 【答案】 9．（1）_____；（2）_____。 【答案】

量子力学 考研 真题

量子力学考研真题 量子力学是物理学中的一门重要学科，它研究微观世界中的粒子和能量的行为。在考研中，量子力学是一个重要的考点，很多考生都会遇到与之相关的真题。 本文将从不同角度来探讨量子力学在考研中的重要性和一些相关的真题。 首先，量子力学在考研中的重要性不言而喻。量子力学是物理学的基础，它不 仅对物理学专业的考生来说至关重要，对其他相关专业的考生也有一定的影响。在考研中，量子力学往往是一个难点，需要考生对其理论和应用有深入的了解。因此，对于考生来说，掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具是非常重要的。 其次，我们来看一些与量子力学相关的考研真题。以下是一道经典的考研真题：题目：在量子力学中，波函数是描述粒子的重要工具。下面关于波函数的哪种 说法是正确的？ A. 波函数可以用来计算粒子的运动轨迹。 B. 波函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率。 C. 波函数只能用来描述电子的行为。 D. 波函数的实部表示粒子的动量。 这道题目涉及到了波函数的概念，考察了对波函数的理解。正确答案是B。波 函数的模的平方表示粒子在空间中存在的概率，而不是用来计算粒子的运动轨迹、描述电子的行为或表示粒子的动量。这道题目考察了考生对波函数的基本 概念的掌握程度。 除了基本概念的考察，还有一些与量子力学相关的计算题。以下是一道典型的 计算题：

题目：一个自旋为1/2的粒子通过一个自旋分析仪，其自旋在z方向的分量测量结果为1/2。如果再通过另一个自旋分析仪测量其自旋在x方向的分量，那么测量结果为多少？ A. 1/2 B. 1/4 C. 0 D. 1 这道题目考察了对自旋的测量和量子力学中的叠加态的理解。正确答案是C。根据量子力学的原理，自旋在不同方向上的分量不能同时确定，因此在z方向测量结果为1/2时，x方向的测量结果应为0。这道题目考察了考生对量子力学原理的理解和应用能力。 除了这些例题，考研中还会涉及到更深入的量子力学内容，如量子力学的算符和本征值问题、量子力学中的测量和不确定性原理等等。这些内容需要考生有较强的数学基础和物理直觉，才能够进行深入的理解和分析。 综上所述，量子力学在考研中是一个重要的考点，对于物理学专业的考生尤为重要。通过掌握量子力学的基本原理和相关的数学工具，考生可以更好地应对考试中的相关题目。同时，深入理解量子力学的原理和应用也有助于考生在物理学领域的研究和发展。希望本文对考生们在量子力学的学习和考试中有所帮助。

2021年理论物理专业研究生入学考试《量子力学》试题(试卷二)

2021年理论物理专业 研究生入学考试《量子力学》试题 （试卷二） 一、(10分)。 设粒子(能量E>0)由左入射，碰到势场⎩⎨⎧<->=0 )(0 x V x x V ，其中V 0>0，求粒子在势壁x=0处的透射系数。 二、每题10分，共计30分。 1．假定矢量算符A ˆ 和B ˆ 都与Pauli 算符σˆ 对易，试证明： )ˆˆ(ˆˆˆ)ˆˆ)(ˆˆ(B A i B A B A ⨯⋅+⋅=⋅⋅σσσ；

2．试证明轨道角动量算符l ˆ 和动量算符p ˆ 满足关系： p i l p p l ˆ2ˆˆˆˆ =⨯+⨯； 3．假定有两个电子，自旋态分别是： ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=01α； ⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=+-)2/()2/(2/2/θθβϕϕSin e Cos e i i ； 试证明由这两个电子组成的体系处于自旋单态和三重态时的几率分别是： )21(2120θCos W S -= =和)2 1(2121θ Cos W S +==；

