2022年全国各省中考数学真题分类解析开放探索问题

（2022•大庆中考）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（）

A．4πB．8√2C．8πD．16√2

【解析】选B．如图，当点N在x轴的正半轴上时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）．

∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM，∴QT=1

2ON，QR=

1

2OM，

∴QT+QR=1

2（OM+ON）＝4，∴x+y＝4，

∴y＝﹣x+4，∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动，

∵直线y＝﹣x+y与坐标轴交于（0，4），（4，0），∴点Q运动路径的长=√42+42=4√2，

当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长=√42+42=4√2，

综上所述，点Q的运动路径的长为8√2.

（2022•自贡中考）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）．

（1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD；

（2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论；

（3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离．

【解析】（1）∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变，

∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

答案：CD，AD；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC，

∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD；

（3）如图，过点E作EG⊥BC于G，

∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点，

∴CH＝DH＝40cm，

在Rt△BHC中，BH=√BC2+CH2=√1600+900=50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG，

∴△BCH∽△BGE，∴BH

BE =CH

EG

，∴50

80

=40

EG

，∴EG＝64，

∴EF与BC之间的距离为64cm.

（2022•自贡中考）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下：

（1）探究原理

制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由．

（2）实地测量

如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（√3≈1.73，结果精确到0.1米）

（3）拓展探究

公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

【解析】（1）∵∠COG ＝90°，∠AON ＝90°，

∴∠POC +∠CON ＝∠GON +∠CON ，∴∠POC ＝∠GON ；

（2）由题意可得，

KH ＝OQ ＝5米，QH ＝OK ＝1.5米，∠PQO ＝90°，∠POQ ＝60°，

∵tan ∠POQ =PQ OQ ，∴tan60°=PQ

5，解得PQ ＝5√3，

∴PH ＝PQ +QH ＝5√3+1.5≈10.2（米），

即树高PH 为10.2米；

（3）由题意可得，

O 1O 2＝m ，O 1E ＝O 2F ＝DH ＝1.5米，

由图可得，tan β=PD O 2D ，tan α=PD O 1D ，∴O 2D =PD tanβ，O 1D =PD

tanα， ∵O 1O 2＝O 2D ﹣O 1D ，∴m =PD tanβ−PD tanα，∴PD =

mtanαtanβtanα−tanβ，

∴PH ＝PD +DH ＝（mtanαtanβtanα−tanβ+1.5）米.

（2022•泰安中考）问题探究

（1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线．

①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE；

②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由．

迁移运用

（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明．

【解析】（1）①证明：如图1中，

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，

∴点D，E分别是AC，AB的中点，

∴BE=1

2

AB=1

2

BC，CD=1

2

AC=1

2

BC，

∴BE+CD＝BC；

②解：结论成立．

理由：如图2中，设BD交CE于点O，在BC上取一点G，使得BG＝BE，连接OG．

∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB=1

2∠

ABC+

1

2∠

ACB＝60°，

∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BOE＝∠COD＝60°，

∵BE＝BG，∠EBO＝∠GBO，BO＝BO，

∴△EBO≌△GBO（SAS），

∴∠BOE＝∠BOG＝60°，

∴∠COD＝∠COG＝60°，

∵CO＝CO，∠DCO＝∠GCO，

∴△OCD≌△OCG（ASA），

∴CD＝CG，

∴BE+CD＝BG+CG＝BC；

（2）结论：AC＝AD+BC．

理由：如图3中，作点B关于AC的对称点E，连接AE，EC．

∵四边形ABCD是圆内接四边形，

∴∠DAB+∠BCD＝180°，

∵∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，

∴3∠BAC+3∠ACD＝180°，

∴∠BAC+∠ACD＝60°，

（2022•成都中考）如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB（n＞1），点E是AD边上一动点（点E不与A，D重合），连接BE，以BE为边在直线BE的右侧作矩形EBFG，使得矩形EBFG∽矩形ABCD，EG交直线CD于点H．【尝试初探】

（1）在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系，请说明理由．

【深入探究】

（2）若n＝2，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段CD中点时，求tan∠ABE的值．【拓展延伸】

（3）连接BH，FH，当△BFH是以FH为腰的等腰三角形时，求tan∠ABE的值（用含n的代数式表示）．

【解析】（1）∵四边形EBFG和四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠BEG＝∠D＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEH＝90°，

∴∠DEH＝∠ABE，

∴△ABE∽△DEH，

∴在点E的运动过程中，△ABE与△DEH始终保持相似关系；

（2）如图1，∵H是线段CD中点，

∴DH＝CH，

设DH＝x，AE＝a，则AB＝2x，AD＝4x，DE＝4x﹣a，

由（1）知：△ABE∽△DEH，

∴AE

DH =AB

DE ，即a x =2x 4x−a ，

∴2x 2＝4ax ﹣a 2，

∴2x 2﹣4ax +a 2＝0，

∴x =4a±√16a 2−4×2×a 24=2a±√2a 2

， ∵tan ∠ABE =AE AB =a 2x

， 当x =2a+√2a 2时，tan ∠ABE =a 2×2a+√2a 2

=2−√22， 当x =2a−√2a 2时，tan ∠ABE =a 2×2a−√2a 2=2+√22；

综上，tan ∠ABE 的值是

2±√22

． （3）分两种情况：

①如图2，BH ＝FH ，

设AB ＝x ，AE ＝a ，

∵四边形BEGF 是矩形，

∴∠AEG ＝∠G ＝90°，BE ＝FG ，

∴Rt △BEH ≌Rt △FGH （HL ），

∴EH ＝GH ，

∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，

∴

AD AB =EG BE =n ， ∴

2EH BE =n ， ∴EH

BE =n 2，

由（1）知：△ABE ∽△DEH ，

∴

DE AB =EH BE =n 2， ∴nx−a x =n

2，

∴nx ＝2a ，

∴a x =n 2，

∴tan ∠ABE =

AE AB =a x =n 2； ②如图3，BF ＝FH ，

∵矩形EBFG ∽矩形ABCD ，

∴∠ABC ＝∠EBF ＝90°，

AB BC =BE BF ， ∴∠ABE ＝∠CBF ，

∴△ABE ∽△CBF ，

∴∠BCF ＝∠A ＝90°，

∴D ，C ，F 共线，

∵BF ＝FH ，

∴∠FBH ＝∠FHB ，

∵EG ∥BF ，

∴∠FBH ＝∠EHB ，

∴∠EHB ＝∠CHB ，

∵BE ⊥EH ，BC ⊥CH ，

∴BE ＝BC ，

由①可知：AB ＝x ，AE ＝a ，BE ＝BC ＝nx ，

由勾股定理得：AB 2+AE 2＝BE 2，

∴x 2+a 2＝（nx ）2，

∴x =a √n 2−1（负值舍），

∴tan ∠ABE =AE AB =a x

=√n 2−1， 综上，tan ∠ABE 的值是n

2或√n 2−1．

按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：

【初步探究】

（1）如图2，当ED∥BC时，则α＝45°；

（2）如图3，当点E，F重合时，请直接写出AF，BF，CF之间的数量关系：BF＝AF+√2CF；

【深入探究】

（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．

【拓展延伸】

（4）如图5，在△ABC与△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，若BC＝mAC，CD＝mCE（m为常数）．保持△ABC不动，将△CDE绕点C按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），连接AE，BD，延长BD交AE于点F，连接CF，如图6．试探究AF，BF，CF之间的数量关系，并说明理由．

【解析】（1）∵△CED是等腰直角三角形，

∴∠CDE＝45°，

∵ED∥BC，

∴∠BCD＝∠CDE＝45°，即α＝45°，

答案：45°；

（2）BF＝AF+√2CF，理由如下：

如图3，

∵△ABC和△CDE是等腰直角三角形，

∴∠DCE＝∠ACB，AC＝BC，CD＝CE，DF=√2CF，

∴∠ACE＝∠BCD，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AF＝BD，

∵BF＝DF+BD，

∴BF＝AF+√2CF；

答案：BF＝AF+√2CF；

（3）如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论仍然成立，理由如下：

由（2）知，△ACE≌△BCD（SAS），

∴∠CAF＝∠CBD，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，

∵∠ACF+∠ACG＝90°，∠ACG+∠GCB＝90°，

∴∠ACF＝∠BCG，

∵∠CAF＝∠CBG，BC＝AC，

∴△BCG≌△ACF（ASA），

∴GC＝FC，BG＝AF，

∴△GCF为等腰直角三角形，

∴GF=√2CF，

∴BF＝BG+GF＝AF+√2CF；

（4）BF＝mAF+√1+m2•FC．理由如下：

由（2）知，∠ACE＝∠BCD，

而BC＝mAC，CD＝mEC，

即BC

AC

=

CD

EC

=m，

∴△BCD∽△ACE，

∴∠CBD＝∠CAE，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，如图6所示：

（2022•湖州中考）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，a，b分别表示∠A，∠B的对边，a＞b．记△ABC的面积为S．

（1）如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGFC．记正方形ACDE的面积为S1，正方形BGFC的面积为S2．

①若S1＝9，S2＝16，求S的值；

②延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH⊥AB（如图2所示），求证：S2﹣S1＝2S．

（2）如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为S1，等边三角形CBE的面积为S2．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF⊥CF，试探索S2﹣S1与S之间的等量关系，并说明理由．

【解析】（1）①解：∵S1＝9，S2＝16，

∴b＝3，a＝4，

∵∠ACB＝90°，

∴S=1

2

ab=1

2

×3×4=6；

②证明：由题意得：∠F AN＝∠ANB＝90°，∴∠F AH+∠NAB＝90°，

∵FH⊥AB，

∴∠F AH+∠AFN＝90°，

∴∠AFN＝∠NAB，

∴△AFN∽△NAB，

∴FN

AN

=

AN

NB

，即

b+a

a

=

a

b

，

∴ab+b2＝a2，

DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF

AB 的值（用含n 的式子表示）．

【解析】（1）如图，取AB 的中点G ，连接DG ，

∵点D 是AC 的中点，∴DG 是△ABC 的中位线，∴DG ∥BC ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形， ∵点D 是AC 的中点，∴∠DBC ＝30°， ∵BD ＝CD ，∴∠E ＝∠DBC ＝30°，∴DF ⊥AB ，

∵∠AGD ＝∠ADG ＝60°，∴△ADG 是等边三角形，∴AF =1

2AG ， ∵AG =1

2AB ，∴AF =1

4AB ，∴AF

AB =1

4； （2）取BC 的中点H ，连接DH ，

∵点D 为AC 的中点，∴DH ∥AB ，DH =1

2AB ，

∵AB ＝AC ，∴DH ＝DC ，∴∠DHC ＝∠DCH ， ∵BD ＝DE ，∴∠DBH ＝∠DEC ，∴∠BDH ＝∠EDC ， ∴△DBH ≌△DEC （ASA ），∴BH ＝EC ，∴EB EH

=3

2

，

∵DH ∥AB ，∴△EDH ∽△EFB ， ∴

FB DH

=

EB EH

=32

，∴

FB

AB

=34

，∴

AF

AB

=1

4

；

问题拓展

取BC 的中点H ，连接DH ，

由（2）同理可证明△DGH ≌△DEC （ASA ）， ∴GH ＝CE ，∴HE ＝CG ，

∵CG

BC =1

n ，∴HE

BC =1

n ，∴HE

BH =2

n ，∴HE

BE =2

n+2， ∵DH ∥BF ，∴△EDH ∽△EFB ，∴

HE BE

=

DH BF

=

2

n+2

，

（2022•随州中考）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①：（a+b+c）d＝ad+bd+cd