三、选择题(每题5分，共6题，共计30分。说明：每题有一个或多个选项是正确的，请给出所有正确的选项)。 1．表明电子有自旋的现象有。 (a)、塞曼效应； (b)、光谱的精细结构； (c)、斯特恩-革拉赫实验； (d)、戴维孙-革末实验； (e)、康普顿散射； 2．对于在辏力场中运动的粒子，守恒量有。 (a)、动量； (b)、能量； (c)、角动量； (d)、角动量的平方； (e)、宇称； 3．在不同表象中，不变的量有。 (a)、力学量的表示； (b)、体系的状态； (c)、力学量的本征值； (d)、两个波函数的内积； (e)、力学量的平均值；

北京科技大学量子力学考研真题

北京科技大学2003——2004学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程：ˆ H i t ψψ∂=∂ 一维定态薛定谔方程：()()()222 2d V x x E x m dx ψψ⎛⎫ -+= ⎪⎝⎭ 动量算符：ˆp i x ∂=∂ 高斯积分：2 x e dx α ∞--∞ = ⎰ 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()() 0;0,;0,x a V x x x a ∈⎧⎪=⎨ ∞<>⎪⎩ 1。[10分]求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知0t =时，该粒子状态为：())12,0()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子 的波函数； 3。[5分]求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分] 222 22n n n x a n E m a πψπ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎨⎪ =⎪⎩

2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = t 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--⎛⎫=+⎪⎭ 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11,,2 x t x t ψψ= t 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：() ()()()2 2 122 5ˆ,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+∂====∂ 平均位置：()()()122 16,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-⎛⎫ ==- ⎪⎝⎭ 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω= 中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为： ( )† 1 2 H a a ω=+ 。这里ˆa 是湮灭算符，† ˆ a 是产生算符： †i a x p m i a x p m ωω⎧⎫=+⎪⎪ ⎪ ⎭⎨ ⎫⎪=-⎪⎪⎭⎩ 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质：()()† 01ˆa x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 4 20m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（()12 4 2m x m x e ωωψπ- ⎛⎫ = ⎪⎝⎭ ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10分]

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目录 第二章波函数和薛定谔方程 (2) 一、简答题 (2) 二、证明题 (6) 三、计算题 (7)

第二章 波函数和薛定谔方程 一、简答题 1.何谓微观粒子的波粒二象性？ 2.粒子的德布罗意波长是否可以比其本身限度长或短？二者之间是否有必然联系？ 3.粒子按轨道运动这个概念的实质是什么？试直接从德布罗意假设出发，论证对微观粒子不存在轨道的概念。 4.波动性与粒子性是如何统一于统一客体之中的？物质在运动过程中是如何表现波粒二象性的？ 5.“电子是粒子，又是波”，“电子不是粒子，又不是波”，“电子是粒子，不是波”，“电子是波，不是粒子”，以上哪一种说法是正确的？ 6.试述牛顿力学与量子力学中的自由粒子运动状态。 7.在量子力学中，能不能同时用粒子坐标和动量的确定值来描述粒子的量子状态？ 8.判别一个物理体系是经典体系还是量子体系的基本标准是什么？ 9.是比较粒子和波这两个概念在经典物理和量子力学中的含义。 10.微观粒子体系的状态完全由波函数),(t r 描述，波函数应满足什么样的标准条件？ 波函数的物理意义是什么？ 11.叙述波函数的统计解释（物理意义），并写出薛定谔方程的一般数学形式。 12.什么是波函数的统计解释？量子力学的波函数与声波和光波的主要区别是什么？ 13.写出波函数的物理意义和标准条件，并说明如何理解波函数可以完全表述微 观粒子的状态及波函数的标准条件。 14.简述玻恩关于波函数的统计解释，按这种解释，描写粒子的波是什么波？ 15.根据量子力学中波函数的几率解释，说明量子力学中的波函数与描述声波、光波等其它波动过程的波函数的区别。 16.简要说明波函数和它所描写的粒子之间的关系。 17. 波函数的物理意义-微观粒子的状态完全由其波函数描述，这里“完全”的

汇总高校量子力学考研试题

习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。 4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率 为。 6．波函数的标准条件为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质是。 10．厄密算符的本征函数具有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符 与态矢量的关系为__________。 20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为 ____________________________。 21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。