公式②：（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd

公式③：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2

公式④：（a+b）2＝a2+2ab+b2

图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥AD于点H，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F．记△BFG与△CEG的面积之和为S1，△ABD与△AEH的面积之和为S2．

的值为 2 ；

①若E为边AC的中点，则S1

S2

②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

【解析】（1）观察图象可得：

图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；

答案：①，②，④，③；

（2）证明：

如图：

由图可知，矩形BCEF 和矩形EGHL 都是正方形，

∵AK ＝BM ＝BF ﹣MF ＝a ﹣b ，BD ＝BC ﹣CD ＝a ﹣b ，∴S 矩形AKLC ＝AK •AC ＝a （a ﹣b ）＝BF •BD ＝S 矩形DBFG ， ∴S 正方形BCEF ＝a 2

＝S 矩形CDHL +S 矩形DBFG +S 正方形EGHL ＝S 矩形CDHL +S 矩形AKLC +b 2

，∴a 2

＝S 矩形AKHD +b 2

，

∵S 矩形AKHD ＝AK •AD ＝（a ﹣b ）（a +b ），∴a 2

＝（a ﹣b ）（a +b ）+b 2

，∴（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2

﹣b 2

； （3）①设BD ＝m ，

由已知可得△ABD 、△AEH 、△CEG 、△BFG 是等腰直角三角形，四边形DGEH 是矩形， ∴AD ＝BD ＝CD ＝m ，

∵E 是AC 中点，∴HE ＝DG =1

2m ＝AH ， ∴CG ＝CD ﹣DG =1

2

m ，BG ＝FG ＝BD +DG =3

2

m ，

∴S 1＝S △BFG +S △CEG =12

×32

m ×32

m +12

×12

m ×12

m =5

4

m 2

，S 2＝S △ABD +S △AEH =1

2

m 2

+12

×12

m ×12

m =5

8

m 2

，

∴S

1S 2

=2；

答案：2；

②E 不为边AC 的中点时①中的结论仍成立，证明如下： 设BD ＝a ，DG ＝b ，

由已知可得△ABD 、△AEH 、△CEG 、△BFG 是等腰直角三角形，四边形DGEH 是矩形， ∴AD ＝BD ＝CD ＝a ，AH ＝HE ＝DG ＝b ，EG ＝CG ＝a ﹣b ，FG ＝BG ＝a +b ，

∴S 1＝S △BFG +S △CEG =12×（a +b ）2

+12×（a ﹣b ）2

＝a 2

+b 2

，S 2＝S △ABD +S △AEH =12a 2

+12×b 2

=1

2（a 2

+b 2

），

∴S

1S 2

=2.

【解析】（1）在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝3，∠A ＝30°，∴AB =√3BC ＝3√3， 在Rt △BDE 中，∠BDE ＝30°，BE ＝2，∴BD =√3BE ＝2√3， ∴EC ＝1，AD =√3，∴AD

EC =√3，此时AD ⊥EC ， 答案：√3，垂直； （2）结论成立．

理由：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°，∴∠ABD ＝∠CBE ， ∵AB =√3BC ，BD =√3BE ，∴

AC BC

=

DB EB

，

∴△ABD ∽△CBE ，∴AD

EC =AB

BC =√3，∠ADB ＝∠BEC ，

∵∠ADB +∠CDB ＝180°，∴∠CDB +∠BEC ＝180°，∴∠DBE +∠DCE ＝180°， ∵∠DBE ＝90°，∴∠DCE ＝90°，∴AD ⊥EC ；

（3）如图3中，过点B 作BJ ⊥AC 于点J ，设BD 交AK 于点K ，过点K 作KT ⊥AC 于点K ．

∵∠AJB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠ABJ ＝60°，∴∠KBJ ＝60°﹣α． ∵AB ＝3√3，∴BJ =1

2AB =

3√3

2

，AJ =√3BJ =9

2，

当DF ＝BE 时，四边形BEFD 是矩形，

∴∠ADB ＝90°，AD =√AB 2−BD 2=√(3√3)2−(2√3)2=√15， 设KT ＝m ，则AT =√3m ，AK ＝2m ，

∵∠KTB ＝∠ADB ＝90°，∴tan α=KT

BT =AD

BD ， ∴m

BT =√15

2√

3，∴BT =

2√55m ，∴√3m +2√55m ＝3√3，∴m =45−6√15

11

， ∴AK ＝2m =

90−12√1511，∴KJ ＝AJ ﹣AK =92−90−12√1511

=

24√15−8122，∴tan （60°﹣α）=KJ

BJ

=

8√5−9√3

11

.

①若DE ＝1，BD =3

2，求BC 的长； ②试探究

AB AD

−

BE DE

是否为定值．如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

（2）如图2，∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的2个外角，∠BCF ＝2∠CBG ，CD 平分∠BCF ，交AB 的延长线于点D ，DE ∥AC ，交CB 的延长线于点E ．记△ACD 的面积为S 1，△CDE 的面积为S 2，△BDE 的面积为S 3．若S 1•S 3=9

16S 22

，求cos ∠CBD 的值．

【解析】（1）①∵CD 平分∠ACB ， ∴∠ACD ＝∠DCB =1

2

∠ACB ，

∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠ACD ＝∠DCB ＝∠B ，∴CD ＝BD =3

2， ∵DE ∥AC ，∴∠ACD ＝∠EDC ，∴∠EDC ＝∠DCB ＝∠B ， ∴CE ＝DE ＝1， ∴△CED ∽△CDB ， ∴

CE CD

=

CD CB

，∴1

32

=

32

CB

，∴BC =94

；

②∵DE ∥AC ，∴

AB

AD

=

BC CE

， 同①可得，CE ＝DE ，∴AB

AD

=

BC DE

，

∴AB AD −BE DE =

BC DE

−

BE DE

=

CE DE

=1，

∴

AB AD

−

BE DE

是定值，定值为1；

（2）∵DE ∥AC ，∴S 1S 2

=

AC DE

=

BC BE

，

∵

S 3S 2

=

BE CE

，∴

S 1⋅S 3S 22

=

BC CE

，

又∵S 1•S 3=916S 22

，∴BC CE =916

，

设BC ＝9x ，则CE ＝6x ， ∵CD 平分∠BCF ，

∴∠ECD ＝∠FCD =1

2∠BCF ，

∵∠BCF ＝2∠CBG ，∴∠ECD ＝∠FCD ＝∠CBD ，∴BD ＝CD ，

∵DE∥AC，∴∠EDC＝∠FCD，∴∠EDC＝∠CBD＝∠ECD，∴CE＝DE，

∵∠DCB＝∠ECD，∴△CDB∽△CED，

∴CD

CE

=

CB

CD

，∴CD2＝CB•CE＝114x2，∴CD＝12x，

过点D作DH⊥BC于点H，

∵BD＝CD＝12x，∴BH=1

2BC=

9

2x，

∴cos∠CBD=BH

BD

=

9

2

x

12x

=38

【拓展应用】

如图3，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝90°，∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE ⊥BF ．求

CE BF

的值．

【解析】（1）结论：

EG FH

=1．

理由：如图1中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，

∴AM ＝HF ，AN ＝BC ，

在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°， ∵EG ⊥FH ， ∴∠NAM ＝90°， ∴∠BAM ＝∠DAN ，

在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN ， ∴△ABM ≌△ADN （ASA ）， ∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ， ∴

EG FH

=1；

（2）如图2中，过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，

∴AM ＝HF ，AN ＝EC ，

在长方形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°， ∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ． ∴△ABM ∽△ADN ．∴

AM AN

=

AB AD

，

∵AB ＝m ，BC ＝AD ＝n ，∴EG

FH

=

m n

．

答案：m

n ；

（3）如图3中，过点C 作CM ⊥AB 于点M ．设CE 交BF 于点O ．

∵CM ⊥AB ，∴∠CME ＝90°，∴∠1+∠2＝90°， ∵CE ⊥BF ，∴∠BOE ＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3，∴△CME ∽△BAF ，∴CE BF =

CM AB

，

∵AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，∴

CE BF

=

CM

BC

=sin60°=

√3

2

（2022•嘉兴中考）小东在做九上课本123页习题：“1：√2也是一个很有趣的比．已知线段AB （如图1），用直

尺和圆规作AB 上的一点P ，使AP ：AB ＝1：√2．”小东的作法是：如图2，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，再以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，交线段AB 于点P ，点P 即为所求作的点．小东称点P 为线段AB 的“趣点”． （1）你赞同他的作法吗？请说明理由．

（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP ，点D 为线段AC 上的动点，点E 在AB 的上方，构造△

DPE ，使得△DPE ∽△CPB ．

①如图3，当点D 运动到点A 时，求∠CPE 的度数．

②如图4，DE 分别交CP ，CB 于点M ，N ，当点D 为线段AC 的“趣点”时（CD ＜AD ），猜想：点N 是否为线段ME 的“趣点”？并说明理由．

【解析】（1）赞同，理由如下： ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC ＝BC ，∠A ＝∠B ＝45°， ∴cos45°=AC

AB =√2

2=1

√2，

∵AC ＝AP ， ∴

AP AB

=

1

√2

，

∴点P 为线段AB 的“趣点”．

2022年中考数学真题分类汇编：阅读材料题(含答案)

2021-2022年中考数学真题分类汇编 阅读材料题 1.(2022·湖南省)阅读下列材料： 在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：a sinA =b sinB ． 证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则： 在Rt△BCD中，CD=asinB 在Rt△ACD中，CD=bsinA ∴asinB=bsinA ∴ a sinA = b sinB 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：b sinB =c sinC ； (2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划 中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．(结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，sin67°≈0.9) 2.(2022·贵州省黔东南苗族侗族自治州)阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老 师给他这样一个几何问题： 如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点A在DE上． 求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】(1)小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DC=AE，∠ADC=120°，从而得出△ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形． 请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】(2)如图2，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上． ①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．

②若AE2+AG2=10，试求出正方形ABCD的面积． 3.(2022·湖南省株洲市)已知二次函数y=ax2+bx+c(a>0)． (1)若a=1，b=3，且该二次函数的图象过点(1,1)，求c的值； (2)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两 点A(x1,0)、B(x2,0)，其中x1<0|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于 点P，且满足tan∠ABE=3 4 ． ①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式的值； ②若NP=2BP，令T=1 a2+16 5 c，求T的最小值． 阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦⋅韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2=−b a ，x1x2=c a ”.此关系通常被称为 “韦达定理”．