量子力学考研题库华中科技

量子力学考研题库华中科技 量子力学是物理学中的一门重要学科，也是考研中的一个难点。华中科技大学 作为国内一流的高校，在量子力学考研题库方面也有着丰富的资源和经验。本 文将从华中科技大学量子力学考研题库的特点、题型分布以及备考建议等方面 进行探讨。 首先，华中科技大学量子力学考研题库的特点是题目难度较高，涵盖面广。量 子力学作为一门复杂的学科，其理论体系庞大且抽象，因此考研题库中的题目 往往涉及到各个方面的知识点，需要考生具备扎实的基础和深入的理解。同时，华中科技大学的题目往往注重考察考生对于理论的理解和应用能力，题目形式 多样，既有计算题，也有理论分析题，还有论述题等。因此，考生在备考过程 中需要全面掌握各个知识点，并能够将其灵活应用于解题中。 其次，华中科技大学量子力学考研题库的题型分布比较均衡。根据往年的考试 情况分析，华中科技大学的考试题型主要包括选择题、计算题和分析题。其中，选择题占比较大，考察考生对于基本概念、原理和定理的理解程度。计算题主 要考察考生对于量子力学的数学工具和计算方法的掌握程度，需要考生熟练运 用矩阵运算、波函数归一化等技巧。分析题则要求考生对于物理现象和理论模 型进行深入的思考和分析，需要考生具备较强的逻辑思维和推理能力。因此， 考生在备考过程中需要注重对于各种题型的训练和练习，以提高解题的准确性 和速度。 最后，针对华中科技大学量子力学考研题库，我给出以下备考建议。首先，要 系统学习量子力学的基本概念、原理和定理，建立起扎实的理论基础。其次， 要注重对于数学工具和计算方法的学习和掌握，熟练运用矩阵运算、波函数归

一化等技巧。同时，要注重对于物理现象和理论模型的深入理解和思考，培养逻辑思维和推理能力。此外，要多做题、多练习，熟悉各种题型的解题方法和技巧，提高解题的准确性和速度。最后，要注重总结和归纳，及时发现和弥补自己的不足，不断提高自己的学习和解题能力。 综上所述，华中科技大学量子力学考研题库具有题目难度较高、涵盖面广和题型分布均衡等特点。考生在备考过程中要全面掌握各个知识点，灵活运用所学知识解题。同时，要注重对于数学工具和计算方法的学习和掌握，培养逻辑思维和推理能力。通过多做题、多练习，提高解题的准确性和速度。最后，要注重总结和归纳，不断提高自己的学习和解题能力。相信只要认真备考，考生一定能够在华中科技大学的量子力学考研中取得好成绩。

2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题

⎨ ⎩ = , = 2021年硕士研究生入学考试《量子力学》模拟试题 报考专业： 理论物理、原子与分子物理、凝聚态物理 考试科目： 量子力学科目代码： 661 注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。 一、简答题（每小题 10 分，共 50 分） 1. 写出波粒二象性的德布罗意公式。 2. 什么样的状态是定态? 3. 全同费米子的波函数具有什么特点? 4. 简述坐标和动量的测不准关系的主要内容。 5. 为什么量子力学的力学量算符是厄密算符？ 二、证明题（每小题 10 分，共 20 分） 1. 证明 [L ˆx , L ˆy ] = i h L ˆz 。 2. 设算符a ˆ 具有性质a ˆ2 = 0, {a ˆ,a ˆ+} = 1, 定义算符 N ˆ ≡ a ˆ+a ˆ ，证明 N ˆ 2 =N ˆ 。 三、 计算题（每小题 20 分，共 80 分） 1. 一粒子在一维势场 ⎧∞, x < 0， U (x ) = ⎪0, 0 ≤ x ≤ a ⎪∞, x > a , 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。 2. 一维运动粒子的状态是 ⎧ Axe -λx , ψ (x ) = ⎨ x ≥ 0 ⎩ 0, x < 0 其中λ > 0 ，求 (1) 粒子动量的概率分布函数； (15 分) (2) 粒子动量的期望值。 (5 分) 3. 设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E 01 , E 02 。现在受到微扰 H ˆ ' 的作用，微扰矩阵元为 H 1'2 = H 2'1 = a , H 1'1 = H 2'2 = b , a , b 都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值。 4. 求电子自旋角动量算符 S ˆx h ⎛ 0 1 ⎫ 2 1 0 ⎪ S ˆy h ⎛ 0 2 i -i ⎫ 0 ⎪ 的本征值和所属的本征函数。 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 第- 1 -页，共- 1 -页