2022年全国各省中考数学真题分类解析矩形

（2022•舟山中考）如图，在Rt △ABC 和Rt △BDE 中，∠ABC ＝∠BDE ＝90°，点A 在边DE 的中点上，若AB ＝BC ， DB ＝DE ＝2，连结CE ，则CE 的长为（ ） A ．√14 B ．√15 C ．4 D ．√17 【解析】选D ．作EF ⊥CB 交CB 的延长线于点F ，作EG ⊥BA 交BA 的延长线于点G ， ∵DB ＝DE ＝2，∠BDE ＝90°，点A 是DE 的中点， ∴BE =√BD 2+DE 2=√22+22=2√2，DA ＝EA ＝1， ∴AB =√BD 2+AD 2=√22+12=√5， ∵AB ＝BC ，∴BC =√5， ∵ AE⋅BD 2 = AB⋅EG 2 ，∴ 1×22 = √5⋅EG 2 ，解得EG =2√55 ， ∵EG ⊥BG ，EF ⊥BF ，∠ABF ＝90°， ∴四边形EFBG 是矩形，∴EG ＝BF =2√55 ， ∵BE ＝2√2，BF = 2√5 5 ， ∴EF =√BE 2−BF 2=√(2√2)2−(2√55)2=6√55，CF ＝BF +BC = 2√55 +√5= 7√5 5 ， ∵∠EFC ＝90°， ∴EC =√EF 2+CF 2=√(6√55)2+(7√55 )2=√17. （2022·安徽中考）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（ ） A ．α﹣90° B ．α﹣45° C ．180°﹣α D ．270°﹣α 【解析】选C ．由图可得， ∠1＝90°+∠3， ∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°， ∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α.

2022年全国各省中考数学真题分类解析相似

（2022•云南中考）如图，在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设△ABC的面积为S1，△EBD的面积 为S2，则S2 S1 =（） A．1 2B．1 4 C．3 4 D．7 8 【解析】选B．在△ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点， ∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AC，DE=1 2 AC，∴△BED∽△BAC， ∵ED AC =1 2 ，∴ S△BED S△BAC =1 4 ，即 S2 S1 =1 4 . （2022•金华中考）如图是一张矩形纸片ABCD，点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B 的对应点分别为A′，B′，A′E与BC相交于点G，B′A′的延长线过点C．若BF GC =2 3 ，则AD AB 的值为（） A．2√2B．4√10 5C．20 7 D．8 3 【解析】选A．连接FG，CA′，过点G作GT⊥AD于点T．设AB＝x，AD＝y．

（2022•丽水中考）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C 都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（） A．2 3B．1 C．3 2 D．2 【解析】选C．过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E， 则AB BC =AD DE ，即3 BC =2，解得：BC=3 2 . （2022•绍兴中考）将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD，其中∠A ＝90°，AB＝9，BC＝7，CD＝6，AD＝2，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（） A．25 2B．45 4 C．10 D．35 4 【解析】选A．如右图1所示，

2022年全国各省中考数学真题分类解析开放探索问题

（2022•大庆中考）平面直角坐标系中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为（） A．4πB．8√2C．8πD．16√2 【解析】选B．如图，当点N在x轴的正半轴上时，过点Q作QR⊥ON于点R，QT⊥OM于点T．设Q（x，y）． ∵QM＝QN，QT∥ON，QR∥OM，∴QT=1 2ON，QR= 1 2OM， ∴QT+QR=1 2（OM+ON）＝4，∴x+y＝4， ∴y＝﹣x+4，∴点Q在直线y＝﹣x+4上运动， ∵直线y＝﹣x+y与坐标轴交于（0，4），（4，0），∴点Q运动路径的长=√42+42=4√2， 当点N在x轴的负半轴上时，同法可得点Q运动路径的长=√42+42=4√2， 综上所述，点Q的运动路径的长为8√2. （2022•自贡中考）如图，用四根木条钉成矩形框ABCD，把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）． （1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段EB由AB旋转得到，所以EB＝AB．我们还可以得到FC＝CD，EF＝AD； （2）进一步观察，我们还会发现EF∥AD，请证明这一结论； （3）已知BC＝30cm，DC＝80cm，若BE恰好经过原矩形DC边的中点H，求EF与BC之间的距离． 【解析】（1）∵把边BC固定在地面上，向右边推动矩形框，矩形的形状会发生改变， ∴矩形ABCD的各边的长度没有改变，∴AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，

答案：CD，AD； （2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，∵AB＝BE，EF＝AD，CF＝CD，∴BE＝CF，EF＝BC， ∴四边形BEFC是平行四边形，∴EF∥BC，∴EF∥AD； （3）如图，过点E作EG⊥BC于G， ∵DC＝AB＝BE＝80cm，点H是CD的中点， ∴CH＝DH＝40cm， 在Rt△BHC中，BH=√BC2+CH2=√1600+900=50（cm），∵EG⊥BC，∴CH∥EG， ∴△BCH∽△BGE，∴BH BE =CH EG ，∴50 80 =40 EG ，∴EG＝64， ∴EF与BC之间的距离为64cm. （2022•自贡中考）某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下： （1）探究原理 制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G．测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①），绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②），此时目标P的仰角∠POC＝∠GON．请说明这两个角相等的理由． （2）实地测量 如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P的仰角∠POQ＝60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH．（√3≈1.73，结果精确到0.1米） （3）拓展探究 公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④），同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E、F（E、F、H在同一直线上），分别测得点P的仰角α、β，再测得E、F间的距离m，点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH（用α、β、m表示）．

2022年全国各省中考数学真题分类解析三角形的边角关系

（2022•遂宁中考）如图，D、E、F分别是△ABC三边上的点，其中BC＝8，BC边上的高为6，且DE∥BC，则△DEF面积的最大值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 【解析】选A.如图，过点A作AM⊥BC于M，交DE于点N，则AN⊥DE， 设AN＝a， ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC，∴DE BC =AN AM ，∴DE 8 =a 6 ，∴DE=4 3 a， ∴S△DEF=1 2 ×DE×MN =1 2×4 3 a•（6﹣a） =−2 3 a2+4a =−2 3 （a﹣3）2+6， ∴当a＝3时，S有最大值，最大值为6．

（2022•杭州中考）如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（） A．10°B．20°C．30°D．40° 【解析】选C．∵∠AEC为△CED的外角，且∠C＝20°，∠AEC＝50°， ∴∠AEC＝∠C+∠D，即50°＝20°+∠D，∴∠D＝30°， ∵AB∥CD，∴∠A＝∠D＝30°. （2022•杭州中考）如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 【解析】选B．A、线段CD是△ABC的AB边上的高线，故本选项说法错误，不符合题意； B、线段CD是△ABC的AB边上的高线，本选项说法正确，符合题意； C、线段AD不是△ABC的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意； D、线段AD不是△ABC的边上高线，故本选项说法错误，不符合题意

2022年全国各省中考数学真题分类解析菱形

（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD中，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（） A．√3B．2√3C．3√3D．4√3 【解析】选B．在菱形ABCD中，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形， 设AB＝a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，∴S△ABD=√3 4 a2＝3√3，解得：a＝2√3. （2022•自贡中考）如图，菱形ABCD对角线交点与坐标原点O重合，点A（﹣2，5），则点C的坐标是（） A．（5，﹣2）B．（2，﹣5）C．（2，5）D．（﹣2，﹣5） 【解析】选B.∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，即点A与点C关于原点对称， ∵点A（﹣2，5），∴点C的坐标是（2，﹣5）. （2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E，下列结论不一定正确的是（） A．OB=1 2 CE B．△ACE是直角三角形 C．BC=1 2 AE D．BE＝CE 【解析】选D．∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO=1 2， AC⊥BD， ∵CE∥BD， ∴△AOB∽△ACE， ∴∠AOB＝∠ACE＝90°，AO AC = OB CE = AB AE = 1 2 ， ∴△ACE是直角三角形，OB=1 2 CE，AB=1 2 AE，

（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形 ABCD 的周长为（ ） A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 【解析】选C ．∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ， ∴△COD 为直角三角形． ∵OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，∴CD ＝2OE ＝6．∴C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24． （2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E 是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ） A ．3 B ．5 C ．2√2 D ．3 2√3 【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '， ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），∴OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°， ∴△BCD 是等边三角形，∴DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3． （2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ： CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．4 5√7 【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，

2022年全国各省中考数学真题分类解析多边形的内(外)角和

（2022•临沂中考）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（） A．900°B．720°C．540°D．360° 【解析】选C．（5﹣2）×180°＝540°. （2022•武威中考）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为（） A．2mm B．2√2mm C．2√3mm D．4mm 【解析】选D．连接AD，CF，AD、CF交于点O，如右图所示， ∵六边形ABCDEF是正六边形，AD的长约为8mm， ∴∠AOF＝60°，OA＝OD＝OF，OA和OD约为4mm， ∴AF约为4mm. （2022•南充中考）如图，在正五边形ABCDE中，以AB为边向内作正△ABF，则下列结论错误的是（） A．AE＝AF B．∠EAF＝∠CBF C．∠F＝∠EAF D．∠C＝∠E 【解析】选C．在正五边形ABCDE中内角和：180°×3＝540°， ∴∠C＝∠D＝∠E＝∠EAB＝∠ABC＝540°÷5＝108°，∴D不符合题意； ∵以AB为边向内作正△ABF，

（2022•河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，则正确的是（） A．α﹣β＝0 B．α﹣β＜0 C．α﹣β＞0 D．无法比较α与β的大小 【解析】选A．∵任意多边形的外角和为360°，∴α＝β＝360°．∴α﹣β＝0． （2022•遂宁中考）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为 4 ． 【解析】设AF＝x，则AB＝x，AH＝6﹣x， ∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝120°， ∴∠HAF＝60°，∴∠AHF＝90°， ∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH， ∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4， 即正六边形ABCDEF的边长为4. 答案：4

2022年中考数学试卷精选汇编 探索性问题(含解析)

探索性问题 一、选择题 1．（2016四川省凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（） A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角 C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角 【答案】D． 考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型． 2．（2016四川省攀枝花市）下列说法中正确的是（） A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件 B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件 C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上 D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查 【答案】C． 【解析】 试题分析：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；． 选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；． 选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；． 选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；． 故选C． 考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．随机事件；4．探究型． 3．（2016山东省临沂市）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形

中小正方形的个数是（ ） A ．2n +1 B ．2 1n - C ．2 2n n + D ．5n ﹣2 【答案】C ． 考点：规律型：图形的变化类． 4．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（ ） A ．21y n =+ B ．2n y n =+ C ．1 2n y n +=+ D ．21n y n =++ 【答案】B ．

考点：规律型：数字的变化类． 二、填空题 5．（2016北京市）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为． 【答案】505． 【解析】 试题分析：1～100的总和为：（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505． 考点：规律型：数字的变化类． 6．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P．（如图1） 求作：直线l的垂线，使它经过点P． 作法：如图2 （1）在直线l上任取两点A，B； （2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；