量子力学考研真题与量子力学考点总结

量子力学考研真题与量子力学考点总结 8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研] 【解题的思路】 直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。 【分析】 在势场V中，粒子所 受作用力为 因此作用力F的平均值为 得证。 【知识储备】 ①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。 ②

即 ③在某一表象下，算符F ∧ 在ψ态中的平均值为 29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数： （1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。 [中国科学院2007研] 【解题的思路】 对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。 【分析】 （1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为 本征能量为

对于两个可区分粒子 基态 能量 波函数 因此，能级简并度为4。第一激发态 或者 能量 波函数

因此，能级简并度为8。 （2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态 能量 波函数 能级非简并。 第一激发态 或者 能量

波函数 能级简并度为4。 【知识储备】 ①一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 ②全同粒子

曾量子力学题库(网用)

曾谨言量子力学题库 一简述题： 1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释黑体辐射能量密度随频率分布的 问题上的差别 2. （1）试给出原子的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以Å为单位） 3. （1）试用Einstein 光量子假说解释光电效应 4. （1）试简述Bohr 的量子理论 5. （1）简述波尔-索末菲的量子化条件 6. （1）试述de Broglie 物质波假设 7. （2）写出态的叠加原理 8. （2）一个体系的状态可以用不同的几率分布函数来表示吗？试举例说明。 9. （2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满足的条件 10.（2）已知粒子波函数在球坐标中为),,(ϕθψr ，写出粒子在球壳),(dr r r +中被测到的几率以及在 ),(ϕθ方向的立体角元ϕθθΩd d d sin =中找到粒子的几率。 11.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 12.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 13.（2）设ikr e r 1=ψ，试写成其几率密度和几率流密度 14.（2）试解释为何微观粒子的状态可以用归一化的波函数完全描述。 15.（3）简述和解释隧道效应 16.（3）说明一维方势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。 17.（4）试述量子力学中力学量与力学量算符之间的关系

18.（4）简述力学量算符的性质 19.（4）试述力学量完全集的概念 20.（4）试讨论：若两个厄米算符对易，是否在所有态下它们都同时具有确定值？ 21.（4）若算符A ˆ、B ˆ均与算符C ˆ对易，即0]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[==C B C A ，A ˆ、B ˆ、C ˆ是否可同时取得确定值？为什么？并举例说明。 22.（4）对于力学量A 与B ，写出二者在任何量子态下的涨落所满足的关系，并说明物理意义。 23.（4）微观粒子x 方向的动量x p ˆ和x 方向的角动量x L ˆ是否为可同时有确定值的力学量？为什么？ 24.（4）试写出态和力学量的表象变换的表达式 25.（4）简述幺正变换的性质 26.（4）在坐标表象中，给出坐标算符和动量算符的矩阵表示 27.（4）粒子处在222 1)(x x V μω=的一维谐振子势场中，试写出其坐标表象和动量表象的定态Schr ödinger 方程。 28.（4）使用狄拉克符号导出不含时间的薛定谔方程在动量表象中的形式。 29.（4）如果C B A ˆ,ˆ,ˆ均为厄米算符，下列算符是否也为厄米算符？ a) 3ˆ2 1A b) )ˆˆˆˆ(21A B B A - b) )ˆˆˆˆ(21A B i B A - 30.（5）试述守恒量完全集的概念 31.（5）全同粒子有何特点？对波函数有什么要求？ 32.（5）试述守恒量的概念及其性质 33.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？ 34.（5）电子在均匀电场),0,0(ε=E 中运动，哈密顿量为z e m p H ε-=2ˆˆ2。试判断z y x p p p ˆ,ˆ,ˆ各量中哪些是守恒量，并给出理由。 35.（5）自由粒子的动量和能量是否为守恒量？为什么？