2022年中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析)

2022年中考数学备考专题复习探索规律问题(含解析) 2022 探索规律问题 一、单选题（共7题；共14分） 1、（2022重庆）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（） A、64 B、77 C、80 D、85 2、（2022重庆）观察下列一组图形，其中图形①中共有2颗星，图形②中共有6颗星，图形③中共有11颗星，图形④中共有17颗星，…，按此规律，图形⑧中星星的颗数是（） A、43 B、45 C、51 D、53 3、（2022邵阳）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（） A、y=2n+1

B、y=2n+n C、y=2n+1+n D、y=2n+n+14、（2022临沂）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（） A、2n+1 B、n2﹣1 C、n2+2n D、5n﹣2 5、（2022荆州）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2022个白色纸片，则n的值为（） A、671 B、672 C、673 D、674 6、（2022永州）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例： 根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log216=4，②log525=5， ③log2=﹣1．其中正确的是（） A、①② B、①③

C、②③ D、①②③ 7、（2022青海）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边 向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此 2022 规律继续下去，则S9的值为（） A、（）6 B、（）7 C、（ ）6 D、（ ）7 二、填空题（共14题；共15分） 8、（2022宁波）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，…，按此规律，图案 ⑦需________根火柴棒． 9、（2022济宁）按一定规律排列的一列数： ，1，1，□， ， ，

2022年中考数学专题复习：开放探究题

2022年中考数学专题复习：开放探究题 1．点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上一动点（不与点B 重合），在矩形ABCD 外作Rt△ECF 其中△ECF ＝90°，过点F 作FG △BC 交BC 的延长线于点G ，连接 DF 交CG 于点H ． (1)发现 如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是______ (2)探究 如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展 在（2）的基础上，若FC 的延长线经过AD 的三等分点，且AD ＝3，AB ＝4，请直接写出线段EF 的值 2．如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、 AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α． (1)问题发现

△当0α=︒时，AE BD =________；△当180α=︒时，AE BD =______． (2)拓展探究 试判断：当0360α︒≤<︒时，AE BD 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决 CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的 长________． 3．如图1，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CA ＝CB ，点D 为AB 边上一动点，连接CD ，并将CD 绕点C 逆时针旋转90°得到CE ，连接BE 、DE ，点F 为DE 中点，连接BF ． （1）求证：△ACD ≅△BCE ； （2）如图2所示，在点D 的运动过程中，当AD n BD =时（n ＞1），分别延长AC 、BF 相交于G ： △当32 n =时，求CG 与AB 的数量关系； △当 AD BD ＝n 时（n ＞1），AB CG ＝ ． （3）当点D 运动时，在线段CD 上存在一点M ，使得AM +BM +CM 的值最小，若CM ＝2，则BE ＝ ． 4．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，△ABC ＝30°，点D ，E 分别在边AB ，

专题09 -2022年全国各省市中考数学二次函数真题分项汇编(原卷版)

专题09 二次函数 一．选择题 1．（2022·陕西）已知二次函数223y x x =--的自变量123,,x x x 对应的函数值分别为1y ，2y ，3y ．当110x -<<，212x <<，33x 时，1y ，2y ，3y 三者之间的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．231y y y << C ．312y y y << D ．213y y y << 2．（2022·山东潍坊）抛物线y =x 2+x +c 与x 轴只有一个公共点，则c 的值为（ ） A ．14- B ．14 C ．4- D ．4 3．（2022·湖南郴州）关于二次函数()215y x =-+，下列说法正确的是（ ） A ．函数图象的开口向下 B ．函数图象的顶点坐标是()1,5- C ．该函数有最大值，是大值是5 D ．当1x >时，y 随x 的增大而增大 4．（2022·山东青岛）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，对称轴为直线1x =-，且经过点(30)-， ，则下列结论正确的是（ ） A ．0b > B ．0c < C ．0a b c ++> D ．30a c += 5．（2022·黑龙江哈尔滨）抛物线22(9)3y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．(9,3)- B ．(9,3)-- C ．(9,3) D ．(9,3)- 6．（2022·浙江湖州）把抛物线y=x 2向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是( ) A ．y=2x -3 B ．y=2x +3 C ．y=2(3)x + D ．y=2(3)x - 7．（2022·湖北武汉）二次函数()2y x m n =++的图象如图所示，则一次函数y mx n =+的图象经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 8．（2022·广西玉林）小嘉说：将二次函数2y x 的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度

2022年浙江各地中考数学真题按知识点分类汇编专题14 圆(解析版)

专题14圆 一、单选题 1．（2022·宁波）已知圆锥的底面半径为4cm ，母线长为6cm ，则圆锥的侧面积为（ ） A ．236πcm B ．224πcm C ．216πcm D ．212πcm 【答案】B 【解析】 4624S rl πππ==⋅⋅=侧2cm ， 故选B ． 2．（2022·温州）如图，,AB AC 是O 的两条弦，⊥OD AB 于点D ，OE AC ⊥于点E ，连结OB ，OC ．若130DOE ∠=︒， 则BOC ∠的度数为（ ） A ．95︒ B ．100︒ C ．105︒ D ．130︒ 【答案】B 【解析】 解：∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴∠ADO =90°，∠AEO =90°， ∵∠DOE =130°， ∴∠BAC =360°-90°-90°-130°=50°， ∴∠BOC =2∠BAC =100°， 故选：B ． 3．（2022·丽水）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如 图．已知矩形的宽为2m ，高为，则改建后门洞的圆弧长是（ ） A ．5πm 3 B ．8πm 3 C ．10πm 3 D ．5π+2m 3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】C 【解析】 如图，连接AD ，BC ，交于O 点，

∵90BDC ∠=︒ ， ∴BC 是直径， ∴ 4BC ===， ∵四边形ABDC 是矩形， ∴122 OC OD BC == =， ∵2CD =， ∴OC OD CD ==， ∴COD ∆是等边三角形， ∴60COD ∠=︒， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为36060300︒-︒=︒ ， ∴改建后门洞的圆弧长是11300300410221801803 BC πππ︒⨯︒⨯⨯==︒︒(m)， 故选：C 4．（2022·杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P (0，2)，点A (4，2)．以点P 为旋转中心，把点A 按逆时针 方向旋转60°，得点B ． 在1M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝ ⎭，() 21M -，()31,4M ，4112,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭四个点中，直线PB 经过的点是（ ） A ．1M B ．2M C ．3M D ．4M 【答案】B 【解析】 解：∵点A （4，2），点P （0，2）， ∴P A ⊥y 轴，P A =4， 由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，

2022年全国中考数学真题(江苏河南广东四川等)汇编专题05 一次方程(组)与一元二次方程(解析版)

专题05 一次方程（组）与一元二次方程 一．选择题 1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则2 12x x ⋅的值为（ ） A ．3或9- B ．3-或9 C ．3或6- D ．3-或6 【答案】A 【分析】结合根与系数的关系以及解出方程2230x x --=进行分类讨论即可得出答案． 【详解】解：∵2230x x --=， ∵123 31 x x -⋅= =-， ()()130x x +-=,则两根为：3或-1， 当23x =时，2122 12239x x x x x x ==--⋅=， 当21x =-时，2 121222· ·33x x x x x x ⋅==-=，故选：A ． 【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键． 2．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（ ） A ．8 B ．10 C ．7 D ．9 【答案】B 【分析】设有x 支队伍，根据题意，得1 (1)452x x -=，解方程即可． 【详解】设有x 支队伍，根据题意，得1(1)452 x x -=， 解方程，得x 1=10，x 2=-9（舍去），故选B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 3．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2 ＝2c ，则c 的值为（ ） A ．﹣3 B ．0 C ．3 D ．9 【答案】C 【分析】先移项把方程化为26,x x c 再配方可得2 3 9,x c 结合已知条件构建关于c 的一元一次方程， 从而可得答案． 【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c

2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题及答案解析

2022年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1.实数−2022的倒数是( ) A. 2022 B. −2022 C. 1 2022D. −1 2022 2.下面四个交通标志中，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是( ) A. ab2÷ab=b B. (a−b)2=a2−b2 C. 2m4+3m4=5m8 D. (−2a)3=−6a3 4.数据1，2，3，4，5，x存在唯一众数，且该组数据的平均数等于众数，则x的值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图、左视图和俯 视图都是如图所示的“田”字形，则搭成该几何体的小正方体的 个数最少为( ) A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 6.在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是( ) A. 1 10B. 1 5 C. 3 10 D. 2 5 7.如图所示，直线a//b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC=BC，∠C=120°，∠1= 43°，则∠2的度数为( )

A. 57° B. 63° C. 67° D. 73° 8.如图①所示(图中各角均为直角)，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿 A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x(秒)之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是( ) A. AF=5 B. AB=4 C. DE=3 D. EF=8 9.端午节前夕，某食品加工厂准备将生产的粽子装入A、B两种食品盒中，A种食品盒 每盒装8个粽子，B种食品盒每盒装10个粽子，若现将200个粽子分别装入A、B两种食品盒中(两种食品盒均要使用并且装满)，则不同的分装方式有( ) A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与y轴的交点在(0,1)与(0,2)之间， 对称轴为x=−1，函数最大值为4，结合图象给出下列结论：①b=2a；②−3< a<−2；③4ac−b2<0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+a=m−4(a≠ 0)有两个不相等的实数根，则m>4；⑤当x<0时，y随x的增大而减小．其中正 确的结论有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

2022年三年全国各地中考数学冲刺分类汇编等腰三角形

2022 年全国各地中考数学真题分类汇编 等腰三角形 一选择题 1〔 2022肇庆〕等腰三角形两边长分别为 4 和8，那么这个等腰三角形的周长为A．16B．18 C．20D．16或20 【解析】先利用等腰三角形的性质: 两腰相等；再由三角形的任意两边和大于第三边, 确定三角形的第三边长, 最后求得其周长 【答案】 C 【点评】此题将两个简易的知识点: 等腰三角形的两腰相等和三角形的三边关系组合在一起难度较小 2．〔 2022 江西〕等腰三角形的顶角为80°，那么它的底角是〔 〕 A．20°B．50°C．60°D．80° 考点：等腰三角形的性质。 分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数． 解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80° ∴底角 =〔180°﹣ 80°〕÷ 2=50°． 应选 B． 点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比拟简单． 3．〔 2022?中考〕把等腰△ ABC沿底边 BC翻折，得到△ DBC，那么四边形ABDC〔〕

解答：解：∵等腰△ ABC 沿底边 BC翻折，得到△ DBC， ∴四边形ABDC是菱形， ∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形， ∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形． 应选 C． 点评：此题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC是菱形是解题的关键． 4〔 2022 荆州〕如图，△ABC是等边三角形，1 1 7 A 2 2E D Q P BF C 第9题图

20 C 5151 5 1515151 22

3 AB24cm8cm S△ABD 4 4cm8cm4cm8cm8cm4cm20cm20cm20cm 20cm